Aula 5 - Lab 1

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Aula 05 – Construção de Gráficos  ‐ I
Atualmente é difícil imaginar alguma área de ciência ou tecnologia 
em que a utilização de gráficos não seja necessária.
Ex.: Os gráficos que descrevem o comportamento diário (ou anual ) 
da temperatura ou da pressão atmosférica; das variações da pressão 
de um gás, das variações da resistência de um resistor metálico com 
a sua temperatura.
O uso de gráficos na Física é tão importante quanto o conceito de
função na Matemática. Sua utilização na representação de fenômenos
permite ilustrar propriedades importantes.
Um gráfico serve, entre outras coisas, para mostrar a conexão entre
duas ou mais grandezas físicas, sendo uma representação visual do
modo como umas variam em relação às outras.
1‐ )  Registro de dados experimentais em tabelas
Em geral, é muito comum registrar os dados experimentais na forma 
tabular, isto é, são dispostos em tabelas.   Isso torna o registro compacto 
e de fácil visualização.
Para a construção de tabelas não existem normas universais. As 
normas possuem ligeiras variações, dependendo da finalidade do 
registro.
Ex.: Se a tabela fizer parte de algum artigo a ser publicado em 
revista científica, certamente o editor dirá quais são as exigências 
ou normas a serem seguidas pelo autor.
Sugestões para a construção de tabelas:
1‐) No alto da tabela, deve ser escrito o título da mesma; este deve deixar 
claro ao que ela se refere. Nos livros e revistas científicas, o título é 
escrito na legenda.
2‐) Após, a definição das colunas, deve‐se registrar, em cada linha da coluna, 
os valores medidos da grandeza escolhida. Os números devem ser escritos 
um abaixo do outro, numa coluna, pois o olho humano pode facilmente 
comparar números assim dispostos.
3‐) Deve‐se escrever no topo de cada coluna o nome da grandeza e 
imediatamente abaixo, ou ao lado, deve ser escrita sua unidade.
Jamais escrever a unidade na frente de cada valor, repetidamente. 
4‐) Os valores das medidas devem ser registrados com os pertinentes 
algarismos significativos
5‐) Em muitos experimentos, é importante saber a ordem das medidas, 
pois os dados podem depender da história do experimento, depender 
da ordem em que foram obtidas as medidas.  Nesse caso, é incluída à 
esquerda uma coluna com os números de ordem das medidas.
Coluna de areia Instante de Tempo 
de escoamento
Número de ordem Altura    
h[mm]
Valor médio
ݐ [	ݏ	]
0 0,0 0,000
1 10,0 7,166
2 20,0 14,500
3 30,0 21,862
4 40,0 29,040
5 50,0 36,128
6 60,0 43,062
7 70,0 49,960
8 80,0 56,940
9 90,0 63,610
10 100,0 70,318
Tabela 1 . Dados experimentais obtidos na Experiência da 
Ampulheta.
2‐) Registro experimentais através de gráficos
A representação de dados experimentais em gráficos  é altamente 
conveniente pois possibilita que se conheça a relação matemática entre 
as grandezas físicas medidas.
A relação matemática obtida a partir das medidas é, então, 
comparada com a relação matemática prevista pela teoria.
Em resumo, o gráfico permite comparar resultados experimentais e 
teoria. Possibilita verificar se os resultados experimentais concordam 
com os resultados previstos pela teoria.
A construção de um gráfico
A construção de um gráfico compreende duas etapas: o registro, ou 
marcação dos pontos e a análise.
O registro envolve uma série de considerações, como a escolha de 
eixos, escolha de escalas, etc.
Exemplo:   
Experimento do escoamento de areia em ampulheta.
Valendo‐se de um cronômetro fizemos as leituras dos instantes em que o 
nível de areia na coluna inferior da ampulheta atingia as marcas de  0 cm,
1 cm, 2 cm, 3 cm, etc.
grandeza   Altura da coluna de areia
grandeza  Tempo
Variável independente
Variável dependente
Com tal procedimento experimental, deveríamos representar a grandeza 
independente, altura da coluna de areia, no eixo das abscissas (eixo X) e a 
grandeza dependente, tempo, no eixo das ordenadas (eixo Y).
No entanto, por razões didáticas , faremos o gráfico invertido, ou seja, com 
a grandeza tempo no eixo das abscissas e a grandeza altura da coluna de 
areia no eixo das ordenadas.
Necessitamos escolher ou determinar o fator de escala ( ou módulo de escala ) 
para cada um dos eixos.
Provavelmente, a parte mais difícil da representação de 
dados em gráficos
Vamos supor que o gráfico será representado num papel milimetrado do 
formato  A4, ou seja, aquele cuja folha possui as seguintes dimensões:
210 × 297	݉݉
Com a divisão quadriculada em :   180 × 280 mm  
Assim, dispomos de 180 mm de papel num dos eixos e 280 mm no outro.
280 mm
180 mm
Para se achar o fator de escala no eixo horizontal deve‐se notar, na tabela 1, 
que o máximo valor de t a ser representado é 70,318 s. Pode‐se então fazer:
Fator de escala Horizontal: ߣு ߣு =
180
70,318 = 2,5597… ≈ 2,56
Uma escala conveniente deve possibilitar que se representem valores exatos nas 
divisões 50 mm, 100 mm, etc. do papel, pois eles facilitam a interpretação da própria 
escala.
Devemos determinar, no eixo horizontal, um fator de escala menor que 2,56, 
mas que torne possível escrever valores exatos nos 50 mm, 100 mm, etc do 
papel.
Tenta‐se descobrir um divisor
de 50 que seja menor e o mais
próximo possível de 2,56
ߣு= 2,0   é o melhor fator 
de escala para o eixo 
horizontal
Assim, visto que ߣு= 2,0 , serão marcados  no eixo dos t os  valores de X:
X  =  ߣு × ݐ
Por exemplo: o valor 7,166 será marcado em 7,166 × 2 ≈ 14,332 mm e 
assim por diante.
Ao marcar o ponto, a posição 14,332 mm é aproximada para 14,3 mm, pois é 
impossível representar centésimos de mm no papel milimetrado.
Para se determinar o fator de escala no eixo vertical, deve‐se notar que o máximo 
valor de h a ser representado é 10 cm. Então:
Fator de escala Vertical: ߣ௏ ߣ௏ =
280
100 = 2,8
Este quociente, por ser um número que não é um divisor de 50, não 
pode ser adotado para fator de escala !!
Aconselha‐se, nesse caso, usar o fator inteiro 2,0 (poderia se escolher, também, 2,5 ).
ߣ௏= 2,0
Então,  para marcar qualquer valor na vertical faz‐se:
ܻ = ߣ௏ × 		ℎ = 2,0	 × ℎ
Por exemplo: o valor  90,00  será marcado em 90,00 × 2,0 = 180,00 mm e 
assim por diante.
Assim, construiremos uma nova tabela de dados, incluindo os pontos (X,Y), em 
mm, com as aproximações em décimos de milímetro.
Coluna de areia Instante de Tempo de 
escoamento
Número de 
ordem
Altura    
h[mm]
ܻ = ߣ௏ × 		ℎ
Y [mm]
Valor médio
ݐ [	ݏ	]
X  =  ߣு × t
X [mm]
0 0,0 0,0 0,000 0,0
1 10,0 20,0 7,166 14,3
2 20,0 40,0 14,500 29,0
3 30,0 60,0 21,862 43,7
4 40,0 80,0 29,040 58,1
5 50,0 100,0 36,128 72,3
6 60,0 120,0 43,062 86,1
7 70,0 140,0 49,960 99,9
8 80,0 160,0 56,940 113,9
9 90,0 180,0 63,610 127,2
10 100,0 200,0 70,318 140,6
Tabela 2 . Dados experimentais obtidos na Experiência da Ampulheta. As colunas X e Y 
correspondem aos valores em mm para a construção do gráfico
A análise dos dados constitui‐se na análise dos pontos 
experimentais.
Neste caso, ela inicia‐se com o traçado de uma reta média que 
representa um ajuste linear dos pontos experimentais.
Por que se deve traçar uma reta média ?
Como se deve traçar a reta média ?
A razão para se traçar uma reta média é
que, pela observação visual, percebe‐se 
que os pontos parecem alinhar‐se, ou seja, 
parecem seguir ou descrever uma reta.
A reta média deve ser traçada pelo 
entremeio dos pontos e não necessita 
passar, obrigatoriamente, por nenhum 
dos pontos, mas deve atender à condição 
de passar o mais próximo possível de 
cada ponto.
No nosso caso, os pontos dispõem uma sequência que sugere uma relação matemática do 
tipo  Y = B ∙ X , deve‐se incluir a origem e, para gráficos em papel milimetrado, deve‐se 
passara reta média pela origem.
Qual o valor de B ??
1‐) Escolhe‐se dois pontos sobre a reta e bem 
distantes entre si , pontos C e D, na figura;
2‐) A inclinação da reta média será 
calculada da seguinte maneira:
Por construção, os lados ED e CE são:
∆ܺ = ܧܦ			݁			∆ܻ = ܥܧ
Lembrando‐se que:
∆ܺ = ߣு ∙ ∆ݐ					݁				∆ܻ = ߣ௏ ∙ ∆ℎ
∆ݐ = ∆ܺߣு =
ܧܦ
ߣு
∆ℎ = ∆ܻߣ௏ =
ܥܧ
ߣ௏
∆ℎ=஼ாఒೇ= 
ଵସଶ,଴	௠௠
ଶ,଴ = 71	݉݉ ∆ݐ	=
ா஽
ఒಹ= 
ଵ଴଴,଴	௠௠
ଶ,଴	௠௠/௦ = 50,0		ݏ
Então:     B = ∆௛∆௧ =
଻ଵ
ହ଴ = 1,42	݉݉/ݏ Y = B ∙	X 
O experimento analisado  conduz a uma relação entre h e t do tipo
h =  B ∙ t, ou seja :     h = 1,42 ∙ t
Velocidade de escoamento 
da areia
Resumindo:
A elaboração de um gráfico envolve duas etapas:
1‐)  Etapa do registro dos dados, marcação dos pontos 
experimentais;
2‐) Análise do comportamento do conjunto dos pontos