Exercícios resolvidos

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Exerc´ıcios resolvidos relacionados as Aulas 1-3
Exerc´ıcio 1. Em uma operac¸a˜o de enchimento automa´tico de latas de cerveja, a probabilidade de um
enchimento incorreto quando o processo for operado a baixa velocidade e´ 1%. Sabemos que 30% das
latas sa˜o enchidas com o processo sendo operado a alta velocidade. Uma lata e´ selecionada ao acaso da
produc¸a˜o total.
(a) Defina claramente o espac¸o amostral e os eventos envolvidos na situac¸a˜o descrita, estabelecendo
uma notac¸a˜o conveniente para os mesmos. Utilize essa notac¸a˜o no restante da questa˜o.
(b) Com relac¸a˜o aos percentuais apresentados no enunciado da questa˜o (1%, 30%) indique a qual
evento cada uma dessas probabilidades se refere. Para cada dos itens (c) e (d), indique a proba-
bilidade de qual evento procuramos.
(c) Calcule a probabilidade de que a lata e´ enchida corretamente ou o processo e´ operado em alta
velocidade.
(d) Calcule a probabilidade de que a lata e´ enchida corretamente supondo que o processo e´ operado
em baixa velocidade.
Soluc¸a˜o. (a) O espac¸o amostral e´ Ω = {(A,C), (A, I), (B,C), (B, I)}, onde, por exemplo, (A,C) signi-
fica que a lata de serveja e´ enchida com processo operado a alta velocidade e enchida corretamente.
Definimos eventos
B = {processo e´ operado a baixa velocidade}, C = {enchimento e´ correto},
(b)
B = {processo e´ operado a alta velocidade}, C = {enchimento e´ incorreto}.
Sa˜o dados: P(B) = 0.3; P(C|B) = 0.01.
No item (c) procuramos P(C ∪B). No item (d) procuramos P(C|B).
(c) Procuramos P(C ∪ B). Temos P(B) = 1 − P(B) = 1 − 0.3 = 0.7, aqui usamos propriedade de
probabilidade P(A) = 1− P(A). Logo temos
P(C ∩B) = P(C|B) P(B) = 0.01 · 0.7 = 0.007,
aqui usamos o teorema de multiplicac¸a˜o: P (A ∩B) = P(A|B) P(B). Tambe´m temos
P(C ∪B) = P((C ∩B)) = 1− P(C ∩B) = 1− 0.007 = 0.993,
aqui usamos A ∩B = A ∪B e propriedade de probabilidade P(A) = 1− P(A).
(d) Procuramos P(C|B). Como P(·|B) e´ probabilidade, podemos utilizar propriedade: P(C|B) =
1− P(C|B) = 1− 0.01 = 0.99
Exerc´ıcio 2. A probabilidade de que uma mulher casada assiste um certo tipo de show na televisa˜o
e´ de 0.1. A probabilidade de que um homem casado assiste o show dado que sua esposa assiste e´ 0.5;
caso contra´rio (isto e´, dado que a esposa na˜o assiste), o homem assiste o show com probabilidade 0.1.
Supondo que o homem assiste o show, qual a probabilidade de a mulher assistir o show?
Soluc¸a˜o. O espac¸o amostral e´ Ω = {(A,A), (A,N), (N,A), (N,N)}, onde, por exemplo, (A,N) significa
que a mulher assiste o show e o homem na˜o assiste. Definimos eventos
M = {mulher assiste o show}, H = {homem assiste o show}.
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Exerc´ıcios resolvidos relacionados as Aulas 1-3
Enta˜o
M = {mulher na˜o assiste o show}, H = {homem na˜o assiste o show}.
Sa˜o dados: P(M) = 0.1; P(H|M) = 0.5; P(H|M) = 0.1. Procuramos P(M |H). Temos P(M) =
1 − P(M) = 1 − 0.1 = 0.9. Usamos o teorema de Bayes. Conjuntos M e M formam partic¸a˜o de Ω.
Temos
P(M |H) = P(H|M) P(M)
P(H|M) P(M) + P(H|M) P(M)
=
0.5 · 0.1
0.5 · 0.1 + 0.1 · 0.9 =
0.05
0.05 + 0.09
= 5/14
Exerc´ıcio 3. Sejam A e B eventos de um espac¸o amostral Ω tais que P(A∩B) = 0.3 e P(A∪B) = 0.8.
Determine o valor de P(A) se A e B sa˜o independentes.
Soluc¸a˜o. Do Exerc´ıcio 5 de Aula 3 sabemos que se A e B sa˜o independentes, enta˜o A e B tambe´m sa˜o
independentes. Logo, usando A∪B = A ∩B e a propriedade de probabilidade P(A) = 1−P(A), temos
0.3 = P(A ∩B) = P(A) P(B) = (1− P(A)) P(B)
0.8 = P(A ∪B) = P(A ∩B) = 1− P(A ∩B) = 1− P(A) P(B)
Vamos denotar x = P(A) e y = P(B). Temos
0.3 = (1− x)y
0.8 = 1− xy
Subtraindo a primeira equac¸a˜o da segunda, temos 1−y = 0.5, logo y = 0.5. Agora da primeira equac¸a˜o,
temos 1− x = 35 , logo x = 25 .
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