Métodos Gráficos para Análise de Dados

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III. III. Métodos Gráficos
1. I1. INTRODUÇÃONTRODUÇÃO 
Um gráfico é a representação do comportamento matemático entre duas (ou mais) variáveis em estudo. 
As representações gráficas são de grande utilidade no tratamento de dados experimentais, devido à sua clareza 
em registrar informações relativas ao comportamento das variáveis consideradas. Podemos verificar facilmente 
através de um gráfico:
- os pontos experimentais duvidosos;
- valores fora da região estudada experimentalmente (extrapolação da curva);
- informações sobre o comportamento das grandezas estudadas;
Podemos construir gráficos em qualquer sistema de coordenadas (cartesianas, esféricas, polares, cilíndricas, 
etc.), entretanto, utilizaremos no decorrer do curso, apenas gráficos cartesianos, construídos em dois tipos de 
escalas: linear (papel milimetrado) e logarítmica (papel di-log).
2. N2. NORMASORMAS PARAPARA OO T TRAÇADORAÇADO DEDE G GRÁFICOSRÁFICOS
a) Escala – sempre que possível deve ser escolhida de forma que ocupe 2/3 da porção útil dos eixos;
b) Escolha dos Eixos – se estivermos estudando uma relação do tipo y = f(x), isto significa que os valores 
da variável y dependem dos valores dados à x. Dessa forma, y é chamado de variável dependente e x, de 
variável independente. Salvo algumas exceções, em uma representação gráfica, as variáveis 
dependentes ocupam o eixo vertical (eixo das ordenadas) e as variáveis independentes ocupam o eixo 
horizontal (eixo das abscissas).
c) Barras de Erro – ao marcar a posição de um ponto P(xi,yi) em um gráfico, não deve-se esquecer que a 
medida xi tem uma incerteza associada ∆xi e a medida yi também tem uma incerteza associada ∆yi. 
Essas incertezas delimitam um retângulo de lados 2∆xi e 2∆yi, chamado retângulo de erro.
Note que, na verdade, desconhece-se a verdadeira posição de P e, a única coisa que sabemos é que ele 
encontra-se no interior do retângulo de erro. De forma a não sobrecarregar o gráfico, substitui-se o 
retângulo de erro por barras de erro. 
Observe também que as dimensões das barras de erro (ou do retângulo de erro) dependem 
fundamentalmente da escala utilizada.
d) Complementos :
Indique claramente em cada eixo o nome da variável a ser representada (ou seu símbolo) e a unidade 
usada (ou sua abreviatura) e título;
A escala de um eixo independe da escala utilizada no outro eixo, portanto, não é necessário que o ponto 
de intersecção dos eixos tenha as coordenadas (0,0).
Os valores obtidos experimentalmente devem ser tabelados no verso do papel e, para maior clareza do 
gráfico, não devem estar indicados numericamente ao longo dos eixos coordenados. Nestes, deverá 
constar apenas, VALORES NUMÉRICOS INTEIROS;
O traçado da melhor curva deverá ser feito em linha contínua passando pela maioria dos pontos ou, 
ajustada pelo método dos mínimos quadrados (ver ítem 6). NÃO UTILIZA-SE LINHAS PONTILHADAS PARA COORDENAR 
OS PONTOS;
Dá-se o nome de extrapolação quando supõe-se que o comportamento das variáveis na região 
estudada, é igual para as regiões vizinhas, fora do intervalo pesquisado. Neste caso, estendemos a 
curva experimental até o limite desejado através uma linha pontilhada;
A escala deverá estar indicada no verso do papel, juntamente com os valores do coeficientes angular e 
linear;
Caso seja necessário representar mais de uma curva no mesmo gráfico, deve-se utilizar cores ou tipos 
de traçados diferentes.
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3. G3. GRÁFICOSRÁFICOS EMEM P PAPELAPEL M MILIMETRADOILIMETRADO
São adotados para representar qualquer tipo de função, entretanto, são mais utilizados no estudo das 
funções lineares.
3.1. 3.1. FUNÇÕES LINEARES 
Quando a relação matemática entre duas variáveis X e Y é linear, ela é representada por uma equação 
do primeiro grau (equação da reta):
Y = nX + m
onde m e n são, respectivamente, os coeficientes angular e linear da reta. Assim,
o coeficiente linear n é o ponto onde a reta corta o eixo dos Y (em X = 0) e o coeficiente angular m é 
determinada pela razão ∆Y/∆X, ou seja:
Y
Xn
∆
∆
= ou ainda
12
12
YY
XXn
−
−
=
É importante observar que numericamente o coeficiente angular pode ser igualado à tangente do ângulo que 
a reta forma com o eixo das abscissas, porém, para uma equação linear que relacione grandezas físicas, a 
tangente de um angulo é um número (sem dimensões) e não mais poderá representar o coeficiente angular, 
que é uma grandeza com dimensões físicas.
3.2. 3.2. ESCALAS LINEARES 
Pode-se lançar mão de vários tipos de escala na confecção de um gráfico, entretanto, com vistas a este 
curso iremos abordar apenas um tipo de escala, que fornece sempre a origem dos eixos como sendo o ponto 
(0,0).
Se ∆L é o comprimento útil do eixo e Gmáx é o valor máximo da variável a ser representada em escala 
naquele eixo, então:
MAXG
LE ∆=
Conforme citado anteriormente, como temos duas variáveis, usaremos duas escalas diferentes, para 
representar cada uma no eixo apropriado. Assim teremos uma escala para o eixo vertical (Ey) e outra para o 
eixo horizontal (Ex).
Em geral, pelo fato de nosso sistema ser decimal, são consideradas boas escalas, aquelas terminadas 
em 0 (zero) ou 5 (cinco). Preferencialmente, salvo algumas exceções, devemos “arredondar” as escalas 
encontradas para valores que terminem com um desses dois números.
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3.3. 3.3. POSIÇÃO DO PAPEL 
Observe que o papel de gráficos, em geral, é retangular. Ao montar o gráfico, deve-se optar por montá-
lo com o papel “em pé” ou com o papel “deitado”. Essa opção será determinada pela tabela de dados 
experimentais. A grandeza que possuir maior variação deverá ocupar o eixo maior do papel.
Ex:
V (m/s) t (s)
50 10
100 20
150 30
200 40
Nesse caso, ∆V = 150 m/s e ∆t = 30 s. Assim, comparando numericamente os dois valores, o gráfico deverá 
ser construído utilizando-se o papel “em pé”.
3.4. 3.4. EXEMPLO DE CONSTRUÇÃO DE UM GRÁFICO 
Deve-se agora, a título de exemplificação, construir um gráfico (em papel anexo) baseado nas 
orientações anteriores. Para simplificar, não serão adotadas as barras de erro.
A tabela abaixo mostra, hipoteticamente, como o volume VL de um líquido desconhecido varia com a 
temperatura T.
VL (ℓ) T (oC)
0,00 0
2,50 25
5,00 50
7,50 75
10,00 100
Pede-se: a) construir o gráfico de VL = f (T);
b) levantar a equação que relaciona VL com T.
Solução
a) Posição do Papel e Localização das Variáveis: Uma rápida inspeção nos valores da tabela 
permite que decida-se por construir o gráfico com o papel “deitado”. Com relação à posição das variáveis 
em cada eixo, tem-se que VL irá ocupar o eixo vertical e T, o eixo horizontal.
b) Montagem das Escalas: Observe o papel milimetrado em anexo. No eixo vertical temos um 
comprimento de 180 mm e no eixo horizontal, um comprimento de 280 mm. Para a escala vertical teremos 
então:
cujo resultado é:
Ou seja, cada 1 litro de gás será representado no gráfico pela distância de 18 mm. Cabe fazer aqui, as 
seguintes considerações: a escala obtida termina com o algarismo 8, o que, definitivamente, não a torna uma 
a melhor escolha. Devemos arredondá-la para um valor que termine com zero ou cinco e nesse caso, a 
escolha deverá ser entre passá-la para 20 mm/ℓ ou para 15 mm/ℓ. Por razões óbvias, a escala será 
“arredondada” para o valor de 15 mm/ℓ. Dessa maneira,
Assim, teremos que cada 1ℓ corresponderá à distância de 15 mm no papel de gráfico.
Para a escala horizontal,
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cujo resultado de 2,8mm/◦C, pelas mesmas considerações anteriores, terá seu valor modificado para:
Dessa forma, cada 1 oC corresponderá à distância de 2,5 mm no papel de gráfico.
Uma vez ajustadosos valores das escalas, já podemos iniciar a marcação de pontos no papel, sabendo a 
correspondência entre o valor da grandeza e a correspondente distância, em milímetros, no papel de gráfico. 
Para auxiliar na marcação dos pontos, pode-se criar uma tabela auxiliar, com os valores das distâncias em 
milímetros. Assim,
Após marcarmos, coordenarmos os pontos verificamos que os mesmo correspondem à uma função linear, ou 
seja,
 Y = n X + m
onde Y corresponde à VL e X à temperatura T. Assim, 
VL = nT + m
Traçando a reta correspondente, devemos encontrar agora o valor dos coeficientes angular e linear, através 
do gráfico, que fornecerá os valores de
n = 0,1 ℓ/ oC e m = 0,00 ℓ
dessa forma, podemos escrever a equação da função VL = f (T) como:
VL = 0,1 T
4. F4. FUNÇÕESUNÇÕES N NÃOÃO-L-LINEARESINEARES
Vamos supor um sistema cujo comportamento seja descrito pela função: 
y = (a x4 + b)1/2
e que o nosso interesse seja determinar os parâmetros a e b, através do método gráfico. Utilizando uma 
substituição apropriada de variáveis, é possível transformar a função não-linear acima, em outra que 
seja linear. Por exemplo, podemos reescrever a função como 
y2 = a x4 + b
Fazendo: w = y2 e z = x4 
podemos obter uma nova tabela de pontos (z , w) que obedecem à relação:
w = a z + b
que representa a equação de uma reta. Consequentemente, podemos aplicar o estudo desenvolvido 
anteriormente para obter os parâmetros a e b. 
Escala de VL (mm) VL (ℓ) T (oC) Escala de T (mm)
0 0,00 0 0
37,5 2,50 25 62,5
75 5,00 50 125
112,5 7,50 75 187,5
150 10,00 100 250
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A técnica de "transformar" curvas em retas, sem que haja perda da informação contida na função original, é 
conhecida como ANAMORFOSE.
Os papéis que dispomos no mercado se destinam a linearização de, basicamente, dois tipos de funções não-
lineares:
a) y = k .BNX
b) y = k . XN
 Observe que no item b, a variável independente é diretamente proporcional à variável dependente e seu 
expoente é um número N. No item a, a variável independente é o próprio expoente.
5. G5. GRÁFICOSRÁFICOS EMEM P PAPELAPEL L LOGARÍTMICOOGARÍTMICO
5.1. P5.1. PAPELAPEL M MONOONO--LOGLOG ( (OUOU S SEMIEMI-L-LOGOG):):
Lineariza funções do tipo descrito no item 4.a, onde B é uma base conhecida e k e N são parâmetros a 
serem determinados através de um gráfico. Uma maneira de se obter uma relação linear da função, será 
aplicando o logarítmo na base 10 em ambos os lados da expressão: Assim,
log y = log (k .BNX ) ou log y = log k + (N log B) X
fazendo m = log k e n = N log B obtemos para a expressão acima,
log y = m + n X
Veja que log y é uma função linear de X. Assim, de posse de um papel monolog, devemos marcar X na escala 
linear e y na escala logarítmica. Dessa forma, o gráfico resultante será uma reta onde facilmente 
determinaremos n e m, e consequentemente, N e k.
Casos ParticularesCasos Particulares
a) a base B vale 10:
Neste caso, n = N log 10 e como log 10 = 1,
n = N
b) a base B vale ℮ : 
Neste caso, n = N log e sendo log ℮ = 0,43 temos,
 n = 0,43 N
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5.2. Papel Di-log (ou Log-Log): 
Se em um experimento você obtiver um conjunto de pontos (x,y) e suspeitar que ele obedeça à funções do 
tipo descrito no item 4.b, é possível determinar os parâmetros k e N facilmente através da aplicação do logarítmo 
na expressão . Observe atentamente que neste papel, nem sua posição nem seus eixos podem ser modificados, 
pois a distância entre dois números fornece o valor do logarítmo (na base 10) deste.
Assim,
log y = log k + ( log XN)
log y = log k + N log X
fazendo m = log k, 
X = log X e 
Y = log y, 
obtemos para a esta expressão,
Y = m + N X
Veja que log y é uma função linear de log X. Assim, de posse de um papel dilog, devemos marcar Y e X nas 
escalas logarítmicas. Dessa forma, o gráfico resultante será uma reta onde facilmente determinaremos m e N, e 
consequentemente, k.
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6. 6. AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
A reta que se ajusta ao conjunto de pontos (x1, y1), (x2, y2),.......(xn, yn) é dada pela equação y = c0 + c1x, onde c0
e c1 são constantes que serão determinadas através da resolução simultânea do sistema de equações abaixo: 
Σy = c0 N + c1Σx (1)
Σx.y = c0 Σx + c1 Σx2 (2)
Onde N é o número de pares de valores x e y, e as equações 1 e 2 são denominadas de equações normais da 
reta.
Exemplo: Dada a tabela 1, traçar o gráfico não ajustado, obter a equação da reta que se ajusta ao conjunto de 
pontos e em seguida traçar o gráfico ajustado pelo método dos mínimos quadrados.
TABELA 1
Procedimento para encontrar a equação da reta ajustada:
I - O primeiro passo consiste na elaboração de uma tabela auxiliar (TABELA 2) na qual devem constar as colunas 
correspondentes a x, y, x.y e x2.
TABELA 2
II – O segundo passo consiste na substituição dos valores encontrados nas equações (1) e (2):
 40 = 8 c0 + 56 c1 (1a)
364 = 56 c0 + 524 c1 (2a)
Multiplicando-se (1a) por –7 e somando-se com (2a) nos leva a equação: 84 = 0 + 132 c1, logo c1 = 0,63636…
≈ 0,64 e c0 ≈ 0,55.
A reta assim obtida é então dada pela equação: 
x(s) 1 3 4 6 8 9 11 14
y (m) 1 2 4 4 5 7 8 9
x (s) y (m) x.y (m.s) x2 (s2)
1 1 1 1
3 2 6 9
4 4 16 16
6 4 24 36
8 5 40 64
9 7 63 81
11 8 88 121
14 9 126 196
Σx=56 Σy=40 Σx.y=364 Σx2=524
 y = 0,55 + 0,64 x
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7. 7. EXERCÍCIOS
a) A tabela 1 mostra um conjunto de pontos levantados experimentalmente. Trace os gráficos R = f (t) em papel 
milimetrado e em papel Di-Log. Em seguida levante a função geradora dos pontos e analise o fenômeno físico 
completamente.
(R ± 0,01) mm 0,03 0,12 0,27 0,48 0,75 1,08
(t ± 0,02) s 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
TABELA 1
b) Uma dada experiência forneceu os dados da tabela 2. Mostre que o fenômeno pode ser descrito por uma 
função do tipo Y = k.eNX e em seguida determine k e N. Quais devem ser as unidades de X e Y? 
x 4,0 9,0 16 25 36 49 64 80
y 16,0 13,2 9,70 7,40 4,90 2,90 1,70 1,00
TABELA 2
	Escala de VL (mm)
	Escala de T (mm)
	Solução