tranferencia de calor

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
CENTRO TECNOLÓGICO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE ALIMENTOS 
DISCIPLINA: Transferência de Calor e Massa (REVISÃO) 
PROFESSOR: CÉLIO SOUZA 
 
LEI DE FOURIER DA CONDUÇÃO DE CALOR 
 
1 − CONCEITOS: 
 A transferência de calor é a transmissão de energia resultante de 
uma diferença de temperatura. 
Ex: 
 T0 
 Tx 
 Fluxo de calor 
 
 T0 > Tx 
 
 
 Nota-se haver uma distribuição desigual de temperatura o que 
acarretará em um transporte de calor no sentido do Sol para Terra. 
 Observa-se, também, que a temperatura cresce da Terra para o Sol, 
isto é, no sentido contrário ao do transporte de calor. 
 
2 − MECANISMOS DE TRANSPORTE DE CALOR: 
2.1 − Condução: 
 A calor pode ser conduzido através de sólidos, líquidos e gases 
pela cinética de impacto direto de moléculas adjacentes. O fluxo de 
energia não é acompanhado por um movimento apreciável de matéria. 
 
2.2 − Convecção: 
 É parcialmente regida pelas leis da mecânica dos fluidos, já que a 
transferência de energia depende do movimento de porções 
macroscópicas de um líquido ou gás (fluido). 
 
2.2.1 − Convecção natural: 
 É induzida por diferença de densidade, o que acarreta em uma 
diferença de temperatura. 
 
 
 
 
Sol 
 
terra 
Ex: 
 
 Correntes convectivas 
 
 Fonte de calor 
 
 
2.2.2 − Convecção forçada: 
 É resultante de uma força externa (bombas, agitadores, etc.) 
 
2.3 − Radiação: 
 Propaga-se através do vácuo, gases, líquidos ou sólidos 
transparentes. A energia é transportada por ondas eletromagnéticas ou 
fótons de comprimento variando desde 10−11m (ondas curtas dos raios 
cósmicos) até 103m (ondas longas de rádio comunicação). 
 
Obs: Raramente o calor é transferido por um só mecanismo. Geralmente 
ocorre uma combinação em série ou paralelo. 
 
3 − MODELOS MATEMÁTICOS: 
3.1 − Convecção: 
 A taxa de calor por convecção é calculada pela Lei de Newton do 
Resfriamento. 
 
( )fSC TTdAhdq −= .. 
 
onde: 
dqC → taxa de calor por convecção (Kcal.h−1) ou (Watt); 
dA → elemento de área em que flui a quantidade de calor "dqC" (m2); 
TS → temperatura da superfície no elemento "dA" (ºC); 
Tf → temperatura do fluido ao longe da superfície (ºC); 
h → coeficiente de convecção local (Kcal/m2.h.ºC) ou (Watt/m2ºC). 
 
1ª Obs: Caso a temperatura do fluido seja maior que a da superfície, 
então (TS − Tf) fica (Tf − TS). 
 
2ª Obs: "h" depende do tipo de escoamento (laminar ou turbulento), 
características geométricas, condutividade térmica, viscosidade, calor 
 
H2O 
específico, do mecanismo de transferência por convecção (natural ou 
forçada), etc. 
 
3ª Obs: Caso "h" seja constante ao longo da superfície "A", então a 
equação de Newton pode ser escrita da seguinte forma: 
 
( ) fSfSC TTTTAhq 〉∴−= para .. 
 
3.2 − Radiação: 
 A energia radiante pode ser refletida (α), transmitida (β) ou 
absorvida (γ), onde α + β + γ = 1 
Ex: 
Negro de fumo (γ ≅ 0,97; α ≅ 0,03; β ≅ 0); 
Placa de alumínio (γ ≅ 0,1; α ≅ 0,9; β ≅ 0). 
 
Obs.1: O corpo negro é o corpo que absorve toda a energia radiante que 
atinge sua superfície (γ = 1) e a taxa de calor é dada por: 
 
4.. SR TAq σ= (Lei de Stefan-Boltzmann) 
 
Obs.2: Quando dois corpos negros trocam radiação a taxa de calor é 
dada por: 
 
( )44
21
.. SSR TTAq −=σ 
 
Obs.3: Caso o corpo não seja um corpo negro (γ < 1) a taxa de calor é 
dada por: 
 
( )44
21
... SSR TTAq −= σε 
 
onde: 
qR → taxa de troca de calor por radiação térmica (Watt); 
σ → constante de Stefan-Boltzmann (5,67.10−8W/m2K4); 
ε → emissividade do meio (adimensional, variando de 0 a 1); 
A → área superficial (m2); 
TS → temperatura da superfície (absoluta, "K" ou "R"). 
 
3.3 − Condução e Condutividade Térmica: 
y P.S. 
 
 PLACA SÓLIDA 
 P.I. 
 x 
 
y T0 P.S. 
 
 
 P.I. 
 x 
 
y T0 P.S. 
 
 T = T (y,t) 
 P.I. 
 x 
 
y T0 P.S. 
 
 T = T(y) 
 P.I. 
 x 
 
# De acordo com o experimento acima, podemos concluir que: 
 
FLUXO DE CALOR α GRADIENTE DE TEMPERATURA NA DIREÇÃO (Y) 
dy
dTK
A
q −= (Lei de Fourrier da Condução) 
 
Obs: O sinal negativo é devido ao fluxo térmico estar no sentido 
contrário ao gradiente de temperatura. 
Considerar que haja um sorvedouro 
de calor na placa superior, 
mantendo-a fria 
t = 0 → a placa superior está na 
mesma temperatura da placa inferior 
"T0" 
t = pequeno → a placa superior 
aumenta sua temperatura havendo 
um regime transiente T = T(y,t)
t = ∞ → haverá formação final do 
perfil de temperatura, ou seja, 
T = T(y) 
sendo: 
q → taxa de calor por condução [Kcal/h; Btu/h; Joule/s (W)]; 
A → área (m2; ft2); 
K → condutividade térmica (Kcal/h.m.ºC; Btu/h.ft.ºF); 
dy
dT → gradiente unidirecional de temperatura (ºC/m). 
 
1ª Obs: A condutividade térmica é a capacidade que o material apresenta 
em conduzir calor. É função do estado molecular e, portanto, depende da 
temperatura 
 K → ∞ (condutores) → materiais metálicos; 
 K → 0 (isolantes) → isopor, cortiça. 
 
2ª Obs: Quando as condutividades térmicas relacionadas a eixos 
direcionais são as mesmas, o meio é dito "ISOTRÓPICO", ou seja, 
quando "K" independe da direção do fluxo. Caso contrário, o meio é dito 
"ANISOTRÓPICO". 
 z 
 
 Kz 
 
 Ky 
 y 
 Kx 
 
x 
 
# Introduziremos à Lei de Fourrier da Condução a massa específica (ρ) e 
o calor específico (CP), onde: 
ρ = (Kg/m3) e CP = (Kcal/Kg.ºC). 
 
( )cteCe
C
TC
dy
dK
A
q
dy
dTK
A
q
p
P
P =∴⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−=∴−= caso 
.
.. ρρ
ρ 
 
αρρ
ρ =⋅−=
PC.
K mas,, 
.
..
dy
dT
C
CK
A
q
P
P 
 
 
Kx = Ky = Kz = K → meio Isotrópico 
(materiais homogêneos) 
Kx ≠ Ky ≠ Kz → meio Anisotrópico 
(Substâncias amorfas como madeira) 
dy
dTC
A
q
P..ρα−= ou dy
dTCQ P..ρα−= 
 
Obs: "α" é a difusividade térmica que representa a relação entre a 
capacidade do material em transportar energia e sua capacidade em 
absorver energia. 
 
# Dimensão de "α": 
 
[ ]1223 
.º..
−==∴⋅== TL
h
m
Kg
m
Cmh
Kcal
C
K
P
αρα 
 
4 − APLICAÇÃO EM CORPOS DE GEOMETRIA SIMPLES: 
4. 1 − Placa Plana: 
 Dada uma placa plana de espessura "∆x" como mostra a figura 
abaixo, na qual as duas faces estão mantidas às temperaturas "T1" e "T2" 
(T1 > T2). A quantidade de calor que passa através da área "A" por 
unidade de tempo é dada por "
dx
dTK.A.q −= ". Encontre uma expressão 
para "T2". 
 
 ∫∫ −=∴−= ∆ 1
2
. .. x
0
T
T
dTAKdxq
dx
dTAKq 
 T1 
 q T2 ( ) 1212 . .. TTAK
xqTTAKxq +−=∆⋅∴−−=∆ 
 y 
 x 
K
xQTT
AK
xqTT ∆⋅−=∆⋅−= 1212 ou . 
 ∆x 
 
iRU .= 
iRP .= 
AK
LR
A
LR
.
ou. == ρ 
R
C 1= 
R → resistência (Ω) 
ρ → resistividade (Ω.m) 
K → condutância (1/Ω.m) 
i → corrente (A) 
U → potencial (Volt) 
L → comprimento 
A → área 
C → condutância 
4.2 − Placa Plana Composta: 
 
 
 T1 
 
 q 
 T4 
 
 
 
 
 ∆xA ∆xB ∆xC 
 ( ) ( ) ( )
C
CC
B
BB
A
AA x
TTAKq
x
TTAKq
x
TTAKq ∆
−⋅⋅=∆
−⋅⋅=∆
−⋅⋅= 433221 ; ; 
 
CBA qqqq === 
 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
∆⋅=−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
∆⋅=−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
∆⋅=−
AK
xqTT
AK
xqTT
AK
xqTT
C
c
B
B
A
A
43
32
21
 , somando-se membro a membro, temos: 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
∆+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
∆+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
∆⋅=−
AK
x
AK
x
AK
xqTT
C
C
B
B
A
A
41 
 
# Fazendo-se uma analogia com a resistência elétrica, verificamos que: 
 
AK
xR
A
LR TE ⋅
∆=⇔= 
.ρ 
CBA TTT RRR
TTq ++
−= 41 ∴ ∑−
=
−= 1
1
41
n
i
TR
TTq ∴ ∑−
=
∆= 1
1
n
i
TR
Tq 
 
 
 
 
 
(A) 
 
T2 
 
 
 
(B) 
 
 
 
T3 
 
 
 
(C) 
* Reg. Permanente 
 
* A = cte 
 
* q = cte 
 
* 
dx
dTK.Aq −= 
4.3 − Cilindro Oco: 
 
 
 T2 
 
 
 r2 
 
 
 
 
 
( )12
1
2
r
r
2
r
rlnq 2
r
drq ..2.
2
1
2
1
TTLKdTLK
dr
dTrLkq
T
T
−−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅∴−=∴−= ∫∫ πππ
 
( )
( )
( )
( )
( )
12
21
12
12
12
12
12
21
ln
.2.2 
ln
2
rr
TT
rr
LrLrKq
rr
rr
rr
TTLKq −
−⋅−⋅=∴⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−×−⋅= πππ
 
 
( )
( )
( )
12
21
12
12
ln rr
TT
AA
AAKq −
−⋅−⋅= ∴ r
TAKq ml ∆
∆⋅⋅= , 
 
4.4 − Cilindro Oco Composto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 r4 
 
 
 
em: 
r = r1 ⇒ T = T1 ; r = r2 ⇒ T = T2 ; r = r3 ⇒ T = T3 ; r = r4 ⇒ T = T4 
 r1,T1 
* Reg. Permanente 
 
* A = 2πrL ≠ cte 
 
* q = cte 
 
* 
dr
dTK.Aq −= 
 
 r1 
* Reg. Permanente 
 
* A = 2πrL ≠ cte 
 
* q = cte 
 
* 
dr
dTK.Aq −= 
C
mlC
B
mlB
A
mlA r
TAKq
r
TAKq
r
TAKq ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∆
∆⋅⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∆
∆⋅⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∆
∆⋅⋅= , ; , ; ,
 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
∆=−=∆
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
∆=−=∆
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
∆=−=∆
Cml
C
Bml
B
Aml
A
AK
rqTTT
AK
rqTTT
AK
rqTTT
,
,
,
43
32
21
 
 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
∆+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
∆+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
∆=−
CmlBmlAml AK
r
AK
r
AK
rqTT
,,,41
 
 
T
ml
CmlBmlAml
R
AK
r
AK
r
AK
r
AK
r
TTq =⋅
∆
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
∆+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
∆+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
∆
−=
,
 sendo , 
,,,
41 
 
∑−
=
∆= 1
1
n
i
TR
Tq 
 
 
4.5 − Esfera Oca: 
 
 
 
 r2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 r1 
* Reg. Permanente 
 
* A = 4πr2 ≠ cte 
 
* q = cte 
 
* 
dr
dTK.Aq −= 
( )1222 4.1 4. .4.
2
1
2
1
2
1
TTK
r
qdTK
r
drq
dr
dTrKq
r
r
T
T
r
r
−−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −∴−=∴−= ∫∫ πππ 
 
( ) ( )21
21
12
21
21
4 411 TTk
rr
rrqTTK
rr
q −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
−∴−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ − ππ 
 
21
2
2
2
12121 .4.4.4 .4 rrrrAAA,r
TrrKq mg ππππ =⋅=⋅=⇒∆
∆= 
 
r
TAKq mg ∆
∆⋅⋅= , 
 
4.6 − Esfera Oca Composta:(exercício) 
 Deduza a equação para uma esfera oca, composta de três materiais 
diferentes. 
Resp.: 
∑−
=
∆= 1
1
n
i
TR
Tq ; 41 ; ,.
TTT
AK
rR
mg
T −=∆∆= 
 
5 − BALANÇO DE ENERGIA: 
 
 
 
 T1 INT. 
EXT. T6 
 q q 
 
 T5 
 
 y 
 
 x 
 
 ∆xA ∆xB ∆xC 
 
 
T2 
 
 
 
 
(F) 
 
 
 
T3 
 
 
 
(G) 
 
 
 
T4 
 
 
(H) 
* Reg. Permanente 
 
* A = cte 
 
* q = cte 
 
* 
dx
dTK.Aq −= 
qConvec = qF = qG = qH = qConvec 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )6554433221 TTAhTTx
AKTT
x
AKTT
x
AKTTAh E
C
C
B
B
A
A
E −=−∆=−∆=−∆=−
 
54321
6554433221
TTTTT R
TT
R
TT
R
TT
R
TT
R
TTq −=−=−=−=−= 
 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⋅=−
⋅=−
⋅=−
⋅=−
⋅=−
qRTT
qRTT
qRTT
qRTT
qRTT
T
T
T
T
T
5
4
3
2
1
65
54
43
32
21
 ; ( )
5432161 TTTTT RRRRRqTT ++++=− 
 
∑−
=
−= 1
1
61
n
i
TR
TTq 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
CENTRO TECNOLÓGICO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE ALIMENTOS 
DISCIPLINA: TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA 
PROFESSOR: CÉLIO SOUZA 
 
Aula de Exercícios da Equação de Fourier 
 
1 − Em uma indústria de Alimentos A parede de um forno é constituída de três 
camadas justapostas: uma camada de tijolo refratário (K1 = 1,38W/mºC), uma 
intermediária de tijolo isolante (K2 = 0,17W/mºC) e uma de tijolo comum (K3 
= 1,73W/mºC).a face externa do material refratário está a 115ºC, e a externa do 
material comum está a 38ºC. Qual a taxa de calor que atravessa a parede composta, 
sabendo-se que as espessuras das camadas são: X1 = 0,6m (refratário), X2 = 0,9m 
(isolante) e X3 = 0,3m (comum), enquanto que a altura e a largura da referida 
parede são "3m" e "1,5m", respectivamente. 
 
 
 115ºC 
 
 q 
 38ºC 
 
 
 
 
 ∆X1 ∆X2 ∆X3 
 
2 − Considerando o exercício anterior, colocando-se na camada central do material 
isolante um vazio de "AR", simetricamente disposto e com 2,4m de altura, pede-se 
verificar qual será a nova taxa de calor, admitindo-se que a condutividade térmica 
do "AR" seja (KAR = 0,0346W/mºC). 
 
 
 
 0,3m 
 
 
 K4 2,4m 
 
 
 0,3m 
 
 
 
 
 
 
 
 
K1 
 
 
 
 
 
K2 
 
 
 
 
 
 
 
K3 
* Reg. Permanente 
 
* A = cte 
 
* q = cte 
 
* 
dx
dTK.Aq −= 
 
 
 
 
 
 
 K1 
 K2 
 K2 
 
 
 
 
 
 
 K3 
3 − Um tubo de parede de aço (KAço = 19W/mºC) com dois centímetros de 
diâmetro interno e quatro centímetros de diâmetro externo, é coberto com uma 
camada de isolamento de amianto (KA = 0,2W/mºC). A temperatura da parede 
interna do tubo é mantida a 120ºC e a superfície externa do isolante a 35ºC. 
Calcule a perda de calor por metro de comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0,020,04 
 0,10 
 
 
 
4 − Através de um fio de 1mm de diâmetro e 10cm de comprimento passa uma 
corrente elétrica. O fio está imerso em água à pressão atmosférica. A corrente é 
aumentada até a água entrar em ebulição. Para esta situação o coeficiente 
convectivo é igual a 5.000W/m2ºC e a temperatura da água é 100ºC. Qual a 
potência elétrica que deve ser fornecida ao fio para que sua superfície seja mantida 
a 114ºC? Qual a temperatura no fio na metade do seu raio, sabendo-se que 
Kfio = 31W/mºC. 
 
5 − Demonstrar que para qualquer distância "X" da superfície de uma parede plana 
a temperatura é dada por: 
aaK
T
a
TX
1 Q.X21
0
2
1 −⋅−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += 
sendo a condutividade térmica uma função da temperatura, obedecendo a relação 
K = K0(1 + aT), onde "Q" é o fluxo de calor (W/m2) e "T1" a temperatura da 
superfície da parede (ºC); "a" é uma constante. 
Dado: 
dX
dTKQ −= 
 
 
 
 
 
 
 
* ∑
∆=
TR
Tq 
 
* RT = Raço + RA 
 
* 
Amiantoml
Açoml
T
AK
r
AK
rR
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
∆+
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
∆=
,
,
 
Resolução dos Exercícios 
 
1ª) Solução: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅
∆=++
∆=
=⇒==
AK
xR
RRR
Tq
mAxuralxalturaA
 ; 
5,4 5,1 3arg 
321
 
 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
++
−=⇒
=⋅=⋅
∆=
=⋅=⋅
∆=
=⋅=⋅
∆=
0385,0176,10966,0
38115q 
0385,0
5,473,1
3,0
AK
x
R
176,1
5,417,0
9,0
AK
x
R
0966,0
5,438,1
6,0
AK
x
R
W
Cº
3
3
3
W
Cº
2
2
2
W
Cº
1
1
1
 
 
Watt733,58q = 
 
 
2ª) Solução: 
 R'2 
 
 
 R1 R' R3 
 
 
 
 R'2 
 
 R2 
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⋅=⋅
∆=
=⋅=⋅
∆=
⇒++=
W
C
Ar
W
C
AK
xR
AK
xR
RRRR º'
º
2
'
2'
2
'
2
''
22 2254,7
5,14,20346,0
9,0'
7647,11
5,13,017,0
9,0
 1111 
 
W
CR
R
º
2
2
243,3 
2254,7
1
7647,11
21 =⇒+= 
 
W 794,22q 
0385,0243,30966,0
77
RRR
38115q
321
=⇒++=++
−= 
 
 
 
 
 
3ª) Solução: 
( ) ( ){ 212, 2 0,1 ln
1
2
mDLDrLAmLAAA
A
Alm πππ ===∴=∴
−= 
 
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=−=−=
=−=−=
)(2057,0
ln
04,01,0
ln
)(0906,0
ln
02,004,0
ln
2
04,0
1,0
23
,
2
02,0
04,0
12
,
2
3
1
2
m
DD
A
mDDA
D
DAmiantolm
D
DAçolm
ππ
ππ
 
 
AmiantoAço
W
Cº
Amianto
W
Cº3
Aço
RR
35120q 
)(73,0
2057,02,0
02,005,0R
)(10x81,5
0906,019
01,002,0R
+
−=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⋅
−=
=⋅
−= −
 
 
( )mW3 52,115q 73,010x81,5
35120q =⇒+
−= − 
 
 
4ª) Solução: 
 
Cm
W
S hCTCT º2000.5 ; º100 ; º114 === ∞ 
( ) ( ) 2410142,3 1,0001,0 2 mxALDrLA −=⇒⋅⋅=== πππ 
 
a) 
( ) ( ) WqxqTTAhq CCSC 99,21 10011410142,3000.5 4 =⇒−⋅⋅=⇒−⋅⋅= −∞ 
 
b) 
qqq ConvecçãoCondução == 
 
 ( )( ) ( ) CTTTTLKq
R
RR
RCond º78,114 
ln
1141,031299,21 
ln
 2 1121.
2
1
2
=∴
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−⋅⋅⋅⋅=∴−⋅= ππ
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
CENTRO TECNOLÓGICO 
DEQAL 
DISCIPLINA: Transferência de Calor e Massa 
PROFESSOR: CÉLIO SOUZA 
 
EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR 
 
1 − CONSIDERAÇÕES GERAIS: 
	 Está fundamentada na 1ª Lei da Termodinâmica ou princípio da 
conservação da energia; 
 
	 Será estudada a aplicação de um balanço de energia em geometria 
retangular e, com a introdução da Lei de Fourrier, será possível a 
obtenção dos perfis de temperatura. 
 
2 − EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR: 
 Esta equação se constitui em um caso particular da equação da 
energia aplicada a sólidos. 
 Considere o elemento de volume mostrado abaixo. O balanço de 
energia neste elemento pode ser expresso como: 
 
 
 + = 
 
 
 z 
 Q/z+∆z Q/y 
 
 
 
 
 
 Q/x Q/x+∆x 
 
 x 
 
 
 
 
 y Q/y+∆y Q/z 
Taxa líquida de 
ganho de calor 
por condução 
Taxa de 
geração interna 
de calor 
Taxa de 
variação de 
calor 
Obs: A taxa líquida de ganho de calor representa a diferença entre as 
taxas de entrada e de saída de calor por condução. 
 
2.1 − Taxa de calor na entrada do elemento de volume: 
/ Em x: Q/x . (∆y.∆z) 
 
/ Em y: Q/y . (∆x.∆z) 
 
/ Em z: Q/z . (∆x.∆y) 
 
2.2 − Taxa de calor na saída do elemento de volume: 
/ Em x: Q/x+∆x . (∆y.∆z) 
 
/ Em y: Q/y+∆y . (∆x.∆z) 
 
/ Em z: Q/z+∆z . (∆x.∆y) 
 
# A taxa líquida de ganho de calor será: 
 ( ) ( ) ( )[ ]x.y.Q/Q/z.x.Q/Q/z.y.Q/Q/ zzzyyyxxx ∆∆−+∆∆−+∆∆− ∆+∆+∆+ 
 
2.3 − Taxa de geração interna de calor(q'''): 
Onde (q''') é a geração interna de calor (energia térmica) por 
unidade de volume (W/m3 ou N/m2.s). 
 
q'''.(∆x∆y∆z) 
 
2.4 − Taxa de variação de calor (acúmulo): 
 É resultante da variação da temperatura com o tempo, e pode ser 
escrita da seguinte forma: 
 
)zyx.(
t
T.C. P ∆∆∆∂
∂ρ 
 
Onde: 
CP → calor específico do material (Kcal/Kg ºC); 
 ρ → massa específica (Kg/m3). 
# Por análise dimensional, o termo da taxa de variação de calor resulta 
em (Kcal/s). 
 Substituindo, então, todos os elementos acima no Balanço de 
Energia, teremos: 
 ( ) ( ) ( )[ ]+∆∆−+∆∆−+∆∆− ∆+∆+∆+ x.y.Q/Q/z.x.Q/Q/z.y.Q/Q/ zzzyyyxxx 
 
zy.x..
t
T..Czy.x..''q' P ∆∆∆∂
∂=∆∆∆+ ρ 
 
# Invertendo-se a primeira parcela do primeiro membro da equação 
acima e dividindo-se tudo pelo volume (∆x∆y∆z), teremos: 
 
t
T.C.''q'
z
Q/Q/
y
Q/Q/
x
Q/Q/
P
zzzyyyxxx
∂
∂=+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∆
−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∆
−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∆
−− ∆+∆+∆+ ρ 
 
# A medida que ∆x, ∆y e ∆z → 0, o termo entre colchetes, por definição, 
torna-se a derivada do fluxo de calor com relação a "x", "y" e "z", 
respectivamente, então a equação acima fica: 
 
t
T..C''q'
z
Q
y
Q
x
Q
P
zyx
∂
∂=+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂− ρ (1) 
 
# Os componentes do fluxo de calor, de acordo com a Lei de Fourrier, 
são: 
 
z
TKQ ; 
y
TKQ ; 
x
TKQ zyx ∂
∂−=∂
∂−=∂
∂−= 
 
# Substituindo as três equações acima em (1), teremos: 
 
t
T..C''q'
z
TK
zy
TK
yx
TK
x P ∂
∂=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ ρ (2) 
 
Obs: A equação (2) é aplicável para transferência de calor em regime 
transiente, com geração interna de calor e condutividade térmica do 
meio variável, portanto, uma equação geral para condução em sólidos. 
 
3 − CASOS PARTICULARES: 
3.1 − Condutividade Térmica Constante: 
 
K)( ; 
t
T.P.C''q'2Z
T2
2Y
T2
2X
T2K ÷∂
∂=+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ ρ 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ =∂
∂=+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
α
ρρ 1
K
P.C ; 
t
T.
K
P.C'''
K
q
2Z
T2
2Y
T2
2X
T2 
 
 
t
T.1
K
''q'T2 ∂
∂=+∇ α ; onde (∇2T) é o laplaciano da temperatura 
 
3.1.1 − Sem geração interna de calor: 
 
t
T.1T2 ∂
∂=∇ α ; Equação de Fourrier da Condução onde (q'''= 0) 
 
3.1.2 − Condução de calor em regime estacionário: 
 
0
K
''q'T2 =+∇ ; Equação de Poisson onde ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ =∂
∂ 0
t
T 
 
3.1.3 − Condução de calor em regime estacionário sem geração 
interna de calor: 
 
0T2 =∇ ; Equação de La Place, onde ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ==∂
∂ 0''' e 0 q
t
T 
 
Obs: A aplicação da Equação de La Place na condução de calor através 
de uma parede plana, permite a demonstração do perfil linear de 
temperatura através da parede. 
 
 
4 − PRINCIPAIS FONTES DE ENERGIA INTERNA: 
	 Fissão nuclear, como no caso dos elementos combustíveis nos 
reatores nucleares; 
 
	 Desintegração de elementos radioativos; 
 
	 Conversão de energia química em calor; 
 
	 Degradação da energia mecânica (dissipação viscosa); 
 
	 Passagem de corrente elétrica através de sólidos (efeito Joule). 
 
5 − LAPLACIANO DA TEMPERATURA EM COORDENADAS: 
5.1 − Cilíndricas (r,θ,z): 
 
T22Z
T2
2
T2
2r
1
r
Tr
rr
1 ∇=
∂
∂+
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
θ 
 
5.2 − Esféricas (r,θ,ϕ): 
 
T22
T2
2sen2r
1Tsen
sen2r
1
r
T2r
r2r
1 ∇=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
ϕθθθθθ 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
CENTRO TECNOLÓGICO 
DEQAL 
DISCIPLINA: FENÔMENOS DE TRANSPORTE I 
PROFESSOR: CÉLIO SOUZA 
 
Aula de Exercícios de Calor com Geração 
1 − Um elemento cilíndrico de um reator nuclear resfriado a gás combustível tem taxa de geração de calor 
interna por unidade de volume, devido à fissão nuclear, dada pela equação: 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
2
0 1''' R
rqq , 
onde "R" é o raio do elemento combustível. A superfície (r = R) está mantida a "T0". Encontre a 
expressão para o perfil de temperatura radial no elemento cilíndrico. 
 
2 − Uma parede plana tem geração de calor por unidade de volume (q'''). A espessura da placa é "2L". Um 
dos lados da parede se encontra isolado, enquanto que o outro lado está em contato com um fluido. 
Calcule a temperatura máxima da parede. Sabe-se que o fluido está a uma temperatura "T∞" e o 
coeficiente convectivo é "h∞". 
 
3 − Uma corrente elétrica gera calor "G", por unidade de tempo e volume que escoa no interior de um 
cilindro metálico delgado de raio "R" e comprimento "L". Sabe-se que o condutor está no ambiente a uma 
temperatura "Tf" e possui coeficiente de troca térmica convectiva "hf". Determine o perfil de temperatura 
e a temperatura máxima do condutor. 
 
4 − Uma parede de espessura "2L" tem uma geração interna de calor que varia segundo a equação: ( )xaqq .cos''' 0= , 
onde (q''') é o calor gerado por unidade de volume no centro da parede (x = 0) e "q0" é uma constante 
dimensional. Se em ambos os lados as paredes forem mantidas a temperatura constante "Tp", obtenha uma 
expressão da perda de calor total da parede por unidade de área. Considerar regime permanente. 
 
5 - Em um fio de aço inoxidável( k= 19 w/m2 0C) de 3 mm de diâmetro passa uma corrente elétrica de 200 
A. A resistividade elétrica do aço e 70 µ.Ω.cm e o comprimento do fio é 1 m. O fio está imerso no fluido 
a 1100C e o coeficiente de transferência de calor por convecção é 4 Kw/m2 0C. Calcule a temperatura no 
centro do fio. 
 
6 - Quando passamos uma corrente elétrica I, uma barra de ferro de cobre de seção transversal retangular 
( 6mm x 150 mm), experimento uma geração de calor uniforme a uma taxa q,,, ( w/m3) dada por: q,,, = aI2 
onde a = 0,015w/m3.A2. Se a barra está num ambiente onde h = 5 w/m2K e sua temperatura máxima não 
deve exceder a temperatura do ar ambiente mais do que 30 0 C, qual será a corrente elétrica permitida para 
esta barra? 
Dado: k= 401 w/mK 
Resp: I= 1825,7 A. 
 
7- Uma parede plana de espessura 0,1 m e K = 25 w/mk; tendo uma geração de calor volumétrica 
uniforme de 0,3 x 105 w/m3 está sendo isolada em uma das superfícies enquanto que a outra superfície 
está exposta a um fluido a 92 oC. O coeficiente de transferência de calor entre a parede e o fluido é 500 
w/m2k. Determine a temperatura máxima na parede. R: 104 o C 
 
8- Um fio de resistência elétrica posui uma geração interna de calor que obedece a equação a seguir q’’’= 
qo. (1 - br), onde qo é a potência de calor gerado por unidade de volume no centro do fio, e sendo b uma 
constante dimensional. Expresse uma equação para o fluxo de calor Q, sendo que a temperatura na 
superfície externa do fio se mantém uniforme. 
 
 
 
 
Resolução dos Exercícios 
 
1ª) Solução: 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∴=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 20 1 0'''1
R
r
K
rq
dr
dTr
dr
d
K
q
dr
dTr
dr
d
r
 
)( 0 0:.. 
42 .12
42
0
máxTdr
dTrcontcondC
R
rr
K
q
dr
dTr =⇒=∴+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−= 
)1( 
164
 
42
 0 ; 22
42
0
2
3
0
1 CR
rr
K
qT
R
rr
K
q
dr
dTCentão +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=⇒= 
2
22
0
00 164
 :, :.. CRR
K
qTentãoTTRrcontcond +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−==⇒= 
:)1( ; 
16
3
 
4
11
4
 , 2
2
0
02
20
02 em CdosubstituinK
RqTCR
K
qTCe +=∴⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+= 
 
0
422
0
2
0
02
42
2
2
0
4
1
4
3
4
 
4
3
4164
T
R
r
R
r
K
RqT
K
RqT
R
rr
KR
RqT +
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⇒⋅++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
 
2ª) Solução: 
 
 
 
 T∞ 0
''' =+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
K
q
dx
dT
dx
d 
 h∞ 
 
 − L +L 
 0 
isolamento 
 
21
2
)(1 2
''' (1) ''' CxC
K
xqTCx
K
q
dx
dT
x ++−=∴+⋅−= (2) 
 
L
K
qCisolamdTLxcontcond ''' .)( 0
dx
 :.. 1 −=⇒=∴= 
 
02
2
)( :.. ; 
'''
2
''' TTLxcontcondCxL
K
q
K
xqT x =∴=+⋅−−= 
 
 
 
 
 
x
 
 
 
K
Lq
K
LqTC
22
02
'''
2
''' ++= (3) 
 
( )∞∞= −⋅=⋅−⇒=⇒= TTAhdx
dTAKq qL xporém, em Lxconvcond 0.. . 
 
( )∞∞ −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−−⇒−−== TThK
Lq
K
LqKde
K
Lq
K
Lq
dx
dT
Lx 0
'''''' )"1" ( '''''' 
 
( ) ∞
∞
∞∞ +=∴−= Th
LqTTThLq '''2 '''2 00 (4) 
 
# substituindo (4) em (3); e (3) e "C1" em (2), teremos: 
) x é máx. emT(T
K
Lq
K
Lq
h
Lq
K
xLq
K
xqT x 0"" 
'''
2
''''''2'''
2
''' 222
)( =∴++++⋅−−= ∞
∞
 
∞
∞
++= T
K
Lq
h
LqTmáx 2
'''3'''2 2
. 
 
 
3ª) Solução: 
1
2
2
 0'''1 Cr
K
G
dr
dTrr
K
G
dr
dTr
dr
d
K
q
dr
dTr
dr
d
r
+−=∴−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∴=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
0 0 0 :.. 1 =⇒=⇒= Cdr
dTrcontcond 
02
2
)( :.. 4
 
2
TTRrcontcondCr
K
GTr
K
G
dr
dT
r =⇒=∴+−=∴−= 
 
convcond q qR mas em rTRK
GCCR
K
GT =⇒=∴+=∴+−= .022220 4 4 ( ) R
K
G
dr
dT mas TTh
dr
dTK RrffRr 2
 0 −=∴−=− == 
( ) "" ; 
2
 
2 200
Cdo em substituinTR
h
GTTThR
K
GK f
f
ff +=∴−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−− 
f
f
rf
f
T
h
GR
R
r
K
GRT, entãoTR
K
GR
h
GC ++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=++=
2
1
4
 : 
42
22
)(
2
2 
 
f
f
máxmáx. Th
GR
K
GRTT T mas em r ++=∴=⇒=
24
 0
2
. 
4ª) Solução: 
 
 
 
 ( ) 0''' . cos''' 0 =+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∴=
K
q
dx
dT
dx
dxaqq 
 TP TP 
 
 
 −L +L 
 
1
00 ).( sen ).( cos C
a
xa
K
q
dx
dTxa
Kq
dx
dT
dx
d +−=∴−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
 
( )xa
aK
q
dx
dTC
dx
dTx . sen (A) 
# mas da Eq. de Fourier da condução temos: 
 
 
 
 
 
5ª) Solução: 
 
 
 
 
 
10cm 
 1m 
 
 δ 
 
 2cm 
a) 1
''' ''' 0''' Cx
K
q
dx
dT
K
q
dx
dT
dx
d
K
q
dx
dT
dx
d +−=∴−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∴=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
 
2
2
)(1 2
''' ''' 0 0 0 Cx
K
qTx
K
q
dx
dTC
dx
dTx x +⋅−=∴⋅−=∴=∴=⇒= 
 
 
 y 
 x 
 y 
 
 x 
 
 
K
xq
K
qTT
K
qTCTTx PxPP 2
'''
2
''' 
2
''' 
22
)(
2
2 −+=∴+=∴=⇒= δδδ 
 
PMáxMáxxPx TK
qTTTxx
K
qTT +=∴=⇒=∴
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=−
2
''' 0 1
2
''' 2
..)(
2
)(
δ
δ
δ 
b) 
LA
A
L
Eq
R
E
LA
Eq
LA
iEq
Vol
P
q
m
Wq elét
⋅⋅⋅
=∴⋅⋅=∴⋅
⋅=∴=∴= ρ
2
.
3 ''' ''' ''' .
''' '''
 
36
25
2
2
2
1006,3''' 
)1(107,4
)12(''' ''' mWxq
x
q
L
Eq =∴⋅=∴⋅= ρ 
 
CTCxT MáxMáx º64,790 º76052
)01,0(1006,3
.
26
. =∴+⋅
⋅=