ASP Unidades1e2

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Modelagem e Análise de 
 
Sistemas Elétricos em 
 
Regime Permanente 
 
 
Sérgio Haffner 
 
http://slhaffner.phpnet.us/ 
haffner@ieee.org 
slhaffner@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvido para ser utilizado como notas de 
aula para a disciplina de Análise de Sistemas 
de Potência (ASP). 
 
 
 
Fevereiro 2008 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução – Sérgio Haffner Versão: 3/3/2008 Página 4 de 4 
 
Introdução 
 
Estas notas de aula têm como objetivo apresentar, de forma resumida, o conteúdo integral da disciplina 
introdutória na área de Sistemas de Energia para um curso em nível de graduação em Engenharia Elétrica 
(parcial para uma disciplina em nível de pós-graduação em Engenharia Elétrica) que consiste na análise de 
sistemas de energia elétrica em regime permanente senoidal. Estas notas não detalham em profundidade 
todos os aspectos relacionados com o tema, mas podem ser utilizadas para balizar estudos nesta área, cuja 
bibliografia em português não é muito abundante, em função da retirada dos títulos já esgotados dos 
catálogos das editoras. 
 
A análise de sistemas elétricos em regime permanente é de extrema importância, pois é desta forma que as 
redes operam quase na totalidade do tempo. Nestas condições, busca-se que todos os equipamentos elétricos 
(geradores, transformadores, linhas de transmissão, alimentadores, motores, etc.) estejam operando dentro de 
seus limites (tensão, freqüência, potência, etc.) e, se possível, de forma ótima (visando maximizar a 
segurança e minimizar o custo de geração, as perdas de transmissão, etc.). 
 
Para efetuar esta análise, em cada condição de carga e geração possível para o sistema ou sub-sistema 
elétrico, deve-se conhecer: 
• O carregamento nas linhas de transmissão e nos transformadores, visando verificar se há sobrecarga 
ou elementos ociosos; 
• A potência gerada em cada unidade de geração, visando efetuar uma análise de custos; 
• A potência consumida em cada unidade, visando efetuar projeções do crescimento do consumo; 
• A tensão nos diversos pontos do sistema, para verificar se existem tensões muito acima ou abaixo 
dos valores nominais; 
• As perdas de transmissão, visando compara alternativas de alimentação das cargas; 
• As conseqüências, em regime permanente, da perda de algum equipamento, visando verificar se o 
estado de operação é seguro. 
 
Desta forma, é possível verificar com objetividade a forma de operação que o sistema elétrico se encontra. A 
avaliação destes indicadores é a base dos métodos empregados na definição das alterações necessárias para 
modificar o ponto de operação do sistema com o objetivo melhorar sua forma de funcionamento em regime 
permanente. 
 
O conteúdo está dividido em oito capítulos, da seguinte forma. 
 
No Capítulo I é feita uma revisão dos conceitos necessários da análise de circuitos em regime permanente 
senoidal juntamente com a apresentação da notação empregada nos demais capítulos. Adicionalmente, 
descrevem-se o sistema por unidade e a análise por fase, muito freqüente em sistemas de energia, quando o 
sistema pode ser considerado equilibrado. 
 
No Capítulo II é feita uma breve análise do balanço de potência e suas implicações com a magnitude da 
tensão nas barras e com a abertura angular das linhas e dos transformadores. Ainda, descrevem-se as 
equações do fluxo de carga em linhas de transmissão e transformadores em fase. 
 
No Capítulo III descreve-se a forma pela qual os elementos que são conectados em um nó do sistema de 
energia elétrica são modelados para análise por fase (aplicada para circuitos equilibrados). 
 
Nos Capítulos IV e V o problema denominado Fluxo de Carga (ou Fluxo de Potência) não-linear que 
consiste, basicamente, na determinação das tensões nodais (em módulo e fase) é formulado e resolvido. 
 
No Capítulo VI é descrito o modelo linearizado para o problema do Fluxo de Carga, que consiste em uma 
simplificação do modelo não-linear que é muito utilizada em estudos de planejamento. 
Fabiano
Rectangle
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Bibliografia – Sérgio Haffner Versão: 3/3/2008 Página 1 de 1 
 
 
 
 
Bibliografia 
 
 
1. Alcir J. Monticelli (1983). Fluxo de carga em redes de energia elétrica. Edgar Blücher. 
2. Alcir J. Monticelli, Ariovaldo V. Garcia (2003). Introdução a sistemas de energia elétrica. Editora da 
Unicamp. 
3. Alcir Monticelli, Ariovaldo Garcia, Osvaldo Saavedra (1990). Fast decoupled load flow: hypothesis, 
derivations and testing, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 4, No. 4, November, pp. 1425-1431. 
4. Arthur R. Bergen, Vijay Vittal (2000). Power systems analysis. Prentice Hall. 
5. Charles A. Gross (1986). Power system analysis. J. Wiley. 
621.3191 G878p 
6. Dorel Soares Ramos (1982). Sistemas elétricos de potência: regime permanente. Guanabara Dois. 
621.3191 R175s 
7. IEEE recommended practice for industrial and commercial power systems analysis (1997). IEEE. 
621.31042 I42i 
8. John J. Grainger, William D. Stevenson Jr. (1994). Power system analysis. McGraw-Hill. 
621.3191 G743 
9. J. Arrillaga, N. R. Watson (2001) Computer modelling of electrical power systems. John Willey & Sons 
Ltd. 
10. Hadi Saadat (1999). Power system analysis. McGraw-Hill, New York, 697p. 
11. O. I. Elgerd (1981). Introdução à teoria de sistemas de energia elétrica. McGraw Hill do Brasil. 
621.3191 E41ib (Edição 1981) 
621.3191 E41ia (Edição 1978) 
621.3191 E41i (Edição 1970) 
12. Syed A. Nasar (1991). Sistemas eléctricos de potencia. McGraw-Hill. 
13. Turan Gonen (1988). Modern power system analysis. J. Wiley. 
621.3191 G638m 
14. W. D. Stevenson Jr. (1986). Elementos de análise de sistemas de potência. McGraw-Hill. 
621.3191 S847eb (edição de 1981) 
621.3191 S847ea (edição de 1978) 
 
Fabiano
Rectangle
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 1 de 22 
 
I – Introdução ao estudo de sistemas de potência 
I.1 – Representação fasorial 
Nos circuitos elétricos assintoticamente estáveis
1
, a análise do regime permanente senoidal pode ser 
realizada através da simples operação com números complexos por intermédio da transformada fasorial. Na 
análise fasorial, todas as correntes e tensões senoidais são representadas por números complexos que 
quantificam a amplitude e o ângulo de fase das senóides, sendo a freqüência destas considerada 
implicitamente. 
 
Qualquer função do tipo senoidal pode ser representada pela função 
 
 ( ) ( )φω += tGtg cos 
 
através da escolha dos valores adequados para: 
 
 G – valor máximo (amplitude); 
 
T
f
π
πω
2
2 == – velocidade angular [rad/s]; 
 f – freqüência [Hz]; 
 T – período [s]; 
 φ – ângulo de fase [rad]. 
 
A Figura I.1 apresenta o gráfico de uma função senoidal genérica, indicando os valores de G e φ. 
t 
[rad] 
g(t) 
−φ 
G 
-G 
ω 
 
Figura I.1 – Função tipo senoidal. 
 
Observar que quando o ângulo de fase φ é igual a 2
π− , a função cosseno transforma-se em um seno, 
conforme mostra a Figura I.2, ou seja, são válidas as seguintes relações: 
 





+=
2
sencos
π
ωω tt 





−=
2
cossen
π
ωω tt 
 
1
 Circuitos assintoticamente estáveis são aqueles que não apresentam nenhuma das raízes de sua equação 
característica no eixo imaginário ou no semiplano direito do plano complexo. Neste caso, a resposta natural tende a 
zero: 
( ) 0lim =
∞→
tynt 
e a resposta completa tende à sua resposta forçada: 
( ) ( ) ( ) ( )tytytyty ffntt =+= ∞→∞→ limlim 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 2 de 22 
 
π/2 ω t [rad] 
cos 
sen 
 
Figura I.2 – Relação entre as funções seno e cosseno. 
 
 
Define-se como defasagem a diferença entre os ângulos de fases de duas funções do tipo senoidal demesma 
velocidade angular ω. Sendo ( ) ( )111 cos φω += tGtg e ( )








−+=
876 2
122 cos
φ
αφωtGtg , a defasagem entre ( )tg1 e 
( )tg 2 é dada por ( ) ααφφφφ =−−=− 1121 , conforme ilustra a Figura I.3. 
α 
g1(t) g2(t)
ω t [rad]
 
Figura I.3 – Defasagem entre duas funções senoidais. 
 
Assim, pode-se dizer que: 
( )tg1 está adiantada em relação à ( )tg 2 do ângulo αααα e 
( )tg 2 está atrasada em relação à ( )tg1 do ângulo αααα. 
 
Considere a função senoidal geral: 
( ) ( )φω += tYty cosmax (I.1) 
 
Note que a função tem três parâmetros: maxY – amplitude 
 ω – velocidade angular 
 φ – ângulo de fase 
 
Observar que qualquer função senoidal pode ser representada através da escolha adequada de maxY , ω e φ . 
 
Utilizando a identidade de Euler: θθθ sencos je j += 
 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 3 de 22 
 
 
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )[ ] [ ]












=
===+++=
+=+=
+
tj
Y
j
tjjtj
ee
Y
eeYeYtjYtY
tYtYty
ωφ
ωφφω
φωφω
φωφω
48476
2
Re2
ReResencosRe
cosRecos
max
maxmaxmaxmax
maxmax
 
 ( ) ( )tjeYty ωRe2= (I.2) 
onde 
φje
Y
Y
2
max
= é definido como a representação fasorial de ( )ty ou a transformada fasorial da função 
senoidal ( )ty . 
 
Observar que a transformada fasorial transfere a função senoidal do domínio do tempo para o domínio dos 
números complexos, que também é chamada de domínio da freqüência, já que a resposta envolve 
implicitamente uma função senoidal de freqüência ω. 
 
Notar que Y contém 
2
/3 das informações de ( )ty a saber, maxY e φ . Considerando 
2
maxYY = , o valor RMS
2
 
de ( )ty , tem-se: 
 
 φφ YYeY j == (I.3) 
 
A representação gráfica em um sistema coordenado de um fasor genérico encontra-se na Figura I.4. 
 
φcosY
φsenY
φYY =
Im 
Re 
φ
 
Figura I.4 – Representação gráfica do fasor Y 
 
Observar que o fasor é diferente de um vetor porque a posição angular do fasor representa posição no 
tempo; não no espaço. 
Resumo: 
 ( ) ( )φω += tYty cosmax ou ( ) ( )
tjeYty ωRe2= 
φ
φ YYeY j == Forma polar 
2
maxYY = 
φφ sencos jYYY += Forma retangular 
2
maxYY = 
 
2
 “Root Mean Square” ou valor quadrático médio (eficaz). 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 4 de 22 
 
I.2 – Impedância [ΩΩΩΩ] e admitância [ΩΩΩΩ-1 ou siemens] 
A impedância Z de um componente ou circuito é a relação entre os fasores tensão e corrente (vide 
convenção de sinais da Figura 1.5): 
 
( )



=
=
+==
∆
reatância
aresistênci
X
R
jXR
I
V
jZ ω (I.4) 
 
A admitância Y de um componente ou circuito é o inverso de sua impedância: 
 
( )
( ) 


=
=
+===
∆
iasusceptânc
acondutânci1
B
G
jBG
V
I
jZ
jY
ω
ω (I.5) 
 
 
Circuito 
linear 
invariante 
em regime 
permanente 
senoidal 
( ) [ ]tjeVtv ωRe2=
+ 
– 
( ) [ ]tjeIti ωRe2=
( )
Y
jZ
1
=ω
 
Figura I.5 – Definição de impedância e admitância. 
 
 
Um resumo das relações entre tensão e corrente para os elementos simples encontra-se na Tabela I.1. 
 
 
Tabela I.1 – Relação tensão/corrente dos elementos simples. 
 
Elemento Equações 
Relação de 
fase 
Forma fasorial: 
( ) [ ]tjeIti ωRe2= 
( ) [ ]tjeVtv ωRe2= 
Diagrama 
fasorial 
Relação no 
tempo 
( )tv
+
–
( )ti
R
 
( ) ( )φω += tVtv cosmax 
 
( ) ( )φω += tIti cosmax 
( )ti e ( )tv 
em fase 
IRV = 
I
φ
V
 
i(t) 
v(t) 
 
( )tv
+
–
( )ti
L
 
( ) ( )φω += tVtv cosmax 
 
( ) 





−+=
2
cosmax
π
φωtIti
 
( )ti atrasada 
de ( )tv de 90
° 
ILjV ω= 
 
LX L ω= I
φ
V
 
i(t) 
v(t) 
 
( )tv
+
–
( )ti
C
 
( ) ( )φω += tVtv cosmax 
 
( ) 





++=
2
cosmax
π
φωtIti
 
( )ti adiantada 
de ( )tv de 90
°
 
I
Cj
V
ω
1
= 
 
C
X C
ω
1
= 
I
φ
V
 
i(t) 
v(t) 
 
 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 5 de 22 
 
I.3 – Associação de impedâncias 
Para a associação série de impedâncias (vide Figura I.6), a impedância equivalente é dada pela soma das 
impedâncias de cada um dos componentes, ou seja: 
 neq ZZZZ +++= K21 (I.6) 
 – 
V 
+ 
– 
1V+ – I 2V+ – nV + 
1Z 2Z nZ
V 
+ 
– 
I
eqZ ≡ 
 
Figura I.6 – Diagrama para associação série de impedâncias. 
 
A expressão (I.6) pode ser demonstrada utilizando-se a Lei de Kirchhoff das Tensões, da forma como segue: 
 n
nn
eq ZZZ
I
V
I
V
I
V
I
VVV
I
V
Z +++=+++=
+++
== KK
K
21
2121
LKT
 
Sabendo que 
Y
Z
1
= , pode-se determinar a expressão da admitância equivalente da associação série, a partir 
da expressão (I.6): 
 
n
eq
neq
YYY
Y
YYYY 111
11111
21
21
+++
=⇒+++=
K
K 
 
Para a associação paralela de impedâncias (vide Figura I.7), a impedância equivalente é dada pelo inverso 
da soma dos inversos das impedâncias de cada um dos componentes, ou seja: 
 
n
eq
neq
ZZZ
Z
ZZZZ 111
11111
21
21
+++
=⇒+++=
K
K (I.7) 
 
V 
+ 
– 
I
1Z 2Z nZ
V 
+ 
– 
I
eqZ≡ 
1I 2I nI
 
Figura I.7 – Diagrama para associação em paralelo de impedâncias. 
 
A expressão (I.7) pode ser demonstrada utilizando-se a Lei de Kirchhoff das Correntes, da forma como 
segue: 
 
nn
n
eq
ZZZZ
V
Z
V
Z
V
V
III
V
I
V
Z
111
1
2121
21
LKC
+++
=
+++
=
+++
==
KK
K
 
Novamente, sabendo que 
Y
Z
1
= , pode-se determinar a expressão da admitância equivalente da associação 
série, a partir da expressão (I.7): 
 neq YYYY +++= K21 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 6 de 22 
 
I.4 – Potência complexa 
Considere o sistema da Figura I.8 que se encontra em regime permanente senoidal. 
 
 
+ 
)cos()( max φω += tVtv
)cos()( max θφω −+= tIti
- 
)(tv
)(ti 
φ 
V
I
 θ 
Re
Im
φ
2
maxV
V =
θφ −=
2
maxII
SISTEMA 
 
Figura I.8 – Sistema em regime permanente senoidal. 
 
A potência instantânea fornecida para o sistema é dada por: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −++== ttIVtitvtp coscosmaxmax (I.8) 
 
mas ( ) bababa sensencoscoscos −=+ , daí 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) θφωθφωθφωθφωθφω sensencoscossensencoscoscos +++=−+−−+=−+ ttttt (I.9) 
Substituindo (I.9) em (I.8), 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )φωφωθφωθ
θφωθφωφω
++++=
=++++=
ttIVtIV
tttIVtp
sencossencoscos
sensencoscoscos
maxmax
2
maxmax
maxmax (I.10) 
Mas 
2
2cos1
cos2
a
a
+
= e aaa cossen22sen = , logo: 
 
( ) ( )[ ]
( ) ( )
( )
2
22sen
sencos
22cos1
2
1
cos2
φω
φωφω
φωφω
+
=++
++=+
t
tt
tt
 (I.11) 
Aplicando (I.11) em (I.10), chega-se a: 
 ( ) ( )[ ] ( )φωθφωθ 22sensen
2
22cos1cos
2
maxmaxmaxmax
++++= t
IV
t
IV
tp 
Definindo 
2
maxVV = e 
2
maxII = como os valores eficazes da tensão e da corrente senoidais, 
 VI
IVIV
==
222
maxmaxmaxmax 
chega-se à seguinte expressão: 
 
 ( ) ( )[ ] ( )φωθφωθ 22sensen22cos1cos ++++= tVItVItp (I.12) 
 
A forma de onda da potência instantânea dada por (I.12) apresenta uma parcela constante, igual a θcosVI , e 
uma parcela variável e alternada variante no tempo, igual a ( ) ( )φωθφωθ 22sensen22coscos +++ tVItVI , cuja 
freqüência corresponde exatamente ao dobro da freqüência da tensão e da corrente. 
 
Quando a tensão está em fase com a corrente, os gráficos das funções tensão, corrente e potência 
instantâneas são de acordo com a Figura a seguir. Observar que a função potência instantânea é oscilante e 
apresenta sempre valores positivos. 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 7 de 22 
 
01 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
Corrente em fase com a tensão
wt
v
(t
),
 i
(t
),
 p
(t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
Figura I.9 – Gráfico da potência no tempo – corrente em fase com a tensão. 
 
Quando a corrente está atrasada de 90°°°° em relação à tensão, os gráficos das funções tensão, corrente e 
potência instantâneas são de acordo com a Figura a seguir. Observar que a função potência é oscilante e 
apresenta valor médio nulo. 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
Corrente atrasada de 90 graus
wt
v
(t
),
 i
(t
),
 p
(t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
Figura I.10 – Gráfico da potência no tempo – corrente atrasada de 90
o
 em relação à tensão. 
 
Quando a corrente está adiantada de 90°°°° em relação à tensão, os gráficos das funções tensão, corrente e 
potência instantâneas são de acordo com a Figura a seguir. Novamente, observar que a função potência é 
oscilante e apresenta valor médio nulo. 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
Corrente adiantada de 90 graus
wt
v
(t
),
 i
(t
),
 p
(t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
Figura I.11 – Gráfico da potência no tempo – corrente adiantada de 90
o
 em relação à tensão. 
 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 8 de 22 
 
Uma situação intermediária é aquela na qual a corrente está atrasada de um ângulo qualquer (por exemplo, 
30°, conforme Figura a seguir). Neste caso a potência apresenta valores positivos e negativos, sendo a 
predominância dos positivos. 
 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
Corrente atrasada de 30 graus
wt
v
(t
),
 i
(t
),
 p
(t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
Figura I.12 – Gráfico da potência no tempo – corrente atrasada de 30
o
 em relação à tensão. 
 
A partir da expressão (I.12) é fácil determinar o valor da potência ativa (eficaz ou útil, que produz trabalho) 
que é igual ao valor médio da potência instantânea fornecida ao sistema: 
 ( )[ ] ( )[ ]∫∫ ++++=∆
TT
dttVItVI
T
dttp
T
P
00
22sensen22cos1cos
1
)(
1
 φωθφωθ 
 θcos VIP = [W] (I.13) 
 
A potência reativa corresponde ao valor máximo da parcela em ( )φω 22sen +t da potência instantânea: 
 θθ sensenI VIVQ =∆ [var] (I.14) 
 
para a qual adota-se a seguinte convenção
3
: 
INDUTOR: “consome” potência reativa 
CAPACITOR: “gera” potência reativa 
 
A potência aparente é obtida pela combinação das potências ativa e reativa P e Q: 
 22 QPVIS +== [VA] (I.15) 
 
As expressões (I.13), (I.14) e (I.15) sugerem uma relação de triângulo retângulo (similar ao triângulo das 
impedâncias) na qual a potência aparente S é a hipotenusa, conforme ilustra a Figura I.13. 
S
P
jQ
IV ∠−∠=θ
S
P
jQ
IV ∠−∠=θ
Característica INDUTIVA Característica CAPACITIVA
 
Figura I.13 – Triângulo das potências. 
 
 
3
 Observar que para qualquer elemento ou combinação de elementos, a parcela representada pela potência reativa 
apresenta valor médio nulo, ou seja, não existem geração nem consumo efetivo, na metade do ciclo o elemento absorve 
energia que será devolvida na metade seguinte do ciclo. A convenção é adequada porque na metade do ciclo em que o 
indutor está absorvendo energia o capacitor está devolvendo e vice-versa. 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 9 de 22 
 
O fator de potência é obtido pela relação entre as potências ativa e aparente: 
 
 θ
θ
cos
cos
===
VI
VI
S
P
FP 
 
Utilizando-se os fasores tensão e corrente, 
 
θφ
φ
−=
=
II
VV
 
pode-se definir a potência complexa através do produto do fasor tensão pelo conjugado do fasor corrente: 
 
 jQPjVIVIVIIVIVS +=+==+−=⋅= θθθθφφ sencos
*
 (I.16) 
 
Notar que desta forma, o ângulo da potência só depende do ângulo entre a tensão e a corrente (θ), conforme 
ocorre nas expressões (I.13), (I.14) e (I.15). 
 
I.5 – Sentido do fluxo de potência 
Considere os dois sistemas elétricos interligados mostrados na Figura I.14. 
 
+ 
- 
V
I
αVV =
βII =
SISTEMA 
A 
SISTEMA 
B 
 
Figura I.14 – Situação geral do fluxo de potência em circuitos CA. 
 
De acordo com a notação da Figura I.14, a potência complexa fornecida para o Sistema B pelo Sistema A é 
dada por: 
 
 ( ) ( ) jQPjVIVIVIIVIVS +=−+−=−=−=⋅= βαβαβαβα sencos
*
 
 
O sentido do fluxo de potência ativa P e reativa Q entre os dois sistemas para βαψ −= variando de 0 a 
360
o
 está mostrado na Figura I.15. 
 
oo 900
:
:
<<
→
→
ψ
BA
BA
Q
P
oo 18090
:
:
<<
→
→
ψ
BA
AB
Q
P
 
oo 360270
:
:
<<
→
→
ψ
AB
BA
Q
P
oo 270180
:
:
<<
→
→
ψ
AB
AB
Q
P
 
P [W] 
Q [var] 
βαψ −= 
αVV =
βII =
 
Figura I.15 – Sentido dos fluxos de potência ativa (P) e reativa (Q) entre os Sistemas A e B. 
 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 10 de 22 
 
Na Figura I.15, observar que quando o ângulo de abertura é igual a 100
o
 ( o100=ψ ), o valor de ψcos é 
negativo e, portanto, o fluxo de potência ativa de A para B também é pois ψcosVIP = . Isto significa que o 
fluxo de potência ativa neste caso é de B para A. Por outro lado, o valor de ψsen é positivo e, portanto, o 
fluxo de potência reativa de A para B também é, pois ψsenVIQ = . Isto significa que o fluxo de potência 
reativa neste caso é de A para B. Observar que dependendo do ângulo de abertura existente entre os fasores 
tensão e corrente é possível qualquer combinação de fluxo de potências ativa e reativa entre os dois sistemas. 
 
I.6 – Fonte trifásica ideal 
Uma fonte trifásica ideal é constituída por três fontes de tensão em conexão estrela ou triângulo, conforme 
ilustra a Figura I.16. 
 
BNV
ANV
+ 
+ 
N 
CNV
+ 
ABV
BCV
CAV
+ 
– 
+ 
– 
– 
+ 
(opcional) 
A 
B 
C 
 
 
ABV
BCV
CAV
+ 
+ + 
ABV
BCV
CAV
+ 
– 
– 
– 
+ 
+ 
N 
 
(a) Conexão estrela (b) Conexão triângulo. 
Figura I.16 – Fonte trifásica, ligação estrela. 
 
As diferenças de potencial entre as fases e o neutro (referência) são denominadas tensões de fase; as 
diferenças de potencial entre as fases 2 a dois são denominadas tensões de linha. Na seqüência ABC, o 
sistema é formado pelas seguintes tensões de fase ( )CNBNAN VVV ,, e de linha 
( )ACCACBBCBAAB VVVVVV −=−=−= ,, , ilustradas na Figura I.17: 
0
φ
VV AN = 
oo 30303 LBNANAB VVVVV ==−= φ 
o120−=
φ
VV BN 
oo 90903 −=−=−= LCNBNBC VVVVV φ 
o120
φ
VV CN = 
oo 1501503 LANCNCA VVVVV ==−= φ 
 
Tensões de Fase (φ): 
ANV
ω CNV
BNV
CNBNAN VVV ;;
ABV
BCV
CAV
ANV
ω 
CNV
BNV
ABV
BCV
CAV
 
Tensões de Linha (L): 
CABCAB VVV ;;
CACBBA VVV ;;
BAV
CBV
ACV
 
Figura I.17 – Tensão de fase e de linha em um sistema trifásico simétrico (seqüência ABC). 
 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 11 de 22 
 
A constante que relaciona a magnitude da tensão de fase com a de linha ( )
φ
VVL 3= pode ser obtida, 
conforme mostrado na Figura I.18. 
 
ANV
BNV
BNANAB VVV −=
o120
o30
o30
φ
VV
VVVV
L
ANANABL
3
330cos2
=
===
o
BNV−
o60
 
Figura I.18 – Relação entre as tensões de fase e de linha. 
 
I.7 – Carga trifásica ideal 
A carga trifásica ideal é constituída por três impedâncias de igual valor conectadas em estrela ou triângulo, 
conforme mostra a Figura I.19. 
 
N 
YZ
YZ
YZ
A 
B 
C 
 
 
N 
∆Z
∆Z
∆Z
A 
B 
C 
 
(a) Ligação estrela. (b) Ligação malha ou triângulo. 
Figura I.19 – Carga trifásica equilibrada. 
 
A equivalência entre uma carga equilibrada conectada em estrela com outra em triângulo é: 
YZZ 3=∆ (I.17) 
 
I.8 – Potência complexa em circuitos trifásicos equilibrados 
Para um sistema trifásico qualquer (a três ou quatro fios, ou seja, com ou sem condutor neutro), conforme o 
ilustrado na Figura I.20, a potência complexa fornecida pelo Sistema A parao Sistema B é dada por: 
 333322221111
*
33
*
22
*
113 βαβαβαφ −+−+−=⋅+⋅+⋅= IVIVIVIVIVIVS NNNNNN 
Substituindo iii βαθ −= e separando a parte real da imaginária, chega-se a: 
 ( ) 33322211133 coscoscosRe θθθφφ IVIVIVSP NNN ++== 
 ( ) 33322211133 sensensenIm θθθφφ IVIVIVSQ NNN ++== 
 
φφφ 333 jQPS += 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 12 de 22 
 
 
 
1φ
2φ
3φ
1I
2I
3I
NI
NV 1
+ 
NV 2
+ 
NV 3
+ 
N 
Sistema A 
Sistema B 
333
222
111
333
222
111
β
β
β
α
α
α
II
II
II
VV
VV
VV
NN
NN
NN
=
=
=
=
=
=
333
222
111
βαθ
βαθ
βαθ
−=
−=
−=
 
 
 
Figura I.20 – Sistema trifásico para a determinação da potência complexa. 
 
O fator de potência médio da potência fornecida pelo Sistema A para o Sistema B é dado por: 
 
φ
φ
3
3
médio
S
P
FP = 
As potências aparentes fornecidas pelas fases são dadas por: 
 11
2
1
2
11 IVQPS N=+= 
 22
2
2
2
22 IVQPS N=+= 
 33
2
3
2
33 IVQPS N=+= 
e os fatores de potência desenvolvidos em cada uma das fases são dados por: 
 1
1
1
1 cosθ==
S
P
FP 
 2
2
2
2 cosθ==
S
P
FP 
 3
3
3
3 cosθ==
S
P
FP 
Quando o sistema trifásico é simétrico e alimenta uma carga equilibrada, os ângulos de defasagem entre os 
fasores tensão e corrente das fases são iguais ( )θθθθ === 321 e as potências ativa, reativa e aparente totais 
são dadas por: 
 
 θθ
φφ
cos3cos33 LLL IVIVP == 
 θθ
φφ
sen3sen33 LLL IVIVQ == 
 LLL IVIVS 333 == φφ 
 
sendo o fator de potência expresso por: 
 
 θ
φ
φ
φ
cos
3
3
3 ==
S
P
FP 
 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 13 de 22 
 
Ainda, para um sistema trifásico simétrico alimentando uma carga equilibrada, tem-se4: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )θφωφω
θφωφω
θφωφω
−++=++=
−−+=−+=
−+=+=
oo
oo
120cos120cos
120cos120cos
coscos
maxmax
maxmax
maxmax
tItitVtv
tItitVtv
tItitVtv
CC
BB
AA
 
 
Utilizando a definição de potência instantânea, tem-se: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −++== ttIVtitvtp AAA coscosmaxmax (I.18) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −−+−+== oo 120cos120cosmaxmax ttIVtitvtp BBB (I.19) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −++++== oo 120cos120cosmaxmax ttIVtitvtp CCC (I.20) 
 
sendo a potência total dada por: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )tptptptp CBA ++=φ3 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[
( ) ( )]θφωφω
θφωφωθφωφω
φ
−+++++
+−−+−++−++=
oo
oo
120cos120cos
120cos120coscoscos3
tt
ttttIVtp mm
 (I.21) 
 
Das expressões (I.18), (I.19) e (I.20), têm-se
5
: 
 
 
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( )[ ]o
ooo
o
ooo
12022coscos
2
1
24022coscos
2
1
120cos120cos
12022coscos
2
1
24022coscos
2
1
120cos120cos
22coscos
2
1
coscos
−−++=
=−+++=−++++
+−++=
=−−++=−−+−+
−++=−++
θφωθ
θφωθθφωφω
θφωθ
θφωθθφωφω
θφωθθφωφω
t
ttt
t
ttt
ttt
 
 
Substituindo as expressões anteriores na expressão (I.21), chega-se a: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
θθθ
θφωθφωθφωθ
φ
φ
cos33cos
2
3cos3
2
1
12022cos12022cos22coscos3
2
1
1
0
3
VIP
IV
IV
tttIVtp
mm
mm
mm
====
=








−−+++−++−++=
= 4444444444444 84444444444444 76
oo
 
 
Deste modo, a potência trifásica instantânea fornecida para um sistema equilibrado6, através de tensões 
simétricas, é constante. Assim, embora a potência instantânea fornecida por intermédio de cada uma das 
fases seja variável, o somatório de todas as contribuições é constante. 
 
4
 Foi utilizada a seqüência ABC mas o resultado permanece válido para a seqüência ACB. 
5
 Lembrar que: ( ) ( )[ ]bababa ++−= coscos
2
1
coscos 
6
 Observar que o resultado obtido pode ser estendido para qualquer sistema polifásico simétrico que alimente cargas 
equilibradas, ou seja, a potência polifásica instantânea fornecida para um sistema equilibrado, alimentado por tensões 
simétricas, é constante. 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 14 de 22 
 
I.9 – Análise por fase e diagrama unifilar 
No estudo do regime permanente do sistema de energia elétrica, utiliza-se a análise por fase pois o sistema é 
considerado equilibrado, da geração ao consumo, ou seja: 
a) as fontes do sistema são consideradas simétricas; 
b) as impedâncias das fases são consideradas iguais e 
c) as cargas são consideradas equilibradas. 
 
Desta forma, o resultado (tensão, corrente, etc.) de uma fase pode ser utilizado para as demais desde que se 
façam os ajustes de fase necessários. 
 
 
Exemplo I.1 – Uma fonte trifásica, 2400 V, seqüência ABC, alimenta duas cargas conectadas em paralelo: 
• Carga 1: 300 kVA, fator de potência igual a 0,8 indutivo e 
• Carga 2: 144 kW, fator de potência igual a 0,6 capacitivo. 
 
Se a Fase A é utilizada como referência angular (ou seja, o ângulo de fase de ANV é igual a zero), 
determinar: 
a) O circuito equivalente por fase (diagrama de impedância). 
b) As correntes de linha das Fases A, B e C. 
 
 
Solução Exemplo I.1: 
 
a) Inicialmente, determina-se o fasor potência complexa referente a cada uma das cargas: 
 
Carga 1: kVA 300
1 carga
3 =φS 
 kW 2403008,0
1 carga
31
1 carga
3 =×=×= φφ SFPP 
 ( ) ( ) kvar 180240300 22
21 carga
3
21 carga
3
1 carga
3 =−=−= φφφ PSQ 
 ( ) kVA 36,9300kVA 180240
1 carga
3
o
=+= jS φ 
Carga 2: kW 144
2 carga
3 =φP 
 kVA 240
6,0
144
2
2 carga
32 carga
3 ===
FP
P
S
φ
φ
 
 ( ) ( ) kvar 192144240 22
22 carga
3
22 carga
3
2 carga
3 −=−=−−= φφφ PSQ 
 ( ) kVA 53,1240kVA 192144
2 carga
3
o
−=−= jS φ 
 
Para a Fase A, tem-se: 
Carga 1: ( ) kVA 36,9100kVA 6080
3
1 carga
31 o
=+== j
S
S A
φ
 
Carga 2: ( ) kVA 15380kVA 6448
3
2 carga
32 o,j
S
S A −=−==
φ
 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 15 de 22 
 
Solução Exemplo I.1 (continuação): 
Conhecendo o valor da tensão de fase da Fase A, V 0
3
2400
0
3
oo
==
L
AN
V
V , e a expressão da potência 
desenvolvida na Fase A: 
 
*
*






=⇒=
AN
A
AAANA
V
S
IIVS 
pode-se determinar a corrente desenvolvida nas Cargas 1 e 2, como segue: 
 ( ) A 30,437457A 36,92,72
0
36,9100000
*
3
2400
*
1
1
j,
V
S
I
AN
A
A −=−=








=








=
o
o
o
 
 ( ) A 19,4664,34A 3,157,57
0
1,5380000
*
3
2400
*
2
2
j
V
S
I
AN
A
A +==







 −
=








=
o
o
o
 
 
Para o equivalente em estrela, 
 ( ) Ω+=Ω=
−
== 52,1136,15 36,92,19
36,92,72
0
3
2400
1
1
j
I
V
Z
A
AN
Y
o
o
o
 
 ( ) Ω−=Ω−=
−
== 2,194,14 3,1524
3,157,57
0
3
2400
2
2
j
I
V
Z
A
AN
Y
o
o
o
 
 
O circuito equivalente para a Fase A encontra-se na Figura I.21. 
 
V 0
3
2400 o
AI
+ 
2
AI
1
AI
Ω 36,15
Ω 52,11j
Ω 4,14
Ω− 2,19j
 
Figura I.21 – Circuito equivalente para a Fase A. 
 
b) De acordo com o diagrama da Figura I.21, a corrente de linha da Fase A é dada por: 
 ( ) A 8,14,92A 89,238,9219,4664,3430,437457
21 o
=+=++−=+= jjj,III AAA 
Levando em conta a simetria do sistema trifásico e a seqüência ABC, tem-se: 
 
 A 2,11892,4A 1208,14,92 ooo −=−=BI 
 A 8,12192,4A 1208,14,92 ooo =+=CI 
 
 
Observar que quando se realiza análise por fase é melhor empregar o circuito equivalente em estrela; se a 
conexão do equipamento é em triângulo, pode-se converter para o seu circuito equivalente em estrela. Como 
conseqüência, as linhas de baixo dos circuitos equivalentes por fase representam o neutro, as tensões são as 
de fase e as correntes são de linhas (na conexão estrela, a corrente de fase é igual à corrente de linha). 
 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência –Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 16 de 22 
 
Na Figura I.22, observa-se a representação de um sistema de energia elétrica através do diagrama unifilar, do 
diagrama trifásico (trifilar) de impedâncias e do diagrama de impedância por fase. No diagrama unifilar é 
possível representar a topologia do sistema (ligações), os valores das grandezas elétricas dos componentes e 
sua forma de conexão. O diagrama trifilar de impedâncias representa o circuito elétrico equivalente ao 
sistema de energia elétrica. O diagrama de impedância por fase representa uma simplificação do diagrama 
trifásico sendo utilizado para determinar os valores das grandezas elétricas do sistema para uma fase 
(posteriormente, este resultado é estendido para as demais fases). 
 
 
G1 
G2 
1 2 3 
4 
T1 T2 
Y-Y Y-Y 
• • • • 
(a) Diagrama unifilar. 
• • • • 
• • • • 
• • • 
• • • 
• • • 
• • • 
• • • • • • • 
• • • • • • • 
• 
• 
• 
• 
(b) Diagrama trifilar de impedância. 
• • • 
• • • 
(c) Diagrama de impedância por fase (em pu). 
Gerador Transformador 1 Transformador 2 
Carga e 
Gerador 2 
G1 
G1 
G1 
G1 
G2 
G2 
G2 
G2 
Linha de 
Transmissão 
 
Figura I.22 – Representação do sistema de energia elétrica. 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 17 de 22 
 
Exercício I.1 – Uma fonte trifásica, 13,8 kV, seqüência ABC, alimenta por intermédio de uma linha com 
impedância série de ( )Ω+ 44 j , duas cargas conectadas em paralelo: 
• Carga 1: 500 kVA, fator de potência igual a 0,8 indutivo e 
• Carga 2: 150 kvar, capacitivo. 
Se a Fase A é utilizada como referência angular (ou seja, o ângulo de fase de ANV é igual a zero), 
determinar: 
a) O circuito equivalente por fase (diagrama de impedância). 
b) As correntes de linha das Fases A, B e C. 
 
I.10 – O sistema por unidade (pu) 
Freqüentemente, na análise de sistemas de energia elétrica ao invés de serem utilizadas as unidades originais 
para as grandezas envolvidas (tensão, corrente, potência, etc.) são utilizadas unidades relativas (por unidade 
ou, simplesmente, pu), obtidas através da normalização dos valores originais destas grandezas (em V, A, W, 
etc.) por valores pré-estabelecidos para cada grandeza, denominados valores de base. Realizando esta 
normalização em todas as grandezas do sistema, é possível: 
• Manter os parâmetros do sistema elétrico dentro de uma faixa de valores conhecidos evitando, portanto, 
erros grosseiros. Por exemplo, quando se utiliza o valor nominal da tensão como valor de referência 
(valor de base), pode-se verificar a partir do valor normalizado da tensão (em pu) sua distância do valor 
desejado (nominal). Valores em pu próximos a unidade significam proximidades do valor nominal; 
valores de tensão muito abaixo ou acima de 1 pu representam condições anormais de operação. 
• Eliminar todos os transformadores ideais do sistema elétrico. 
• A tensão de operação do sistema permanece sempre próxima da unidade. 
• Todas as grandezas possuem a mesma unidade ou pu (embora os valores de base sejam diferentes para 
cada uma das grandezas). 
Para realizar a transformação das grandezas para pu basta dividir o valor destas pelo seu valor de base, ou 
seja: 
 
basevalor 
atualvalor 
pu emvalor = (I.22) 
O valor de base deve ser um número real; o valor atual pode ser um número complexo (se for utilizada a 
forma polar, transforma-se apenas a magnitude da grandeza, mantendo-se o ângulo na unidade original). 
A grandeza de base definida para todo o sistema de energia elétrica é a potência elétrica, base3φS 
(geralmente 100 MVA): 
 basebase3
base3
base 3
3
φφ
φ
φ
SS
S
S =⇔= [MVA] (I.23) 
A tensão base, baseV , geralmente corresponde à tensão nominal do sistema na região de interesse: 
 base base 
base 
base 3
3
φφ
VV
V
V L
L
=⇔= [kV] (I.24) 
A corrente base, baseI , e a impedância base, baseZ , são obtidas a partir da potência e da tensão de base: 
 
base 
base 3
base 
base 3
base 
base 
base base 
3
3
3
LL
YL
V
S
V
S
V
S
II
φ
φ
φ
φ
==== [kA] (I.25) 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 18 de 22 
 
 
base 
base 3base 
base 
33 L
L
V
SI
I
φ
==
∆
 [kA] (I.26) 
 
 
base 3
2
base 
base 
base 
base 
φ
φ
S
V
I
V
Z L
Y
Y == [Ω] (I.27) 
 
base 3
2
base 
base 
base 
base base 333
φ
φ
S
V
I
V
ZZ L
Y
Y ===∆ [Ω] (I.28) 
 
Têm-se, assim, duas classes de grandezas de base: 
• Primárias – Nesta classe se incluem a potência base, definida para todo o sistema, e a tensão base, que 
varia em função da tensão nominal da região em análise. 
• Secundárias – Nesta classe se incluem a corrente base e a impedância base que são calculadas em 
função da potência base (definida para todo o sistema) e dos valores nominais de tensão, utilizados como 
tensão base na região em análise. 
Existem outras formas de normalização possível, com definições diversas de grandezas nas classes grandezas 
primárias e secundárias, entretanto esta é a forma usual na análise de sistemas de energia elétrica. 
 
Uma operação bastante freqüente na modelagem de sistemas elétricos é a mudança de base de valores de 
impedâncias. Um exemplo clássico da necessidade de mudança de base é a compatibilização do valor das 
impedâncias dos transformadores, usualmente fornecidos em seu valor percentual, tendo como potência base 
a potência nominal do equipamento e como tensões base as tensões terminais dos enrolamentos. 
 
Para realizar a mudança de base de uma impedância na base 1, ( )1 basepu Z , para a base 2, ( )2 basepu Z , deve-se 
proceder como segue: 
 ( ) ( )
2 base
1 base
1 basepu 2 basepu 
Z
Z
ZZ = (I.29) 
 ( ) ( )
1 base 3
2 base 3
2
2 base 
1 base 
1 basepu 2 basepu 
φ
φ
S
S
V
V
ZZ
L
L






= (I.30) 
 
Exemplo I.2 – Considere o sistema do Exemplo I.1. Supondo que kVA 300base3 =φS e kV 4,2base =LV , 
determinar: 
a) As bases do sistema por unidade. 
b) Desenhar o circuito equivalente por fase em valores por unidade. 
c) Determinar o fasor corrente da Fase A em valores por unidade e em ampères. 
Solução Exemplo I.2: 
a) Utilizando as expressões (I.23), (I.24), (I.25) e (I.27) tem-se: 
 kVA 100
3
300000
3
base3
base ===
φ
φ
S
S 
 V 1386
3
2400
3
base 
base ===
LVV
φ
 
 A 2,72
1386
100000
base 
base 
base ===
φ
φ
V
S
IY 
 Ω=== 2,19
2,72
1386
base 
base 
base 
Y
Y
I
V
Z
φ
 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 19 de 22 
 
Solução Exemplo I.2 (continuação): 
b) De acordo com os valores obtidos no Exemplo I.1, tem-se: 
 ( ) pu 6,08,0pu 36,91
2,19
36,92,19
base 
1
1
pu j
Z
Z
Z
Y
Y
Y +====
o
o
 
 ( ) pu 00,175,0pu 3,1525,1
2,19
3,1524
base 
2
2
pu j
Z
Z
Z
Y
Y
Y −=−=
−
==
o
o
 
 ( ) pu 01pu 01
1386
0
3
2400
base 
pu j
V
V
V
AN
AN +====
o
o
φ
 
O circuito equivalente por fase em valores por unidade encontra-se na Figura I.23. 
 
pu 01 o
pu AI
+ 
2
pu AI
1
pu AI
pu 8,0
pu 6,0j
pu 75,0
pu 00,1j−
 
Figura I.23 – Circuito equivalente para a Fase A em pu. 
 
c) Do circuito da Figura I.23, tem-se: 
 ( ) pu 6,08,0pu 87,361
6,08,0
011
pu j
j
I A −=−=
+
=
o
o
 
 ( ) pu 64,048,0pu 13,538,0
00,175,0
012
pu j
j
I A +==
−
=
o
o
 
 ( ) pu 04,028,1pu 8,128,164,048,06,08,0
2
pu 
1
pu pu jjIII AAA +==++−=+=
o 
 ( ) A 89,238,92A 8,192,472,28,128,1base pu jIII YAA +==×==
oo 
Observar que o valor obtido em ampères é o mesmo calculado no Exemplo I.1. 
 
 
Exemplo I.3 – A Figura I.24 mostra o diagrama unifilar de um sistema elétrico trifásico. 
 
G1 
1 2 3 4 T1: 12 : NN 
Y-Y Y-Y 
T2:′′
21 : NN 
2,4 kV 24 kV 12 kV 
1000 A 
 
Figura I.24 – Diagrama unifilar do Exemplo I.3. 
 
Considere que o comprimento da linha entre os dois transformadores é desprezível, que a capacidade do 
gerador φ3 é de 4160 kVA (2,4 kV e 1000 A), que este opera em condição nominal ( )A 1000=LI 
alimentando uma carga puramente indutiva. A potência nominal do transformador trifásico T1 é 6000 kVA 
(2,4/24 kV Y/Y) com reatância de 0,04 pu. T2 tem capacidade nominal de 4000 kVA, sendo constituído por 
um banco de três transformadores monofásicos (24/12 kV Y/Y) com reatância de 4% cada. Determinar: 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 20 de 22 
 
a) A potência base. 
b) A tensão de linha base. 
c) A impedância base. 
d) A corrente base. 
e) Resuma os valores base em uma tabela. 
f) Os valores das correntes em A. 
g) A corrente em pu. 
h) O novo valor das reatâncias dos transformadores considerando sua nova base. 
i) O valor pu das tensões das Barras 1,2 e 4. 
j) A potência aparente nas Barras 1,2 e 4. 
 
 
 
Solução Exemplo I.3: 
a) A potência base é selecionada arbitrariamente como: kVA 2080base 3 =φS . 
b) Para o circuito em 2,4 kV arbitra-se o valor de kV 5,2base =LV . As demais tensões de base são 
calculadas utilizando as relações de transformação de T1 e T2: 
 210
2
1
2
1
=
′
′
=
N
N
N
N
 
 Assim, para os demais circuitos: 
 Circuito em 24 kV: kV 25base =LV 
 Circuito em 12 kV: kV 5,12base =LV 
 
c) As impedâncias de base são calculadas a partir dos valores base da potência e da tensão: 
 Circuito em 2,4 kV: Ω=== 005,3
2080000
25002
base 3
2
base 
base 
φ
S
V
Z LY 
 Circuito em 24 kV: Ω=== 5,300
2080000
250002
base 3
2
base 
base 
φ
S
V
Z LY 
 Circuito em 12 kV: Ω=== 1,75
2080000
125002
base 3
2
base 
base 
φ
S
V
Z LY 
 
d) As correntes de base são calculadas a partir dos valores base da potência e da tensão: 
 Circuito em 2,4 kV: A 480
25003
2080000
3 base 
base 3
base ===
L
L
V
S
I
φ
 
 Circuito em 24 kV: A 48
250003
2080000
3 base 
base 3
base ===
L
L
V
S
I
φ
 
 Circuito em 12 kV: A 96
125003
2080000
3 base 
base 3
base ===
L
L
V
S
I
φ
 
Caso fossem escolhidos outros valores base nos itens (a) e (b), os valores calculados para a impedância e 
corrente base poderiam ser diferentes dos valores obtidos nos itens (c) e (d). 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 21 de 22 
 
 
Solução Exemplo I.3 (continuação): 
e) Os valores base estão sumarizados na Tabela I.2. 
 
Tabela I.2 – Valores base do Exemplo I.3. 
 [ ]kV NOMINAL LV [ ]kV base LV [ ]Ω base YZ [ ]A base LI 
2,4 2,5 3,005 480 
24 25 300,5 48 
12 12,5 75,1 96 
kVA 2080base 3 =φS 
 
f) Conhecendo-se a corrente que sai do gerador A 1000
kV 4,2
=LI , pode-se determinar os valores das 
correntes que circulam na linha e na carga: 
 Circuito em 24 kV: A 1001000
10
1kV 4,2
1
2kV 24
=== LL I
N
N
I 
 Circuito em 12 kV: A 200100
1
2kV 24
2
1kV 5,12
==
′
′
= LL I
N
N
I 
 
g) A corrente por unidade é a mesma para todos os circuitos: 
Circuito em 2,4 kV: pu 08,2
480
1000
kV 4,2
base 
kV 4,2
pu ===
L
L
L
I
I
I 
Circuito em 24 kV: pu 08,2
48
100
kV 24
base 
kV 24
pu ===
L
L
L
I
I
I 
Circuito em 12 kV: pu 08,2
96
200
kV 5,12
base 
kV 5,12
pu ===
L
L
L
I
I
I 
Observar que o valor em pu obtido neste item poderia ser outro caso fossem escolhidos outros valores de 
base nos itens (a) e (b). 
 
h) Utilizando a expressão de conversão de base, considerando que os dados do transformador se encontram 
na base deste (base 1: valores nominais de potência e tensão), tem-se: 
 ( ) ( ) pu 0128,0
6000000
2080000
2500
2400
04,0
2
1 base 3
2 base 3
2
2 base 
1 base 
1 basepu T1pu jj
S
S
V
V
ZZ
L
L
=



=





=
φ
φ
 
 ( ) ( ) pu 0192,0
4000000
2080000
12500
12000
04,0
2
1 base 3
2 base 3
2
2 base 
1 base 
1 basepu T2pu jj
S
S
V
V
ZZ
L
L
=



=





=
φ
φ
 
Verificar que o resultado é o mesmo para o lado de alta tensão. 
 
i) A Figura I.25 apresenta o diagrama de impedância por fase do sistema da Figura I.24, indicando os 
fasores tensão de interesse. 
 
+ 
 
 
 
– 
+ 
 
 
 
– 
+ 
 
 
 
– 
+ 
 
 
 
– 
• • 
G1 
pu 0128,0T1 jZ = pu 0192,0T2 jZ =
pu 08,2=I
• • 
1 2 3 4 
1V 2V 3V 4V
 
Figura I.25 – Diagrama de impedância por fase (em pu) do sistema da Figura I.24. 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 26/2/2008 Página 22 de 22 
 
 
Solução Exemplo I.3 (continuação): 
 
Para o gerador, que opera em tensão nominal, tem-se: 
 pu 096,0
2500
02400
base 
NOMINAL 
1
o
o
===
L
L
V
V
V 
Considerando que a corrente que circula no circuito está atrasada de 90
o
 em relação à tensão (pois o circuito 
é constituído exclusivamente por reatâncias indutivas): 
 pu 093,09008,20128,0096,01132
ooo
=−×−=−== jIZVVV T 
 ( ) ( ) pu 089,09008,20192,00128,0096,0211224 ooo =−×+−=+−=−= jjIZZVIZVV TTT 
 
j) A potência complexa pode ser obtida a partir dos fasores tensão e corrente: 
 
[ ]
[ ]
[ ] pu 85,1pu 9085,19008,2089,0
pu 93,1pu 9093,19008,2093,0
pu 00,2pu 9000,29008,2096,0
4
**
444
2
**
2232
1
**
111
=⇒=−==
=⇒=−===
=⇒=−==
SIVS
SIVSS
SIVS
ooo
ooo
ooo
 
 
Observar que a potência aparente entregue pelo gerador é de 2,00 pu e que na carga chega é de 1,85 pu, 
sendo a diferença “consumida”
7
 pelas reatâncias dos transformadores. 
 
 
Exercício I.2 – Considere o sistema do Exercício I.1. Supondo que kVA 100base3 =φS e kV 8,13base =LV , 
determinar: 
a) As bases do sistema por unidade. 
b) Desenhar o circuito equivalente por fase em valores por unidade. 
c) Determinar o fasor corrente da Fase A em valores por unidade e em ampères. 
 
 
 
 
7
 De acordo com a convenção de sinais para potência reativa, os indutores consomem e os capacitores geram. 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Considerações operacionais sobre os sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 19/5/2008 Página 1 de 22 
 
II – Considerações operacionais sobre os sistemas de potência 
O objetivo fundamental de um sistema de energia elétrica é fornecer energia para as cargas existentes em 
uma determinada região geográfica. Quando o sistema é adequadamente planejado e operado, deve atender 
aos seguintes requisitos: 
• Fornecer energia nos locais exigidos pelos consumidores. 
• Como a carga demandada pelos consumidores varia ao longo do tempo (horas do dia, dias da semana e 
meses do ano), o sistema deve estar apto a fornecer potências ativa e reativa variáveis, conforme esta 
demanda. 
• A energia fornecida deve obedecer a certas condições mínimas, relacionadas com a “qualidade”. Entre os 
fatores que determinam esta qualidade se destacam: freqüência, magnitude da tensão, forma de onda e 
confiabilidade. 
• O sistema deve buscar custos mínimos (econômicos e ambientais). 
 
Neste capítulo, serão descritos os mecanismos que atuam no controle das potências ativa e reativa do sistema 
de energia elétrica. 
 
II.1 – Capacidade de transmissão 
Considere uma linha de transmissão do sistema elétrico, representada pela sua reatância série kmx , conectada 
entre duas barras, conforme mostrado na Figura II.1. 
 
 
k kmI
kmkm jxZ =
m 
kkk VV θ= mmm VV θ=
kmS
 
Figura II.1 – Linha de transmissão do sistema elétrico. 
 
Os fluxos de corrente kmI e potência kmS podem ser obtidos a partir dos fasores tensão das barras k e m 
( kkk VV θ= e mmm VV θ= , respectivamente): 
 
km
mk
km
mk
km
jx
VV
Z
VV
I
−
=
−
=
 
( ) ( ) ( )
( )[ ]
km
kmkmmkk
km
kmmkk
km
mkmkkkm
mmkkk
km
mkkj
j
km
mk
VV
kk
km
mk
k
km
mk
kkmkkm
x
jVVVj
x
VVVj
x
VVVj
x
VVVj
xj
VVVj
jx
VVVV
jx
VV
V
jx
VV
VIVS
kk
θθ
θθθθθ
sencos
2
222
2
*2
*****
*
2
2
+−
=
=
−
=
−−
=
−−
=
=
−





−
=
−
−
=








−
−
=






 −
==






×
==
876
 
 
( )
km
kmmkkkmmk
km
x
VVVjVV
S
θθ cossen 2 −+
= (II.1) 
 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Considerações operacionais sobre os sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 19/5/2008 Página 2 de 22 
 
 
Quando todas as tensões das expressões anteriores correspondem aos valores de linha em kV e reatância 
estiver em Ω, todas as potências obtidas serão os valores trifásicos dados em MW e Mvar. Obviamente, por 
outro lado, quando todas as grandezas estão representadas em pu, os resultados das expressões anteriores 
também estarão em pu (neste caso não há distinção entre valores de fase/linha e por fase/trifásico). 
 
Definindo mkkm θθθδ −== , como a abertura angular da linha de transmissão, e separando as partes real e 
imaginária, chega-se a: 
 
 { } δθ sensenRe
km
mk
km
km
mk
kmkm
x
VV
x
VV
SP === (II.2) 
 { }
km
mkk
km
kmmkk
kmkm
x
VVV
x
VVV
SQ
δθ coscos
Im
22
−
=
−
== (II.3) 
 
As equações (II.2) e (II.3) descrevem a forma pela qual as potências ativa e reativa são transferidas entre 
duas barras de um sistema. De acordo com (II.2), pode-se observar que para valores constantes
1
 de tensões 
terminais kV e mV o fluxo de potência ativa obedece à seguinte expressão: 
 
 δsenmaxkmkm PP = 
 
sendo 
km
mk
km
x
VV
P =
max o maior valor de potência ativa transmitida pela linha de transmissão km (capacidade de 
transmissão estática) ou seu limite de estabilidade estática, somente atingido quando 1sen ±=δ , ou seja, 
quando o90±=δ . Assim, a potência ativa transmitida por uma linha de transmissão está intimamente 
relacionada com sua abertura angular δ, conforme ilustra a Figura II.2. 
-150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150
-100
-50
0
50
100
 
[ ]max de % kmkm PP
][ okmθδ =
Potência 
transmitida de 
maneira estável 
de m para k 
Potência 
transmitida de 
maneira estável 
de k para m 
Região de 
instabilidade 
Região de 
instabilidade 
 
Figura II.2 – Potência ativa em uma linha de transmissão em função de sua abertura angular. 
 
1
 Observar que as tensões de operação em regime permanente dos sistemas de energia elétrica, usualmente, não sofrem 
variações acentuadas e permanecem próximas aos seus valores nominais. 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Considerações operacionais sobre os sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 19/5/2008 Página 3 de 22 
 
 
A capacidade de transmissão de uma linha é proporcional ao quadrado da tensão de operação e inversamente 
proporcional à sua reatância. Tais características são muito importantes na especificação das linhas de 
transmissão, ou seja, na definição de suas características nominais (nível de tensão, geometria das torres e 
condutores). Entretanto, na prática, o sistema opera longe do limite de estabilidade estática, pois à medida 
que nos aproximamos deste limite o sistema torna-se eletricamente fraco, ou seja, cada vez são necessários 
maiores incrementos no ângulo de abertura para um mesmo incremento na potência transmitida. Assim, 
raramente as linhas operam com ângulos superiores a 30° ou 45°. 
 
 
Exemplo II.1 – Determinar a capacidade de transmissão estática de duas linhas de transmissão cujo 
comprimento é de 200 km: 
• Linha 1: 230 kV, 1 condutor por fase com reatância 0,5 Ω/km. 
• Linha 2: 765 kV, 4 condutores por fase com reatância 0,35 Ω/km. 
 
Solução Exemplo II.1: Para ambas as linhas, consideram-se que as tensões terminais são iguais aos seus 
valores nominais. 
Para a Linha 1, cuja reatância total é igual a Ω=×= Ω 100km 2005,0 km1x , a capacidade de transmissão 
trifásica é de: 
 
( )
MW 529
 100
kV 230
2
1
11max
1 =
Ω
==
x
VV
P mk 
Para a Linha 2, cuja reatância total é igual a Ω=×= Ω 70km 20035,0 km2x , a capacidade de transmissão 
trifásica é de: 
 
( )
MW 8360
 70
kV 765
2
2
22max
2 =
Ω
==
x
VV
P mk 
Desta forma, a linha de 765 kV é capaz de transportar o equivalente a mais de 15 linhas de 230 kV. 
 
II.2 – Dependência da carga com a tensão e freqüência 
Embora, individualmente, as cargas existentes no sistema elétrico sejam altamente aleatórias, quando 
concentradas por conjuntos de consumidores apresentam caráter previsível. Quanto maior o número de 
cargas agrupado, maior será a possibilidade de realizar tal previsão. Além disto, as cargas concentradas 
variam com o tempo de maneira também previsível, em função da hora do dia (horário de maior consumo e 
horário de menor consumo), do dia da semana (dia útil, final de semana e feriados) e das estações do ano, 
conforme ilustrado na Figura II.3 que representa a curva de carga diária de um alimentador. 
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
00:00 01:00 02:00 03:00 04:00 05:00 06:00 07:00 08:00 09:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00
Alimentador RS--P 16/10/2002 (quarta-feira) kW
Alimentador RS--Q 16/10/2002 (quarta-feira) kvar
 
Figura II.3 – Curva de carga de um alimentador. 
 
Fabiano
Rectangle
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Considerações operacionais sobre os sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 19/5/2008 Página 6 de 22 
 
Considere o seguinte sistema, sem perdas ativas, no qual a tensão da barra k é mantida constante e igual a 
kV , a impedância da linha é kmkm jxZ = , conforme mostrado na Figura II.5. 
 
 
k kmI
kmkm jxZ =
m 
o0kk VV = mmm VV θ=
jQPS +=
 
Figura II.5 – Sistema de duas barras. 
 
Para o sistema da Figura II.5, a tensão na barra m pode ser obtida por: 
 
 kmkmkkmkmkm IjxVZIVV −=−= (II.8) 
 
Supondo que as perdas de potência reativa na linha sejam desprezíveis, a potência entregue para a carga é a 
mesma que está sendo transmitida de k para m e a corrente pela linha é dada por: 
 
 ⇒==
*
kmkkm IVSS
kkkk
km
V
jQP
V
jQP
V
jQP
V
S
I
−
=
−
=
−
=







≈
o0*
*
 (II.9) 
 
Substituindo (II.9) em (II.8), tem-se a seguinte expressão, cujo diagrama fasorial encontra-se na Figura II.6: 
 
 
}
P
V
x
jQ
V
x
V
V
jQP
jxVV
k
km
k
km
k
I
k
km
V
km
km
k
−−=
−
−=
48476o0
 
 
kmkm Ijx
o0kk VV =
Q
V
x
k
km
kmI
mmm VV θ=
P
V
x
j
k
km
 
Figura II.6 – Diagrama fasorial do sistema de duas barras. 
 
Conclui-se, daí, que: 
• Uma variação na potência ativa P afeta o fasor queda de tensão que é perpendicular a kV , afetando 
significativamente a fase do fasor mV . 
• Uma variação na potência reativa Q afeta o fasor queda de tensão que está em fase com kV , afetando 
significativamente o módulo do fasor mV . 
 
 
Exercício II.1 – Considerando o sistema de duas barras da Figura II.5, completar a Tabela II.1 com o 
diagrama fasorial correspondente a cada uma das situações de carga (P e Q podendo ser positivos ou 
negativos) e sinal da reatância da linha de transmissão (indutiva, com 0>kmx , ou capacitiva, com 0<kmx ). 
Representar, no mínimo os fasores kV , kmI , mV e suas componentes. 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Considerações operacionais sobre os sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 19/5/2008 Página 7 de 22 
 
 
Tabela II.1 – Diagramas fasoriais do Exercício II.1. 
 
 0>kmx 0<kmx 
0>Q 
 
o0kk VV =
 
 
 
o0kk VV =
 
 
0>P 
0<Q 
 
o0kk VV =
 
 
 
o0kk VV =
 
 
0>Q 
 
o0kk VV =
 
 
 
o0kk VV =
 
 
0<P 
0<Q 
 
o0kk VV =
 
 
 
o0kk VV =
 
 
 
 
Exercício II.2 – Efetuar análise similar à realizada na Seção II.4, supondo que a impedância da linha seja 
igual a kmkmkm jxrZ += . Considerar três casos distintos kmkm xr >> , kmkm xr ≈ e kmkm rx>> . 
 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Considerações operacionais sobre os sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 19/5/2008 Página 8 de 22 
 
II.5 – Expressões do fluxo de potencia em uma linha de transmissão 
Considere uma linha de transmissão representada pelo seu equivalente π (equivalente por fase em pu), 
mostrado na Figura II.7 que é definido por três parâmetros: a resistência série kmr ; a reatância série kmx e a 
susceptância em derivação (shunt) shkmb . 
 
k 
kmI km
r kmjx
sh
kmjb
sh
kmjb
m 
mkII
kkk VV θ= mmm VV θ=
 
Figura II.7 – Modelo equivalente π de uma linha de transmissão. 
 
A impedância e admitância do elemento série são dadas por: 
 kmkmkm jxrZ += 
 
2222
1
kmkm
km
kmkm
km
kmkm
kmkmkm
xr
x
j
xr
r
jxr
jbgY
+
−
+
+
=
+
=+= 
Para uma linha de transmissão, kmr e kmx são positivos (portanto, kmg é positivo e kmb é negativo) e o 
elemento em derivação, shkmb , também é positivo em função de representar a capacitância linha/neutro da 
linha de transmissão. 
 
As correntes kmI e mkI são obtidas a partir dos fasores tensão das barras k e m ( kkk VV θ= e 
mmm VV θ= , respectivamente): 
 ( ) ( ) mkmkshkmkmk
sh
kmmkkmkm VYVjbYVjbVVYI −+=+−= (II.10) 
 ( ) ( ) mshkmkmkkmm
sh
kmkmkmmk VjbYVYVjbVVYI ++−=+−= (II.11) 
 
A expressão do fluxo de potência complexa da barra k para a barra m é dada por: 
 
( )[ ]
**2*****
**
mkkmk
sh
kmkmmkmk
sh
kmkmk
mkmk
sh
kmkmkkmkkmkmkm
VVYVjbYVYVjbYV
VYVjbYVIVjQPS
−




−=




−




−=
−+==+=
 
Sabendo que mkmkmk VVVV θθ −=
*
 e definindo mkkm θθθ −= , 
 
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )( )kmkmkmkmmkk
sh
kmkmkm
kmmkkmkmk
sh
kmkmkmkm
jjbgVVVbbjg
VVjbgVbbjgS
θθ
θ
sencos
2
2
+−−+−=
−−+−=
 (II.12) 
Separando as partes real e imaginária, chega-se a: 
 
 ( )kmkmkmkmmkkmkkm bgVVgVP θθ sencos
2
+−= (II.13) 
 
( ) ( )kmkmkmkmmk
sh
kmkmkkm bgVVbbVQ θθ cossen
2
−−+−=
 (II.14) 
 
Analogamente, para determinar o fluxo de potência complexa da barra m para a barra k: 
Análise de Sistemas de Potência (ASP) 
Considerações operacionais sobre os sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 19/5/2008 Página 9 de 22 
 
 
( )[ ]
**2*****
**
kmkmm
sh
kmkmkkmm
sh
kmkmm
kkmm
sh
kmkmmmkmmkmkmk
VVYVjbYVYVjbYV
VYVjbYVIVjQPS
−




−=




−




−=
−+==+=
 
cujas partes real e imaginária são: 
 
 ( )mkkmmkkmmkkmmmk bgVVgVP θθ sencos
2
+−= (II.15) 
 
( ) ( )mkkmmkkmmk
sh
kmkmmmk bgVVbbVQ θθ cossen
2
−−+−=
 (II.16) 
 
O diagrama fasorial da linha de transmissão é mostrado na Figura II.8. 
Ijxkm
kV
mV
kmV
I
Irkm
kmθ
 
Figura II.8 – Diagrama fasorial da linha de transmissão. 
 
As perdas de potência ativa e reativa em uma linha de transmissão podem, então, ser determinadas somando-
se, respectivamente, as expressões (II.13) com (II.15) e (II.14) com (II.16), ou seja: 
 
 ( ) kmkmmkkmmkmkkm gVVgVVPPP θcos2
22
perdas −+=+= 
 ( )( ) kmkmmk
sh
kmkmmkmkkm bVVbbVVQQQ θcos2
22
perdas +++−=+= 
 
Exercício II.3 – Mostrar que ( )2perdaskmmkkm IrPP =+ . 
 
As expressões (II.10) e (II.11), podem ser arranjadas de outra forma, tendo em vista possibilitar a 
representação da linha de transmissão por um quadripolo, conforme mostrado na Figura II.9. 
 
kmI mkI
kkk VV θ= mmm VV θ=
+ 
 
 
– 
+ 
 
 
– 






⋅





=





km
k
mk
m
I
V
DC
BA
I
V
 
Figura II.9 – Linha de transmissão representada por um quadripolo. 
 
Isolando mV em (II.10), chega-se a: 
 ( )[ ] ( ) kmkmkshkmkmkm
km
k
km
sh
km
kmk
sh
kmkm
km
m IZVjbZI
Y
V
Y
jb
IVjbY
Y
V −+=−







+=−+= 1
1
1
1 (II.17) 
Em (II.11), substituindo mV , pela expressão (II.17), tem-se: 
 ( ) ( )
( ) km
km
sh
km
k
km
sh
kmsh
km
sh
km
sh
kmkm
km
sh
km
kkm
km
sh
kmsh
kmkm
sh
kmkm
kkmkm
km
sh
kmkm
k
km
sh
kmsh
kmkmkkm
V
km
km
k
km
sh
kmsh
kmkmmk
I
Y
jb
V
Y
jb
jbjbjbI
Y
jb
VY
Y
jb
jbYjbY
VYI
Y
jbY
V
Y
jb
jbYVYI
Y
V
Y
jb
jbYI
m








+−





++=







+−





−+++=
=−
+
−







++=−








−







++=
11
1
1
1
4444 84444 76
 
Fabiano
Rectangle
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 1 de 27 
 
IV – O transformador 
Os transformadores de força são os equipamentos utilizados para viabilizar a transmissão de energia elétrica 
em alta tensão. Desta forma, são instalados nas usinas de geração, para elevar a tensão em níveis de 
transmissão (no Brasil de 69 kV a 750 kV), nas subestações dos centros de consumo (subestações de 
distribuição ou subestações de grandes consumidores), para rebaixar o nível de tensão em níveis de 
distribuição (tipicamente 13,8 e 23 kV) e também nas subestações de interligação para compatibilizar os 
diversos níveis de tensão provenientes das diversas linhas de transmissão que aportam. 
 
Para se ter uma noção da importância destes equipamentos no setor elétrico, apresenta-se o Quadro IV.1 no 
qual a potência instalada em subestações corresponde aos equipamentos de transformação. 
 
 
Quadro IV.1 – Potência instalada em subestações do setor elétrico brasileiro. 
 
POTÊNCIA INSTALADA EM SUBESTAÇÕES - MVA
 Em 31.12 2001 
 1999 2000 2001 Entradas Retiradas
25 kV/outras (1) 74.196,0 75.109,0 75.109,0 0,0 0,0
69 kV/outras 18.777,1 18.902,1 19.094,4 192,3 0,0
88 kV/outras 5.717,2 5.717,2 5.717,2 0,0 0,0
138 kV/outras 46.251,6 46.707,1 47.384,0 676,9 0,0
230 kV/outras 34.732,7 35.928,7 36.779,7 851,0 0,0
345 kV/outras 33.610,4 34.480,4 34.480,4 0,0 0,0
440 kV/outras 15.137,0 15.437,0 15.437,0 0,0 0,0
500 kV/outras 47.636,9 49.538,9 53.510,9 3.972,0 0,0
750 kV/outras 16.200,0 16.750,0 18.250,0 1.500,0 0,0
 (1) Apenas transformadores elevadores de usinas 
 Fonte: Boletim Semestral do SIESE Síntese 2001 (disponível em: http://www.eletrobras.gov.br/mercado/siese/). 
 
O objetivo deste capítulo é a definição do modelo do transformador para estudos de transmissão de potência 
elétrica em regime permanente, ou seja, considerando tensões e correntes senoidais em freqüência industrial. 
Além disto, considera-se que os transformadores operam em condições equilibradas. Desta forma, os 
modelos e resultados apresentados a seguir não se aplicam a estudos de transitórios de alta freqüência, de 
curto-circuito ou de harmônicos. 
 
O modelo dos transformadores de força para estudos de fluxo de potência são similares aos transformadores 
de menor porte, desconsiderando-se os efeitos da corrente de magnetização. 
 
IV.1 – Transformador ideal de dois enrolamentos 
Em um transformador ideal considera-se que a resistência elétrica dos enrolamentos é nula (logo não existe 
queda de tensão na espira em função desta resistência e a tensão induzida pela variação do fluxo é igual à 
tensão terminal) e que a permeabilidade do núcleo é infinita (portanto todo o fluxo fica confinado ao 
núcleo e enlaça todas as espiras). Levando em conta as polaridades indicadas na Figura IV.1, têm-se as 
seguintes relações entre as tensões terminais: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )t
dt
d
Nt
dt
d
Ntv
t
dt
d
Nt
dt
d
Ntv
m
m
φφ
φφ
2222
1111
==
==
 
Assim, a relação entre as tensões terminais é dada por: 
 
( )
( ) 2
1
2
1
N
N
tv
tv
= (IV.1) 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 2 de 27 
 
 
( )ti1
( )tv1
+ 
– 
N1 espiras ( )tmφ 
( )φ
( )tv2 
+ 
– 
( )ti2
N2 espiras 
Fluxo em 1: 
( ) ( )tt mφφ =1 
Fluxo em 2: 
( ) ( )tt mφφ =2 
 
Figura IV.1 – Transformador ideal de dois enrolamentos. 
 
Como o transformador é ideal, a potência instantânea de entrada, ( )tp1 , é igual a potência instantânea de 
saída, ( )tp2 pois as perdas são desprezíveis, ou seja: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )titvtitvtptp221121 ⋅=⋅⇒= 
logo, 
 
( )
( )
( )
( ) 1
2
1
2
2
1
N
N
tv
tv
ti
ti
== (IV.2) 
As expressões (IV.1) e (IV.2) definem o modo de operação dos transformadores ideais. 
 
Os enrolamentos onde se ligam as fontes de energia e as cargas são geralmente denominados primário e 
secundário, respectivamente. 
 
De forma alternativa, as relações (IV.1) e (IV.2) podem ser obtidas levando-se em consideração que um 
transformador ideal constitui um caso particular de circuitos magneticamente acoplados no qual o coeficiente 
de acoplamento entre os enrolamentos é igual a unidade, ou seja, 1=K . Para as polaridades indicadas na 
Figura IV.2, são válidas as seguintes expressões: 
( ) ( ) ( )ti
dt
d
Mti
dt
d
Ltv 2111 −= (IV.3) 
( ) ( ) ( )ti
dt
d
Lti
dt
d
Mtv 2212 −= (IV.4) 
 
( )
dt
tdi
M 2
1L
+ 
– 
+ 
2L
+ 
– 
• 
( )ti1
( )tv1
+ 
– 
• 
( )ti2
( )tv2
+ 
– 
K=1 
( )tv1 ( )tv2
( )ti1 ( )ti2
( )
dt
tdi
M i
21
21
LLM
LLKM
=
=
+ 
• • 
21 : NN
 
Figura IV.2 – Transformador ideal representado por circuito magneticamente acoplado. 
 
Isolando ( )ti
dt
d
2 em (IV.4) e substituindo em (IV.3), tem-se: 
 ( ) ( ) ( )





−= tvti
dt
d
M
L
ti
dt
d
21
2
2
1
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tv
L
M
ti
dt
d
L
M
Ltvti
dt
d
M
L
Mti
dt
d
Ltv 2
2
1
2
2
121
2
111
1
+







−=





−−= (IV.5) 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 3 de 27 
 
Como 1=K , pode-se escrever: 
 
⇒=⇒= 21
2
21 LLMLLM 0
2
2
1 =−
L
M
L (IV.6) 
 ⇒=⇒==
2
2
2
1
22
1
2
21
2
2
22
2
11
N
N
L
M
L
L
L
LL
L
M NL
NL
α
α
 
2
1
2 N
N
L
M
= (IV.7) 
pois as auto-indutâncias são proporcionais ao quadrado do número de espiras 
( )
( )



=
ti
tN
L
1
11
1
φ
, com 
( ) ( )tiNt 111 P=φ , sendo P a permeância do espaço atravessado pelo fluxo, então 
( )[ ]
( ) 



==
2
1
1
111
1 P
P
N
ti
tiNN
L . 
Substituindo (IV.6) e (IV.7) na expressão (IV.5), chega-se a expressão (IV.1): 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) 2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
11 0
N
N
tv
tv
tv
N
N
tv
N
N
ti
dt
d
tv =⇒=+= 
 
 
IV.1.1 – Transformador ideal em regime permanente senoidal 
A Figura IV.3 mostra um transformador ideal, em regime permanente senoidal. 
 
 
• 
1I 
2I 
Transformador 
Ideal 
• 
Ideal 
1V 
+ 
– 
2V 
+ 
– 
21 : NN
 
 
Figura IV.3 – Transformador ideal em regime permanente senoidal. 
 
Considerando as polaridades indicadas na Figura IV.3 e as expressões gerais (IV.1) e (IV.2), o regime 
permanente senoidal do transformador ideal pode ser descrito por: 
 
 
2
1
2
1
N
N
V
V
= ⇒ 1
1
2
2 V
N
N
V = 
 
1
2
2
1
N
N
I
I
= ⇒ 1
2
1
2 I
N
N
I = 
fazendo 
1
2
N
N
a = , a relação de espiras do transformador ideal, pode-se escrever: 
 
 12 VaV = ⇒ 21
1
V
a
V = 
 12
1
I
a
I = ⇒ 21 IaI = 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 4 de 27 
 
Exemplo IV.1 – No circuito da Figura IV.3, 20001 =N , 5002 =N , V 012001
o
=V e A 3051
o
−=I , 
quando uma impedância 2Z é ligada ao secundário. Determinar 2V , 2I , 2Z e a impedância 
ref
2Z que é 
definida como sendo o valor de 2Z referido ao primário do transformador (impedância refletida). 
 
 
Solução Exemplo IV.1: Supondo que o transformador é ideal, tem-se: 
 V 030001200
2000
500
1
1
2
2
oo
=== V
N
N
V 
 A 3020305
500
2000
1
2
1
2
oo
−=−== I
N
N
I 
Pela definição de impedância, tem-se: 
 Ω=
−
== 3015
3020
0300
2
2
2
o
o
o
I
V
Z 
 Ω=
−
== 30240
305
01200
1
1ref
2
o
o
o
I
V
Z 
ou 
 Ω=





=





=





=== 302403015
500
2000
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1ref
2
ooZ
N
N
I
V
N
N
I
N
N
V
N
N
I
V
Z 
 
A expressão obtida no Exemplo anterior 
 2
2
2
1
ref
2 Z
N
N
Z 





= 
é empregada na reflexão de impedâncias, técnica que consiste em colocar no circuito primário uma 
impedância que produza o mesmo efeito que a impedância que está colocada no circuito secundário. 
Analogamente, é possível realizar a reflexão do primário para o secundário, ou seja, 
 1
2
1
2
ref
1 Z
N
N
Z 





= 
Observar que o efeito produzido pela impedância em qualquer um dos enrolamentos deve ser o mesmo. 
Assim, quanto maior a tensão do enrolamento (portanto, maior o número de espiras) maior deverá ser o valor 
da impedância em ohms. 
 
 
IV.1.2 – Modelo do transformador ideal em pu 
Utilizando a magnitude das tensões terminais nominais como tensões de base tem-se, os seguintes valores de 
base para o primário e secundário, respectivamente: 
pri
baseV – Tensão de base do primário [kV] 
sec
baseV – Tensão de base do secundário: 
pri
base
1
2sec
base V
N
N
V = [kV] 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 5 de 27 
 
Sendo baseS a potência de base do sistema, as correntes de base para o primário e secundário, 
respectivamente, são: 
 
pri
base
basepri
base
V
S
I = 
 pribase
2
1
pri
base
1
2
base
sec
base
basesec
base I
N
N
V
N
N
S
V
S
I === 
 
Desta forma, os valores em pu serão dados por: 
 
pri
base
1
pu 1
V
V
V = 
 ⇒===
pri
base
1
pri
base
1
2
1
1
2
sec
base
2
pu 2
V
V
V
N
N
V
N
N
V
V
V pu 1pu 2 VV = (IV.8) 
 
pri
base
1
pu 1
I
I
I = 
 ⇒===
pri
base
1
pri
base
2
1
1
2
1
sec
base
2
pu 2
I
I
I
N
N
I
N
N
I
I
I pu 1pu 2 II = (IV.9) 
 
Portanto, quando as grandezas estiverem em pu, o transformador ideal com relação nominal pode ser 
substituído por um curto-circuito, conforme mostrado na Figura IV.4, pois tanto a tensão quanto a corrente 
apresentam o mesmo valor em ambos enrolamentos – vide equações (IV.8) e (IV.9). 
 
– 
+ 
pu 1I pu 2I
pu 1V
+ 
– 
pu 2V
+ 
– 
Transformador 
Ideal 
em pu 
pu 2I
pu 2V
+ 
– 
pu 1I
pu 1V
 
Figura IV.4 – Circuito equivalente do transformador ideal de dois enrolamentos em pu. 
 
IV.2 – Circuito equivalente do transformador real de dois enrolamentos 
No transformador real de dois enrolamentos, as resistências dos enrolamentos não são nulas (serão notadas 
por 1r e 2r , respectivamente, para o primário e secundário), nem todo o fluxo que enlaça um enrolamento 
enlaça o outro pois a permeabilidade do núcleo não é infinita, isto é, existem fluxos dispersos nos 
enrolamentos cujos efeitos são representados por intermédio das reatâncias de dispersão 1x e 2x , 
respectivamente, para o primário e secundário. Além disto, ocorrem perdas devido às variações cíclicas do 
sentido do fluxo (histerese) e também devido às correntes parasitas induzidas no núcleo. Assim, mesmo 
com o secundário em aberto, existe uma pequena corrente circulando no primário quando este é energizado, 
denominada corrente de magnetização – o efeito deste fenômeno é representado pela impedância de 
magnetização mr e mx , colocada em derivação no primário do transformador (ou no secundário). 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 6 de 27 
 
Considerando os efeitos anteriormente mencionados, o transformador real de dois enrolamentos pode ser 
representado por um circuito composto por transformador ideal de dois enrolamentos e algumas 
impedâncias para representar o efeito das perdas ôhmicas, devido ao fluxo disperso e à magnetização, 
conforme ilustra a Figura IV.5 
 
mjx
( )ti1
( )tv1
+ 
– 
N1 espiras 
( )tmφ 
( )φ
( )tv2 
+ 
– 
( )ti2
N2 espiras 
Fluxo disperso em 1: 
( )tdisp1φ 
Fluxo disperso em 2: 
( )tdisp2φ 
• 
1I 
2I 
Transformador 
Real 
• 
Ideal 
1V 
+ 
– 
2V 
+ 
–21 : NN
(a) Transformador real de dois enrolamentos. 
(b) Transformador real de dois enrolamentos em regime permanente. 
11 jxr + 22 jxr +
mr
Figura IV.5 – Transformador real de dois enrolamentos. 
 
Quando todos os parâmetros ( 1r , 1x , 2r , 2x , mr e mx ) e grandezas ( 1V , 1I , 2V e 2I ) estão em pu, o 
transformador ideal pode ser omitido (substituído pelo seu circuito equivalente em pu que é um curto-
circuito), resultando no circuito da Figura IV.6. 
 
mjx
1I 
2I 
Transformador 
Real em pu 
1V 
+ 
– 
2V 
+ 
– 
11 jxr + 22 jxr +
mr
mI
 
Figura IV.6 – Circuito equivalente em pu do transformador real de dois enrolamentos. 
 
Os parâmetros em série (resistência dos enrolamentos e reatância de dispersão: 1r , 1x , 2r , e 2x ) são 
determinados por intermédio do ensaio de curto-circuito no qual os enrolamentos são submetidos à 
corrente nominal. Neste ensaio, um dos enrolamentos é curto-circuitado enquanto aplica-se uma tensão 
variável em outro enrolamento até que a corrente que circule nestes dois enrolamentos do transformador seja 
igual ao seu valor nominal. Neste caso, a impedância de magnetização é desprezada pois a tensão empregada 
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neste ensaio é significativamente menor que o valor nominal e a corrente de magnetização corresponde a 
uma fração muito pequena do valor nominal. Considerando que o enrolamento secundário tenha sido curto-
circuitado e que a corrente que circula por este é igual ao seu valor nominal ( )pu 012 =I , o circuito 
equivalente do ensaio de curto-circuito é dado pela Figura IV.7. Neste circuito equivalente, a impedância 
medida nos terminais do enrolamento energizado é dada por: 
 2211
1
1
jxrjxr
I
V
Z +++== 
 
mjx
pu 0121 =≈ II pu 012 =I
1V
+ 
– 
02 =V
+ 
– 
11 jxr + 22 jxr +
mr
0≈mI
Corrente nominal nos enrolamentos 
Magnetização 
desprezada 
 
Figura IV.7 – Ensaio de curto-circuito (circuito equivalente em pu). 
 
A impedância de magnetização é determinada por intermédio do ensaio de circuito aberto no qual os 
enrolamentos são submetidos à tensão nominal. No ensaio de circuito aberto é aplicada tensão nominal a um 
dos enrolamentos e mede-se a corrente que circula neste enrolamento enquanto o(s) outro(s) enrolamento(s) 
permanece(m) em circuito aberto. Considerando que o enrolamento primário tenha sido energizado com 
tensão nominal ( )pu 011 =V , o circuito equivalente do ensaio em vazio de um transformador é dado pela 
Figura IV.8. Neste circuito equivalente, a impedância medida nos terminais do enrolamento energizado é 
dada por: 
 
mm
mm
jxr
jxr
jxr
I
V
Z
+
⋅
++== 11
1
1
 
 
mjx
mII =1 02 =I
pu 011 =V
+ 
– 
2V 
+ 
– 
11 jxr + 22 jxr +
mr
mI
Tensão nominal nos enrolamentos 
 
Figura IV.8 – Ensaio de circuito aberto (circuito equivalente em pu). 
 
Como exemplo das características elétricas dos transformadores em nível de distribuição, têm-se os valores 
do Quadro IV.2. Em transformadores de maior potência e nível de tensão, as perdas em vazio e as perdas 
totais apresentam valores percentuais (em função da potência nominal) menores, sendo inferiores a 0,1 e 
0,5%, respectivamente. 
 
Levando em conta as características reais dos grandes transformadores, as perdas nos enrolamentos1 (devido 
a 1r e 2r ) e no núcleo
2
 (devido a mr e mx ) são muito pequenas quando comparadas com a potência do 
transformador sendo, geralmente, desprezadas. Desta forma, o modelo equivalente do transformador fica 
bastante simplificado, conforme mostra a Figura IV.9. 
 
1
 Cujo valor nominal corresponde à diferença entre as perdas totais e as perdas em vazio. 
2
 Ou perdas em vazio. 
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1I 
2I 
1V 
+ 
– 
2V 
+ 
– 
jx
21 jxjxjx +=
 
Figura IV.9 – Circuito simplificado em pu do transformador real de dois enrolamentos. 
 
 
Quadro IV.2 – Características de perdas, correntes de excitação e impedâncias. 
 
TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE TENSÃO MÁXIMA 15 kV 
Potência 
[kVA] 
Corrente de 
excitação 
máxima [%] 
Perdas em vazio 
máximo [W] 
Perdas totais 
máximas [W] 
Impedância 
75° C [%] 
30 4,1 170 740 
45 3,7 220 1.000 
75 3,1 330 1.470 
112,5 2,8 440 1.990 
150 2,6 540 2.450 
3,5 
225 2,3 765 3.465 
300 2,2 950 4.310 
4,5 
TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE TENSÕES MÁXIMAS 24,2 e 36,2 kV 
Potência 
[kVA] 
Corrente de 
excitação 
máxima [%] 
Perdas em vazio 
máximo [W] 
Perdas totais 
máximas [W] 
Impedância 
75° C [%] 
30 4,8 180 825 
45 4,3 250 1.120 
75 3,6 360 1.635 
112,5 3,2 490 2.215 
150 3,0 610 2.755 
4,0 
225 2,7 820 3.730 
300 2,5 1.020 4.620 
5,0 
Fonte: Trafo Equipamentos Elétricos S.A. (disponível em http://www.trafo.com.br/) 
 
 
 
Exemplo IV.2 – Um transformador monofásico tem 2000 espiras no enrolamento primário e 500 no 
secundário. As resistências dos enrolamentos são Ω= 21r e Ω= 125,02r ; as reatâncias de dispersão são 
Ω= 81x e Ω= 5,02x . A carga ligada ao secundário é resistiva e igual a 12 Ω. A tensão aplicada ao 
enrolamento primário é de 1200 V. Determinar o fasor tensão secundária e a regulação de tensão do 
transformador: 
 %100%Regulação
carga
2
carga
2
vazio
2
V
VV −
= 
onde 
carga
2V é a magnitude da tensão no secundário com plena carga e 
vazio
2V é a magnitude da tensão no 
secundário em vazio. 
Fabiano
Rectangle
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IV.3 – Transformador com relação não-nominal 
Com o objetivo de possibilitar um melhor controle da tensão no sistema elétrico, muitas vezes os 
transformadores operam com relação de transformação diferentes da nominal ( )NOM2
NOM
1 : NN . Neste caso, 
os transformadores apresentam um enrolamento especial provido de diversas derivações (taps), comutáveis 
sob carga ou não. Quando a seleção da derivação é realizada sob carga, o transformador apresenta um 
dispositivo denominado comutador de derivações em carga (ou comutador sob carga) que se encarrega de 
realizar as conexões necessárias para que seja selecionada a relação de transformação desejada. Para operar 
tais comutadores utilizam-se acionamentos motorizados, possibilitando comando local ou à distância, 
inclusive com controle automático de tensão. Quando a seleção da derivação é realizada sem carga o 
dispositivo é muito mais simples, sendo utilizada apenas uma chave seletora que opera quando o 
transformador está desligado. 
 
Por norma, as derivações são numeradas, sendo a derivação “1” a de maior tensão, conforme mostra o 
Quadro IV.3 no qual encontram-se exemplos de valores de derivações e relações de tensão para 
transformadores em nível de distribuição. Neste caso, no interior do tanque o transformador apresenta uma 
chave seletora que possibilita o ajuste do tap quando este estiver desligado. 
 
Quadro IV.3 – Derivações e relações de tensões. 
 
Tensão [V] 
Primário Secundário 
Tensão máxima 
do equipamento 
[KV eficaz] 
Derivação 
N° Trifásicos e 
Monofásicos (FF) 
Monofásicos 
(FN) 
Trifásicos Monofásicos 
1 13.800 7.967 
2 13.200 7.621 15,0 
3 12.600 7.275 
1 23.100 13.337 
2 22.000 12.702 24,2 
3 20.900 12.067 
1 34.500 19.919 
2 33.000 19.053 36,2 
3 31.500 18.187 
380/220 
ou 
220/127 
2 terminais 
220 ou 127 
ou 
3 terminais 
440/220 ou 
254/127 ou 
240/120 ou 
230/115 
(FF) - tensão entre fases 
(FN) - tensão entre fase e neutro 
Fonte: Trafo Equipamentos Elétricos S.A. (disponível em http://www.trafo.com.br/) 
 
 
Em nível transmissão de energia elétrica os transformadores podem possuir dispositivos para comutação sob 
carga, apresentando um maior número de derivações,