Teoria dos Erros - Fundamentos Básicos

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III. Fundamentos Básicos da . Fundamentos Básicos da Teoria dos Erros
A METROLOGIA é definida como a “ciência das medidas”.Trata dos conceitos básicos, dos métodos, dos erros e 
sua propagação, das unidades e dos padrões envolvidos na quantificação de grandezas físicas, bem como da 
caracterização do comportamento estático e dinâmico dos sistemas de medição.
MEDIR UMA GRANDEZA FÍSICA SIGNIFICA COMPARÁ-LA
COM A UNIDADE DE MEDIDA PADRÃO.
1. M1. MEDIÇÃO
Uma MEDIÇÃO indica, de modo genérico, uma seqüência de ações que permitem efetuar sucessivas 
comparações com a unidade de medida padrão.
a) MEDIÇÃO DIRETA
Quando comparamos a grandeza diretamente com a unidade de medida e suas divisões.
Ex: medição com uma régua.
b) MEDIÇÃO DIFERENCIAL OU RELATIVA
É uma medição direta especial, onde não nos interessa a medida real da grandeza, mas sim aquela tomada a 
partir de um certo ponto adotado como referência.
Ex: medição de paralelismo.
c) MEDIÇÃO INDIRETA OU COMPARATIVA
Quando comparamos uma grandeza não com a unidade de medida, mas com corpos de dimensão 
conhecida.
Em uma medição indireta não se determina a medida real da grandeza. 
Ex: medição com um cadarço de sapato, cinto, etc.
2. INCERTEZAS2. INCERTEZAS
São definidas como sendo a diferença entre o valor real e o valor medido.
a) CLASSIFICAÇÃO DAS INCERTEZAS (OU ERROS)
Em ciência e tecnologia, é fundamental a realização de medidas de grandezas físicas.Estas grandezas 
podem ser, por exemplo, comprimentos, intervalos de tempo, voltagem entre dois pontos, carga elétrica 
transportada, intensidade luminosa, e muitas outras. Para se caracterizar o sistema de freios de um automóvel, 
por exemplo, realiza-se uma medida da distância percorrida após o acionamento dos freios quando o carro se 
movia a uma certa velocidade. 
Ao se realizar uma medida, há sempre fontes de erro que a afetam. As fontes de erro fazem com que 
toda medida realizada, por mais cuidadosa que seja, esteja afetada por um erro experimental. Os erros 
experimentais podem ser classificados em dois grandes grupos: erros sistemáticos e erros aleatórios.
Os erros sistemáticos são causados por fontes identificáveis, e, em princípio, podem ser eliminados ou 
compensados. Erros sistemáticos fazem com que as medidas feitas estejam consistentemente acima ou abaixo 
do valor real, prejudicando a exatidão ("accuracy") da medida (ver Figura XX). Erros sistemáticos podem ser 
causados devido:
— ao instrumento que foi utilizado: por exemplo, erros causados em medidas de intervalos de tempo feitas com 
um relógio que atrasa;
— ao método de observação utilizado: por exemplo, medir o instante de ocorrência de um relâmpago pelo ruído 
do trovão associado;
— a efeitos ambientais: por exemplo, a medida de freqüência da luz emitida por um laser, que pode depender 
ligeiramente da temperatura ambiente;
— a simplificações do modelo teórico utilizado: por exemplo, não incluir o efeito da resistência do ar numa medida 
da aceleração da gravidade baseada na medida do tempo de queda de uma bolinha de uma altura fixa.
Uma das principais tarefas do idealizador ou realizador de medidas é identificar e eliminar o maior 
número possível de fontes de erro sistemático.
1
Os erros aleatórios são flutuações, para cima ou para baixo, que fazem com que aproximadamente a 
metade das medidas realizadas de uma mesma grandeza numa mesma situação experimental esteja desviada 
para mais, e a outra metade esteja desviada para menos. Os erros aleatórios afetam a precisão ("precision") da 
medida (ver Figura XX). Nem sempre é possível identificar as fontes de erros aleatórios. Algumas fontes 
típicas de erros aleatórios são:
— método de observação: erros devidos ao julgamento feito pelo observador ao fazer uma leitura abaixo da 
menor divisão de uma escala, como por exemplo, medir o comprimento de uma folha de papel com uma régua 
cuja menor divisão é 1 mm com precisão na medida de 0,5 mm;
— flutuações ambientais: mudanças não previsíveis na temperatura, voltagem da linha,
correntes de ar, vibrações (por exemplo causadas por passagem de pessoas perto do aparato experimental ou 
veículos nas vizinhanças).
Erros aleatórios podem ser tratados quantitativamente através de métodos estatísticos, de maneira que seus 
efeitos na grandeza física medida podem ser, em geral, determinados.
O termo INCERTEZA indica, de forma genérica, a presença do erro em resultados. Dessa forma, o resultado 
correto deve estar contido na faixa delimitada pela incerteza.
3. INSTRUMENTAÇÃO3. INSTRUMENTAÇÃO
É o conjunto de técnicas e instrumentos usados para observar, medir, registrar, controlar e atuar em 
fenômenos físicos. Tem como finalidade o estudo, desenvolvimento, aplicação e operação dos instrumentos.
Quando necessitamos determinar o valor de uma dada grandeza ou variável física, recorremos aos 
chamados instrumentos de medida que atuam, na verdade, como extensões de nossos próprios sentidos. 
Estes instrumentos são dispositivos concebidos com o propósito de determinar o valor de uma dada 
grandeza ou variável e, como são criações humanas, estes dispositivos não são perfeitos. Exibem características 
que vão torná-los adequados ou inadequados ao trabalho experimental que se deseja realizar. 
aa) CARACTERÍSTICAS INSTRUMENTAIS
— RESOLUÇÃO: é a menor entrada que aplicada a um instrumento resulta em uma saída visível na leitura.
Ex: é a menor tensão que aplicada a um voltímetro resulta em um deslocamento visível do ponteiro.
— EXATIDÃO: é o quanto a graduação do instrumento se aproxima do padrão real. Também conhecida por 
ACURÁCIA.
— PRECISÃO: indica a dispersão dos resultados em torno de um valor de referência, ou seja a medida da 
variabilidade de um processo de medição de qualquer grandeza.
É normalmente considerada como sendo o dobro do desvio padrão de um conjunto de medidas. Quanto 
menor o desvio padrão, maior a precisão do instrumento. Se houver repetibilidade nos resultados, haverá 
precisão.
— RAPIDEZ: Também conhecida como velocidade de resposta ou, simplesmente, resposta. Representa a 
capacidade que um dado instrumento possui em acompanhar as variações temporais de uma dada 
grandeza em estudo.
— SENSIBILIDADE: é a capacidade do equipamento de medida, acusar uma variação dinâmica da grandeza 
medida, ou seja, é a facilidade que um dado instrumento tem de detectar pequenas flutuações na grandeza 
que se está medindo.
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bb) PRINCIPAIS FONTES DE ERRO NA MEDIÇÃO:
— VARIAÇÃO DE TEMPERATURA: A temperatura padrão de referência é de 20ºC para todos os países 
industrializados (normas NBR 6165 do INMETRO e PB 18/56 da ABNT). Se a temperatura muda a peça se 
expande ou contrai, afetando o resultado da medição. Quando não é possível controlar a temperatura devem ser 
feitos cálculos para compensar o erro. 
— FORÇA DE MEDIÇÃO: Os instrumentos simples de medida envolvem o contato entre o instrumento e a peça, 
sendo que a força que promove este contato deve ser tal que não promova a deformação da peça ou do 
instrumento.
— PARALAXE: Quando os traços de uma escala principal e outra secundária, estiverem em planos diferentes, 
dependendo da direção de observação, pode-se obter valores de leitura diferentes, que implicam em erro. 
Assim, a observação da leitura de um instrumento deve ser feita sempre no melhor posicionamento 
perpendicular da vista.
— ESTADO DE CONSERVAÇÃO DO INSTRUMENTO: Folgas provocadas por desgaste no instrumento poderão 
acarretar erros de consideração. Um programa de aferição e calibração periódica serão a garantia de uma 
medição confiável.
4. 4. TRATAMENTO ESTATÍSTICO DE MEDIDAS COM ERROS ALEATÓRIOS
4.1 – ESTIMATIVA DO VALOR CORRETO DA GRANDEZA MEDIDA4.1 – ESTIMATIVA DO VALOR CORRETO DA GRANDEZAMEDIDA
Como os erros aleatórios tendem a desviar aleatoriamente as medidas feitas, se forem realizadas muitas 
medições aproximadamente a metade das medidas feitas estará acima e metade estará abaixo do valor correto. 
Por isso, uma boa estimativa para o valor correto da grandeza será a média aritmética dos valores medidos:
onde xi é o resultado da i-ésima medida e N é o número total de medidas feitas.
4.2 – DISPERSÃO DAS MEDIDAS E PRECISÃO DA ESTIMATIVA4.2 – DISPERSÃO DAS MEDIDAS E PRECISÃO DA ESTIMATIVA
Ao se realizar várias medições da mesma grandeza nas mesmas condições, a incidência de erros 
aleatórios faz com que os valores medidos estejam distribuídos em torno da média. Quando eles se afastam muito 
da média, a medida é pouco precisa e o conjunto de valores medidos tem alta dispersão. Quando o conjunto de 
medidas feitas está mais concentrado em torno da média diz-se que a precisão da medida é alta, e os valores 
medidos tem uma distribuição de baixa dispersão. Quantitativamente a dispersão do conjunto de medidas 
realizadas pode ser caracterizada pelo desvio padrão do conjunto de medidas, definido como:
Conjuntos de medidas com desvio padrão baixo são mais precisas do que quando o desvio padrão é alto. 
Adicionalmente, pode-se demonstrar que o desvio padrão caracteriza o intervalo dentro do qual há 68% de 
probabilidade de ocorrência de um valor medido. Dito de outra forma, isto significa que se for feito um conjunto 
muito grande de medições, 68% delas estarão dentro do intervalo x - S e x + S.
4.3 – ERRO PADRÃO DA MÉDIA4.3 – ERRO PADRÃO DA MÉDIA
À medida que se realiza mais medidas, a compensação dos erros aleatórios entre si vai melhorando e a 
média do conjunto de medidas, xi, vai se tornando uma grandeza mais precisa. O erro padrão da média é 
definido como:
3
(1)
(2)
(3)
Observe que o erro padrão da média diminui com a raiz quadrada do número N de medições realizadas. 
Portanto, realizar mais medidas melhora a determinação do valor médio como estimador da grandeza que se 
deseja conhecer. Entretanto a vantagem não é tão grande quanto desejaríamos, já que, por exemplo, para reduzir 
o erro padrão da média por um fator 3 é necessário aumentar o número de medidas por um fator 9.
4.4 – ERRO PERCENTUAL OU4.4 – ERRO PERCENTUAL OU RELATIVO
É o erro que afeta a grandeza medida, expresso como porcentagem. Portanto, o erro relativo percentual 
numa medida x com erro absoluto ∆x será dado por:
%100×∆=
x
x
Rε
4.5 – PROPAGAÇÃO DE ERROS EM CÁLCULOS4.5 – PROPAGAÇÃO DE ERROS EM CÁLCULOS
Geralmente é necessário usar valores medidos e afetados por erros para realizar cálculos a fim de se 
obter o valor de outras grandezas. É necessário conhecer como o erro na medida original afeta a grandeza final.
– SOMA E SUBTRAÇÃO DE GRANDEZAS AFETADAS POR ERROS– SOMA E SUBTRAÇÃO DE GRANDEZAS AFETADAS POR ERROS
A análise estatística rigorosa mostra que ao somarmos ou subtrairmos grandezas estatisticamente 
independentes o erro no resultado será dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados dos erros de cada uma 
das grandezas. Por exemplo, se tivermos três grandezas dadas por: (X ± ∆X), (Y ± ∆Y) e (Z ± ∆Z), a soma (ou 
subtração) delas,
ZYXW ++=
será afetada por erro de valor
222 )()()( ZYX SSSW ++=∆
Como aproximação, pode-se usar que, se o erro de uma das grandezas da soma (ou subtração) for, pelo menos, 
três vezes maior que os das outras (por exemplo, Sx >> Sy, Sz), o erro do resultado será dado por este erro:
∆W ≅ SX.
– MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE GRANDEZAS AFETADAS POR ERROS– MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE GRANDEZAS AFETADAS POR ERROS
Neste caso, o erro relativo do resultado será dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados dos erros 
relativos de cada fator. 
Por exemplo, se 
Y
XW = ou ainda ZYXW ⋅⋅= teremos:
222



+


+


⋅=∆
Z
S
Y
S
X
SWW ZYX
5. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS5. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Conforme o nome já diz, eles representam a quantidade de algarismos que efetivamente tem relevância na 
apresentação de uma medida, ou do resultado de uma operação matemática.
Os algarismos significativos de uma medida são constituídos pelos algarismos verdadeiros e pelo primeiro 
duvidoso:
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS = ALGARISMOS VERDADEIROS + 1O DUVIDOSO
onde:
Algarismos Verdadeiros – aqueles que se repetem, nas mesmas posições, em todas as medidas;
Algarismos Duvidosos – aqueles cujo valor varia ao longo do conjunto de medidas;
4
(4)
(5)
(6)
Na primeira tabela, fica claro que a terceira decimal constitui o primeiro algarismo duvidoso da medida. Neste 
caso, possuímos apenas uma estimativa de seu valor.
Um resultado que seja escrito em termos de seus algarismos significativos, além de correto, representa 
principalmente, um resultado confiável.
66. FIXANDO OS CONCEITOSFIXANDO OS CONCEITOS
Vamos utilizar um exercício, para fixar os conceitos aqui expostos.
Um estudante tentando determinar o valor correto do comprimento de uma peça, 
utiliza um instrumento preciso para realizar dez (10) leituras da mesma, e 
organiza seus dados em uma tabela conforme mostrado ao lado:
Observando a tabela ao lado, vamos responder as questões propostas.
a) qual o valor médio do comprimento da peça?
 Valor médio ou simplesmente Média é a média aritmética. De acordo com a 
equação (1), é obtida somando-se todos os valores e dividindo pelo número de 
medidas. Assim, no exemplo:
mmC 6374,20=
Repare que o valor médio possui 6 algarismos e está entre 20,637 mm e 20,638 mm. A média aritmética também 
é conhecida pelo termo “valor mais provável”.
b) de quanto cada medida desviou-se do valor médio?
O valor referente ao quanto essa medida desviou-se do valor médio é designado por DESVIO 
ABSOLUTO (d) e mede a “distância” que a medida está da média.
CCd ii −=
Se essa distância estiver à direita da média, o desvio é positivo; se estiver à esquerda, o desvio é negativo.
Observe que existe uma flutuação em torno do valor médio, que é representada pelos desvios. Dessa forma,
mmCCd 0004,011 −=−=
mmCCd 0014,022 −=−=
e assim sucessivamente, obtendo o conjunto de desvios representado na próxima tabela:
5
Medida Comp. (mm)
01 20,637
02 20,636
03 20,639
04 20,638
05 20,637
06 20,639
07 20,638
08 20,636
09 20,637
10 20,637
Medida Comprimento (mm) Desvios (mm)
01 20,637 -0,0004
02 20,636 -0,0014
03 20,639 +0,0014
04 20,638 +0,0006
05 20,637 -0,0004
06 20,639 +0,0014
07 20,638 +0,0006
08 20,636 -0,0014
09 20,637 -0,0004
10 20,637 -0,0004
mmC 6374,20=
c) qual o erro (ou incerteza) presente no valor médio do comprimento da peça? 
Quando afirmamos que o comprimento da peça tem o valor de 20,6374 mm – que é um valor médio - estamos 
admitindo que existe uma flutuação das medidas em torno da média. Ao conjunto dessas flutuações, dá-se o 
nome de dispersão.
Se a dispersão for grande, estaremos incorrendo em um erro grande ao admitirmos tal aproximação (valor da 
peça = valor médio); se a dispersão for pequena, nosso erro será pequeno, porém, ele sempre existirá.
Assim, é conveniente calcularmos o valor da dispersão para termos noção da qualidade de nossas medidas. A 
dispersão é quantificada pelo DESVIO PADRÃO (S) e calculado pela equação (3).
Em nosso exemplo, obteremos para o desvio padrão o valor de:
mmS 001075,0=
Isto significa que a flutuação (incerteza) surge já na 3a. casa decimal.
Tendo conhecimento do valor da dispersão e do valor médio da peça, o estudante poderá agora escrever seu 
resultado (valor do comprimento da peça), através do VALOR EXPERIMENTAL CORRIGIDO (VEC) , que é representado da 
seguinte forma:
unidadespadrãodesviomédiovalorVEC )( ±=
Entretanto, se observarmos o valor médio e o erro associadoalinhados, conforme mostrado abaixo:
20,6374
 0,001075
concluiremos que, como o erro já está presente a partir da terceira casa decimal, não há sentido em escrevermos 
os algarismos pertencentes à quarta ou quinta decimal. Assim,
mmVEC )001,0637,20( ±=
d) e se o estudante não pudesse fazer um conjunto de medidas e sim, uma única medida apenas? 
Bem, nesse caso, a incerteza costuma ser definida com sendo a resolução, resolução ou sensibilidade (δ) do 
instrumento. Dessa forma,
unidadesmedidaúnicadavalorVEC )( δ±=
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7. E. EXERCÍCIOS
1 - Realiza-se dez medidas da largura L de uma chapa de alumínio, obtendo-se:
L1 = 70,1 cm L6 = 70,2 cm
L2 = 70,3 cm L7 = 70,3 cm
L3 = 70,2 cm L8 = 70,2 cm
L4 = 70,1 cm L9 = 70,1 cm
L5 = 70,4 cm L10 = 70,2 cm
Pede-se organizar uma tabela com os dados nela arrumados, contendo:
a) o valor mais provável de L;
b) os desvios absolutos de cada medida;
c) o desvio padrão;
d) o desvio padrão da média;
e) o erro relativo
f) escrever, ao lado da tabela, o VEC da largura, observando o número de algarismos significativos corretos.
2 – Calcule o erro associado, à área de um círculo cujo raio é expresso por:
R = (2,15 + 0,01) cm
3 – Ao medir-se uma placa de aço, foram encontrados os seguintes resultados para o comprimento, a largura e a 
espessura, respectivamente:
C = (200,0 + 0,5) mm; L = (90,5 + 0,5) mm E = (8,0 + 0,5) mm
Determine o volume VP da chapa e o erro propagado ∆VP, expressando seu resultado através do VEC.
7
	5. Algarismos Significativos
	6. fixando os conceitos
	þÿ