5 MÉTODOS DE DISCRETIZACÃO

Prévia do material em texto

CEFET-PR Controle Digital Prof. Brero V - 1 
 
 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO 
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ 
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA 
 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS CONTÍNUOS AMOSTRADOS 
 
A grande maioria dos processos físicos é analógico. Ao se colocar um controlador 
discreto na malha de controle, é necessário tomar alguns cuidados ao se fazer a análise 
de estabilidade e o projeto. Para se fazer a análise do sistema, tem-se duas alternativas. 
 
1) PROJETO POR EMULAÇÃO 
 
 O projeto é feito no plano S, como se todo o sistema fosse contínuo. Neste caso, 
deve-se encontrar o modelo contínuo equivalente do segurador de ordem zero (SOZ), 
que deve ser incluído na malha de controle durante o projeto no plano S, pois seu efeito 
irá influenciar a resposta no sistema amostrado. 
 O projeto do controlador é feito no plano S, obtendo C(s). 
Em seguida o controlador é discretizado e é implementado no microcontrolador na 
forma de uma equação à diferenças. 
O projeto por emulação consiste na discretização do controlador contínuo. De forma 
resumida, deve-se: 
a) Projetar um controlador contínuo, C(s), levando em conta o efeito do SOZ. 
b) Discretizar C(s) para obter C(z). 
c) Verificar se o projeto atende às especificações através de algum método de 
análise ou por simulação. 
 
 
2) PROJETO EM TEMPO DISCRETO 
 
Devido à existência do controlador digital, é necessário incluir um amostrador no 
modelo do sistema. Como o sistema é contínuo, ele não conseguiria reconhecer o sinal que 
vem do amostrador. Então é necessário manter o sinal amostrado constante durante o 
período de amostragem utilizando um segurador (hold). Este sistema é denominado Sistema 
Contínuo Amostrado, devido ao amostrador. 
Este método consiste em discretizar a planta contínua, considerando o segurador 
de ordem zero (ou outro tipo de segurador), e analisar todo o sistema como se fosse 
discreto. 
A discretização da planta contínua utilizando um segurador de ordem zero é 
mostrada a seguir: 
 
2.1) Transformada Z com segurador de ordem zero (Hold) 
Em um sistema discreto, a informação só existe nos instantes de amostragem, isto 
é t=0T, t=1T, t=2T, etc. O segurador de ordem zero é usado para manter o sinal de 
saída constante entre os instantes de amostragem, para que o sinal possa ser 
aplicado a um sistema contínuo. 
 Um exemplo de um segurador de ordem zero, é o registrador de saída da porta 
paralela. 
 O diagrama do sistema discreto com o segurador de ordem zero é mostrado a 
seguir: 
CEFET-PR Controle Digital Prof. Brero V - 2 
 
 
 
 
A equação discretizada fica: 
 
 
 
Onde z-1= e-sT 
 
Exemplo: 
G(s) = 1/(s(s+1)) para T=1s 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades: 
1) D(z) não preserva as respostas ao impulso e em freqüência de D(s) 
2) Mapeamento plano s - plano z. Se D(s) é estável, D(z) será estável também. 
 
 
 
MÉTODOS DE DISCRETIZAÇÃO 
 
 Existem diversos métodos para discretizar sistemas contínuos. A seleção 
adequada do método de discretização não é uma tarefa muito fácil. O projetista tem que 
se questionar sobre o que ele espera do algoritmo de controle discretizado, comparado 
com o desempenho do sistema analógico. 
 As propriedades mais utilizadas na escolha do método de discretização são: 
1) Número de pólos e zeros. 
2) Largura de faixa 
3) Ganho DC 
4) Margem de fase 
5) Margem de ganho 
6) Resposta no tempo 
Normalmente apenas algumas propriedades são preservadas durante o processo de 
discretização. 
Os principais métodos são mostrados a seguir: 
1) Transformada Z do sistema amostrado 
T 
G(s) 
Segurador 
de ordem 
zero 
D(z) = z [ (1 - e-sT) G(s) ] 
 s 
G(s) = (1 - e-sT ) 1 
 s s(s + 1) 
 
G(z) = (1 - z-1) z [ 1 ] 
 s2 (s + 1) 
G(z) = 0,368 z + 0,264 
 (z - 1)(z - 0,368) 
CEFET-PR Controle Digital Prof. Brero V - 3 
 
Dado um sistema contínuo amostrado H(s), ele pode ser representado como um 
sistema discreto, através dos seguintes passos: 
 
 
 
a) Separe a função de transferência em funções parciais: 
 
 
 
 
b) Obtenha a anti-transformada de Laplace: 
h(t) = A1e
-a
1
t + A2e
-a
2
t + ...... 
 
c) Discretize o sistema substituindo t=kT 
h(kT) = A1e
-a
1
kT + A2e
-a
2
kT + ...... 
 
d) Calcule a transformada Z pela definição: 
 
 
 
 
Exemplo: Obtenha o equivalente discreto do sistema contínuo H(s) 
 
 
 
 
Através da tabela de transformada de Laplace, obtém-se: 
h(t) = (e-at - e-bt)/(b - a) 
h(kT) = (e-akT - e-bkT)/(b - a) 
Através da tabela de transformada Z, obtém-se: 
 
 
 
 
Propriedades: 
1) D(z) tem a mesma resposta ao impulso que D(s) 
2) D(z) não preserva a resposta em freqüência de D(s) 
3) Mapeamento plano s - plano z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H(s) = A1 + A2 + .... 
 s + a1 s + a2 
H(z) = A1 z + A2 z + .... 
 z - e-a1
T z - e-a2
T 
H(s) = 1 
 (s + a)(s + b) 
 H(s) 
H(z) = z (e-aT - e-bT) 
 (b-a) (z - e-aT )(z - e-bT) 
- js/2 
Im(z) 
Re(z) 
j  
 
Plano S 
Plano z 
js/2 
F
a
ix
a
 
p
ri
m
á
ri
a
 
F
a
ix
a
 
s
e
c
u
n
d
á
ri
a
 
F
a
ix
a
 
s
e
c
u
n
d
á
ri
a
 
 H(s) 
CEFET-PR Controle Digital Prof. Brero V - 4 
 
 Todo o plano s é mapeado dentro do círculo unitário no plano z. Os pólos e zeros 
do sistema contínuo devem estar dentro da faixa primária, para evitar distorção na 
discretização. 
As faixas secundárias ocorrem devido ao processo de amostragem. As informações 
da faixa primária são repetidas nas faixas secundárias. 
 
2) Método backward difference 
A derivada é aproximada através da equação: 
dy/dt  y(t) - y(t - t)/ t = [y(kT) - y(kT -T)]/T 
aplicando a transformada de Laplace, e substituindo T=t : 
sY(s)  [Y(s) - e-sT Y(s)]/ T = Y(s) (1 - z-1)/T 
Desta forma é possíve obter o equivalente discreto, substituindo s por: 
 
 
 
Exemplo: 
D(s) = a/(s+ a) 
 
 
 
 
Propriedades: 
a) É de fácil aplicação 
b) Não preserva respostas ao impulso e em freqüência. 
c) Mapeamento plano s - plano z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Transformação BILINEAR ( transformação TUSTIN, integração trapezoidal) 
É obtida substituindo 
 
 
Exemplo: 
H(s) = a/(s+a) 
Então: 
 
 
 
s = (1 - z-1) 
 T 
D(z) = a 
 1 - z-1 +a 
 T 
 D(z) = aT 
 1 +a T - z-1 
 
 
Im(z) 
Re(z) 
j  
 
Plano S 
Plano z 
s = 2 (1 - z-1 ) 
 T (1 + z-1) 
H(z) = a = a(z+1) 
 2 (1 - z-1) + a z(2/T +a) + a - 2/T 
 T(1 + z-1) 
CEFET-PR Controle Digital Prof. Brero V - 5 
 
Propriedades: 
1) transforma todo o semi-plano esquerdo do plano s, no círculo unitário do plano z. 
2) Não preserva respostas ao impulso e em freqüência. 
3) Mapeamento plano s - plano zEste método introduz uma distorção em frequencia, que será mostrada a seguir. A 
partir da relação de transformação: 
 
 
 
 E fazendo s=j* e z=ejT para verificar a resposta em freqüência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para baixos valores de  não há distorção, pois tg()  . Para (T/2) < 17o , 
teremos * = . 
 A transformação Bilinear comprimi a freqüência contínua 0 < * <  para uma faixa 
digital limitada à 0 < T < . 
4) Transformação Bilinear com pré-warping em freqüência (pré-distorção) 
É feita uma pré-distorção para compensar o problema mostrado anteriormente. 
Faz-se 
 
 
 
Para todos pólos e zeros desejados, substitui-se [s+a] por [s+a'] onde: 
 
 
 
Im(z) 
Re(z) 
j  
 
Plano S 
Plano z 
s = 2 (1 - z-1 ) 
 T (1 + z-1) 
* = 2 tan(T/2) 
 T 
j* = 2 (1 - e-jT) = 2 j tan(T/2) 
 T (1 + e-jT) T 
* 
T 
s = 2 (1 - z-1 ) 
 T (1 + z-1) 
a' = 2 tan(aT/2) 
 T 
CEFET-PR Controle Digital Prof. Brero V - 6 
 
Neste método deve ser feito um ajuste de escala para preservar o ganho DC. 
 
Exemplo: 
 
 
Fazendo o pre-warping 
 
 
 
 
Calculando D(z) 
 
 
 
O ganho DC do filtro no plano s vale D(s)=1. 
 
 
 
No plano z, o ganho DC vale: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades: 
1) Ele mapeia o lado esquerdo do plano s no círculo unitário no plano z. 
2) Ele preserva a resposta em freqüência para uma freqüência específica e para o ganho 
DC, e comprimi a faixa de freqüência de *= para = 
3) A resposta ao impulso e de fase não são preservadas. 
 
6) Mapeamento de pólos e zeros 
 Esta técnica consiste de regras heurísticas para localizar os zeros e o ganho. 
 Os pólos de G(s) e G(z) são relacionados pela transformação z=esT. 
a) Todos os pólos de G(s) são mapeados de acordo com a relação z=esT. Se G(s) 
tem pólo em s=-a, então G(z) terá um pólo em z=e-aT. 
b) Todos os zeros finitos são mapeados por z=esT. Se G(s) tem um zero em s=-b, 
então G(z) terá um zero em z=e-bT. 
c) Todos os zeros de G(s) no infinito são mapeados em G(z) no ponto z=-1. 
d) Deve-se fazer um ajuste de escala para que o ganho DC seja igual para G(s) e 
G(z). 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
D(s,a') = a 
 s + 2 tan(aT/2) 
 T 
D(z) = a 
 2 z - 1 + 2 tan(aT/2) 
 T z +1 T 
D(s) = a 
 (s+a) 
D(t = ) = lim a = 1 
 s0 (s+a) 
D(k = ) = lim a k =1 
 z  1 2 z - 1 + 2 tan(aT/2) 
 T z +1 T 
K= 2 tan(aT/2) 
 T a 
 
D(s) = s 
 (s+a) 
D(z) = k(1 - z-1) = k z - 1 
 (1 - z-1e-aT) z - e-aT 
CEFET-PR Controle Digital Prof. Brero V - 7 
 
 
 Este é um filtro passa-alta, então interessa manter o mesmo ganho em altas 
frequencias (z  -1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
a) Discretize o sistema abaixo, com SOZ, utilizando o comando C2D no programa 
MATLAB ( T=1ms): 
 
 
b) Plote a resposta da saída do sistema discretizado para um degrau unitário na entrada 
Compare as respostas em frequência, do sistema contínuo e da função de 
transferência discretizada. 
c) Calcule o módulo da Função de transferência, na freqüência de 100 rad/s, para o filtro 
discretizado a partir do método backward difference, com T=10 ms. 
 
 
 100 
s + 100 
 100 
s + 100 
 
SOZ 
D(z) = k (-1) - 1 = 1 
(z  -1) (-1) - e-aT 
k = 1+e-aT 
 2 
D(z) = 1+e-aT z - 1 
 2 z - e-aT