lista de exercIcios 5 Teoria das filas

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Profº Túlio de Almeida 
Pesquisa Operacional II 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 5 – TEORIA DAS FILAS 
 
QUESTÕES PARA DISCUSSÃO 
 
 
Q1 Como pode ser definido um sistema de filas? 
Quais características forma este sistema? 
 
Q2 Quais são os principais tipos de fila? Cite 
exemplos. 
 
Q3 O que significa cada símbolo da notação de 
Kendall-Lee? 
A | B | m : C | K | N 
 
Q4 Quais são as principais medidas de desempenho 
de um sistema de filas? Como estas se relacionam? 
 
Q5 A partir da Fórmula de Little, deduza equações que 
calculem: 
a. Número de usuários no sistema 
b. Tempo de espera na fila 
c. Número de servidores 
d. Probabilidade do sistema estar vazio 
 
Q6 Explique por que a distribuição de Poisson se 
adequa a modelagem de sistemas de fila. 
 
Q7 A partir da função densidade de probabilidade: 
f(t) = λe−λt 
Obtenha a função de distribuição acumulada F(t). 
 
Q8 Como funciona o modelo de nascimento e de 
morte em sistemas de fila? 
 
Q9 Como podem ser obtidos os valores de λ e de µ 
em sistema de filas real? 
 
Q10 Quais custos podem existir em um sistema de 
fila? Como geri-los? 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
E1 Identifique os clientes, os servidores e as 
características da fila que se forma: 
a. Num posto de lavagem automática de automóveis, 
com uma única via de acesso. 
b. No serviço de cobranças de uma grande loja. 
c. Uma barbearia com dois barbeiros, quatro cadeiras 
para espera e uma imposição dos 
Bombeiros de que não seja ultrapassado o número 
máximo de sete clientes. 
d. Aviões pedindo autorização para aterrar num 
pequeno aeroporto. 
e. Um juiz municipal em audiências. 
Use também a notação de Kendall para caracterizar 
essas filas.
 
E2 Suponha que as chegadas a uma cabine telefônica 
obedecem à lei de Poisson, com ritmo de 6 chegadas 
por hora. A duração média do telefonema é de 3 
minutos e suponha que siga a distribuição 
exponencial. Pede-se 
a. Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à 
cabine e não ter que esperar? 
b. Qual o número médio de pessoas na fila? 
c. Qual o número médio de clientes usando o 
telefone? 
d. Qual o tempo na fila? 
e. Para qual ritmo de chegada teríamos a situação em 
que o tempo médio de espera na fila seria de 3 
minutos? 
f. Qual é a fração do dia durante a qual o telefone 
está em uso? 
 
E3 De acordo com a figura apresentada, descreva o 
sistema de fila por meio da Notação de Kendall-Lee: 
 
 
E4 De acordo com a Notação de Kendall-Lee, 
apresente as características da fila e cite um exemplo. 
a. M | M | 1 : GD | ∞ | ∞ 
b. M | M | 2 : GD | ∞ | ∞ 
c. M | M | 1 : GD | 10 | 100 
d. Ep | Ep | 5 : FCFS | ∞ | ∞ 
e. M | M | ∞ : GD | 25 | 250 
 
E5 O tempo de vida (em horas) de um transistor pode 
ser considerado uma variável aleatória com 
distribuição exponencial com λ = 1/500. Segue-se que 
a vida média do transistor é E(t) = 500 horas e a 
probabilidade de que ele dure mais do que a média é 
de: 
 
E6 Suponha que o tempo médio entre o pedido e 
o atendimento num grande restaurante seja de 10 
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minutos. Suponha ainda que esse tempo tenha 
distribuição exponencial. 
a. Determine a probabilidade de espera superior a 10 
minutos. 
b. Determine a probabilidade de espera não superior 
a 10 minutos. 
c. Determine a probabilidade de espera não superior 
a 3 minutos.
 
E7 Para cada tipo de problema em um sistema de fila, 
explique como é possível reduzir os custos e/ou 
melhorar a eficiência: 
a. Indenização de cliente por tempo de espera 
excedido. 
b. Operadores ociosos esperam para retirar suas 
ferramentas de trabalho na ferramentaria. 
c. A empresa perde vendas, pois os clientes desistem 
da compra por causa do comprimento da fila. 
d. Há tantos caixas disponíveis, que não há filas no 
sistema, e cada servidor opera com ρ = 5%. 
e. Um supermercado possui inúmeros clientes, de 
diversas idades, condições físicas e que compram 
volumes variados. Todos os caixas operam por regras 
genéricas de ordenação. 
f. Em um sistema de atendimento hospitalar, há vários 
tipos de enfermidade, tratamentos sequenciados e 
exames para diagnóstico. Há pessoas em situações 
preocupantes esperando por mais de 4 horas.
 
 
PROBLEMAS E APLICAÇÕES 
 
P1 Uma fábrica possui um depósito de 
ferramentas onde os operários vão receber as 
ferramentas especiais para a realização de uma 
determinada tarefa. Verificou-se que o ritmo de 
chegada é igual a 1 chegada por minuto e o ritmo de 
atendimento é de 1,2 atendimentos por minuto 
segundo o modelo M/M/1. A fábrica paga R$9,00 por 
hora ao atendente e 18,00 ao operário. Pede-se 
a. O custo horário do sistema. 
b. A fração do dia em que o atendente não trabalha.
 
P2 No exercício anterior, com os resultados dos 
custos calculados, determine a quantidade ótima de 
atendentes.
 
P3 Considerando a solução ótima do exercício 
anterior, o que ocorreria caso optássemos pela 
descentralização, ou seja, quebrar o sistema em 2 
outros, cada um com um único atendente? 
Suponha ainda que a divisão entre os clientes se 
dá pela metade, ou seja, o ritmo de chegada a 
cada um dos dois centros de atendimento passa 
a ser λ = 0,5 chegadas por minuto. 
 
P4 Um banco deseja modificar a forma de 
atendimento a seus clientes, que hoje funciona com 
diversas filas, pela introdução do sistema de fila única, 
sendo que os clientes chegam a um ritmo de 70 
clientes por hora, são 5 atendentes e cada um atende 
a uma taxa de 3 minutos por cliente. Qual dos dois 
sistemas presta um melhor serviço? 
 
P5 Em um supermercado, os caminhões chegam a 
um ritmo de 16 por dia com distribuição de Poisson. O 
tempo médio para descarregar um caminhão varia 
de acordo com as pessoas contratadas pelo 
supermercado com distribuição exponencial 
 1 pessoa demora 50 minutos, 
 2 pessoas demoram 20 minutos, 
 3 pessoas demoram 15 minutos, 
 4 pessoas demoram 12 minutos, 
 5 pessoas demoram 10 minutos 
a. Qual o menor número de pessoas que devem ser 
contratadas? 
b. Qual é o número ideal de pessoas a serem 
contratadas sabendo que o trabalhador recebe 6 
euros/hora e um caminhão parado tem um custo de 
12 euros/hora por perda de frete? Considere um 
expediente de 8 horas. 
c. Qual a probabilidade do caminhão chegar e ficar 
menos de 20 minutos no sistema? 
 
P6 Ao longo dos anos o detetive Columbo, do 
Departamento de Polícia de Fayetteville, obteve um 
sucesso fenomenal na resolução de cada um de seus 
casos criminais. Resolver qualquer caso para ele é 
apenas uma questão de tempo. Columbo considera 
que o tempo por caso é “totalmente aleatório”, 
porém, na média, cada investigação leva 
aproximadamente uma semana e meia. Crimes na 
pacífica Fayetteville não são muito comuns e 
ocorrem aleatoriamente à taxa de um crime por mês 
(a cada quatro semanas). O detetive Columbo está 
solicitando um assistente para compartilhar a 
pesada carga de trabalho. Analise a solicitação de 
Columbo, em particular dos seguintes pontos de vista: 
a. O número médio de casos que esperam 
investigação. 
b. A porcentagem de tempo que o detetive 
permanece ocupado. 
c. A média de tempo necessário para resolver um 
caso. 
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P7 Um departamento masculino de uma grande 
loja emprega um alfaiate para recortes de roupas 
em clientes. O número de clientes que requerem 
cortes segueaproximadamente uma distribuição de 
Poisson com uma taxa média de chegada de 24 por 
hora. Os clientes provam uma vez, a roupa é 
ajustada, e então eles esperam pelo atendimento 
do alfaiate, já que alterações de prazo são comuns. 
A sala de recortes tem lugares para 3 clientes 
esperarem sentados, os outros clientes podem 
esperar em pé dentro ou fora da sala de 
recortes. O tempo que é gasto para recortar uma 
roupa segue aproximadamente uma distribuição 
exponencial, com uma média de 2 minutos. 
a. Quanto tempo um cliente espera gastar para ser 
atendido? 
b. O dono da loja acredita que os funcionários devem 
trabalhar no mínimo 80% do tempo para justificar seu 
salário. O alfaiate está justificando seu salário 
segundo a opinião do dono da loja? 
c. Suponha que o alfaiate cobra R$ 15,00 por hora de 
trabalho e que a seção de recortes sofre uma 
punição pela espera de clientes de R$ 15,00 por 
hora (dependente do tempo médio dos clientes na 
fila). Temos a opção de contratar dois alfaiates 
que trabalham em equipe e que gastam um tempo de 
3 minutos para recortar uma roupa a um custo de R$ 
8,00 cada um. Qual é a melhor opção levando em 
conta a punição de 15 reais? 
 
P8 Uma farmácia possui 3 caixas. O gerente usa a 
seguinte estratégia para a abertura dos caixas: se o 
número de clientes for menor ou igual a 2; a farmácia 
opera com apenas 1 caixa; se o número de clientes for 
igual a 3 ou 4, a farmácia opera com 2 caixas; se o 
número de clientes for maior ou igual a 5, a farmácia 
opera com 3 caixas. Os clientes chegam na farmácia 
de acordo com uma distribuição de Poisson, com taxa 
de 10 clientes por hora. O tempo de atendimento de 
um cliente em um caixa segue uma distribuição 
exponencial, com tempo médio de 12 minutos por 
cliente. 
a. Qual a probabilidade de que apenas um caixa 
esteja aberto? 
b. Quantos caixas ficam em média fechados? 
 
P9 Uma estação de trabalho opera com três 
máquinas. Cada máquina quebra em média a cada 5 
horas, e o tempo médio de reparo é de 2 horas (por 
mecânico). Se os intervalos de tempo entre as 
máquinas e os tempos de reparo forem 
exponencialmente distribuídos, analise o desempenho 
deste sistema para 1 ou 2 mecânicos. 
 
P10 Uma empresa possui diversas máquinas para 
produzir certos produtos. Essas máquinas 
eventualmente quebram e necessitam de reparo. As 
solicitações de reparo ocorrem conforme uma 
distribuição de Poisson, com λ = 17,5 solicitações por 
semana. Os tempos de reparo são exponenciais, com 
taxa μ = 10 reparos por semana, para cada mecânico 
da equipe de manutenção da empresa. Se cada 
mecânico custa c = 12 u.m. por semana, e o custo de 
oportunidade de cada máquina parada é estimado em 
d = 50 u.m. por semana, determine o número ótimo m 
de mecânicos. 
 
P11 Um cliente que chegar ao restaurante de fast-
food McBurguer dentro de 4 minutos da partida do 
cliente precedente receberá um desconto de 10%. Se 
o intervalo de tempo entre chegadas estiver entre 4 e 
5 minutos, o desconto é de 6%. Se o intervalo de 
tempo entre chegadas for maior do que 5 minutos, o 
cliente ganha 2% de desconto. O intervalo de tempo 
entre chegadas segue uma distribuição exponencial 
com média de 6 minutos. 
a. Determine a probabilidade de um cliente que 
chegar receber um desconto de 10% 
b. Determine o desconto médio por cliente que 
chegar 
Considere: P (t) = 1 – e 
-λt 
 
P12 A Universidade A opera em duas linhas de 
ônibus no campus: a vermelha e a verde. A linha 
vermelha atende ao campus norte e a linha verde 
atende ao campus sul com uma estação de 
transferência que liga as duas linhas. Os ônibus 
verdes chegam aleatoriamente (de acordo com uma 
distribuição de Poisson) à estação de transferência a 
cada 10 minutos. Ônibus vermelhos também chegam 
aleatoriamente a cada 7 minutos. 
a. Qual é a probabilidade de dois ônibus pararem na 
estação durante um intervalo de 5 minutos? 
b. Um estudante cujo alojamento está localizado 
próximo à estação tem uma aula dentro de 10 
minutos. Qualquer um dos ônibus o levará até o 
edifício onde estão localizadas as salas de aula. A 
viagem dura 5 minutos, e depois ele terá de caminhar 
por aproximadamente 3 minutos para chegar até a 
sala de aula. Qual é a probabilidade de o estudante 
chegar à aula a tempo? 
 
P13 Operários que trabalham em uma fábrica de 
peças e matrizes devem obter suas ferramentas de 
trabalho na ferramentaria/almoxarifado. 
Uma média de dez operários por hora chegam à 
procura de ferramentas. Atualmente, a ferramentaria é 
composta por um funcionário que recebe US $ 6 por 
hora e que leva em média 5 minutos para lidar com 
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cada solicitação de ferramentas. Como cada operador 
produz US $ 10 em mercadorias por hora, cada hora 
que um operário gasta na ferramentaria custa à 
empresa US $ 10. A empresa está decidindo se vale a 
pena contratar (a US $ 4 por hora) um ajudante para o 
funcionário. 
Se o auxiliar for contratado, o funcionário levará uma 
média de apenas 4 minutos para processar 
solicitações de ferramentas. Suponha que os tempos 
de serviço e entre chegadas sejam exponenciais. O 
ajudante deve ser contratado? 
 
P14 O gerente de um banco deve determinar quantos 
caixas devem funcionar nas sextas-feiras. Leva-se em 
conta as seguintes considerações: 
 Para cada minuto que um cliente fica na fila, o 
gerente acredita que um custo de atraso de 5 
¢ é incorrido. 
 Uma média de 2 clientes por minuto chega ao 
banco. 
 Em média, o caixa leva dois minutos para 
concluir a transação de um cliente. 
 Custa ao banco US $ 9 por hora para 
contratar um caixa. 
 Os tempos entre chegadas e os tempos de 
serviço são exponenciais. 
Para minimizar a soma dos custos de serviço e atrasar 
os custos, quantos caixas o banco deve ter nas 
sextas-feiras? 
 
P15 Uma média de 50 clientes por hora chegam a 
uma pequena agência dos correios e os tempos de 
chegada são distribuídos exponencialmente. 
Cada guichê pode atender uma média de 25 clientes 
por hora e os tempos de serviço também são 
distribuídos exponencialmente. Custa US $ 25 por 
hora para abrir um novo guichê, e os correios 
valorizam o tempo que um cliente gasta esperando na 
fila por US $ 15 por hora-cliente. Para minimizar os 
custos esperados por hora, quantos guichês postais 
devem ser abertos? 
 
 
DESAFIOS 
 
 
D1 Um armazém recebe encomendas que são descarregadas usando empilhadores. Um levantamento de dados 
realizado no local permitiu concluir que: 
 os caminhões chegam segundo um processo de Poisson a uma taxa de 16 caminhões/dia; 
 os tempos de descarga são variáveis (seguindo uma distribuição exponencial negativa) com médias que 
dependem do número de empilhadores utilizados: 
Número de 
Empilhadores 
Tempo Médio de 
Descarga (minutos) 
1 50 
2 20 
3 15 
4 12 
5 10 
 a operação de empilhadores custa $1 500/hora; 
 a imobilização dos caminhões acarreta um encargo de $3 000/hora. 
Pretende-se dimensionar a equipe de descarga de modo a minimizar os custos globais do sistema, que funciona 8 
horas por dia. 
Para todos os cenários calcule: 
a. Taxa de utilização (ρ) 
 - gráfico de colunas empilhadas (%ocupado e % ocioso) para cada situação 
 - quais cenários podem ser descartados? 
 - quais cenários podem ser considerados? 
b. Número de usuários no sistema 
 - número de usuários no sistema 
 - número de usuários na fila 
 - número de usuários em atendimento 
 - gráfico de colunasempilhadas (%caminhões em atendimento e %caminhões em espera) para cada 
situação 
c. Tempo dos usuário no sistema 
 - tempo médio do usuário no sistema 
 - tempo médio do usuário na fila 
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 - tempo médio do usuário em atendimento 
 - gráfico de colunas empilhadas (%tempo em atendimento e %tempo em espera) para cada situação 
d. Probabilidades 
 - probabilidade do sistema estar vazio 
 - probabilidade de haver 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 usuários na fila no momento em que um caminhão 
chegar. 
 - gráfico de dispersão (usuários na fila x probabilidade de ocorrência) para cada situação 
e. Custos 
 - Compare os custos de cada situação 
 
D2 Uma moderna estação de correios pretende dimensionar e reorganizar o seu atendimento ao publico, ´ 
pretendendo, no entanto, manter o mesmo esquema de atendimento em que todos os funcionários atendem todo o 
tipo de clientes, pedidos de informação, reclamações, aquisição de selos, vales postais, etc. Para isso recolheu 
informação sobre o numero ´ de chegadas de clientes, bem como sobre os tempos de atendimento tendo concluído 
que as chegadas seguiam bastante aproximadamente uma distribuição de Poisson com parâmetro λ = 1,56 
chegadas por minuto, enquanto os tempos de serviço seguiam uma distribuição negativa com média igual a 66,24 
segundos, a que corresponde uma taxa de atendimento µ = 1/66.24 × 60 = 0.906 atendimentos por minuto. 
O custo horário de cada funcionário é de $1 500. Quanto aos clientes arbitra-se um custo horário independente do 
tempo de espera e igual ao dos funcionários dos correios. 
 
D3 No bairro onde você mora ou nas proximidades da Universidade onde você estuda, há diversos tipos de serviços 
sendo prestados. Propõe-se a realização de um trabalho de campo em um sistema de fila de sua escolha: 
1. Escolha um sistema de fila que seja possível obter informações (parâmetros). 
2. Meça a taxa de chegadas de indivíduos na fila em um período normal λ1 e em períodos de pico λ2. 
3. Meça a taxa de atendimento μ do servidor que atende esta fila. 
4. Em seguida, simule utilizando o software TORA System. 
a. Fila com a taxa λ1 e um servidor 
b. Fila com a taxa λ1 e 2, 3 e 4 servidores 
c. Fila com a taxa λ2 e um servidor 
d. Fila com a λ2 e 2, 3 e 4 servidores 
5. Apresente conclusões e propostas de melhoria para o sistema de fila em estudo.