05 - Centroides e Centros de Gravidade

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Estática Estática –– Centróides e Centróides e 
Centros de GravidadeCentros de GravidadeCentros de GravidadeCentros de Gravidade
IntroduçãoIntrodução
• A Terra exerce uma força gravitacional em cada uma das
partículas que constituem um corpo. Essas forças podem
ser substituídas por uma única força equivalente, de
intensidade igual ao peso do corpo e aplicada em seu
centro de gravidade.centro de gravidade.
• O centroide de uma superfície é análogo ao centro de
gravidade de um corpo e para a sua determinação é
utilizado o conceito de momento de primeira ordem de uma
área.
Centro de Gravidade de um Corpo Centro de Gravidade de um Corpo 
BidimensionalBidimensional
• Centro de gravidade de uma placa:
∫
∑∑
∫
∑∑
=
∆=
=
∆=
dWy
WyWyM
dWx
WxWxM
x
y
Centro de Gravidade de um 
Corpo Bidimensional
• Centro de gravidade de um fio:
∫
∑∑
∫
∑∑
=
∆=
=
∆=
dWy
WyWyM
dWx
WxWxM
x
y
Centróide e Momentos de Primeira 
Ordem de Superfícies
• Centroide de uma superfície:
( ) ( )
x
QdAyAy
y
QdAxAx
dAtxAtx
dWxWx
x
y
 a relação em ordem primeira de momento 
 a relação em ordem primeira de momento 
 
=
==
=
==
=
=
∫
∫
∫
∫
γγ
Centróide e Momentos de Primeira 
Ordem de Curvas
• Centroide de uma curva:
( ) ( )
∫
∫
∫
∫
=
=
=
=
dLyLy
dLxLx
dLaxLax
dWxWx
γγ
Momentos de Primeira Ordem
• Uma superfície é simétrica
em relação a uma eixo BB’
se para cada ponto P da
superfície há um ponto P’
tal que a linha PP’ étal que a linha PP’ é
perpendicular a BB’ e é
dividida em duas partes
iguais por esse eixo.
Momentos de Primeira Ordem
• O momento de primeira
ordem de uma superfície em
relação a um eixo de simetria
é zero.
• Se uma superfície tiver um
• Se uma superfície tiver dois
eixos de simetria, seu
centroide deverá se localizar
na interseção dos dois.
• Se uma superfície tiver um
eixo de simetria, seu
centroide fica localizado
sobre esse eixo.
Momentos de Primeira Ordem
• Uma superfície é simétrica em
relação a um centro O se, para
cada elemento de superfície
dA em (x,y) existir um
elemento dA’ de mesma áreaelemento dA’ de mesma área
em (-x,-y).
• O centroide de uma superfície
coincide com o seu centro de
simetria.
Centróides de Superfícies Planas
Centróides de Curvas Planas
Placas Compostas
• Placas compostas:
∑∑
∑∑
=
=
WyWY
WxWX
Superfícies Compostas
• Superfícies compostas:
∑∑
∑∑
=
=
AyAY
AxAX
Exemplo
Para a superfície plana
mostrada, determine os
momentos de primeira
ordem em relação aosordem em relação aos
eixos x e y e a localização
do centroide.
Exemplo
Exemplo
Determinação do Centróide por 
Integração
∫∫∫∫
∫∫∫∫
===
===
dAydydxydAyAy
dAxdydxxdAxAx
el
el
• A integração dupla para encontrar o momento de
primeira ordem pode ser evitada definindo-se o
elemento de área dA como um retângulo estreito ou
um setor estreito.
Determinação do Centróide por 
Integração
( )
( )ydxy
dAyAy
ydxx
dAxAx
el
el
∫
∫
∫
∫
=
=
=
=
2
( )[ ]
( )[ ]dyxay
dAyAy
dyxaxa
dAxAx
el
el
−=
=
−
+
=
=
∫
∫
∫
∫
2
Determinação do Centróide por 
Integração






=
=






=
=
∫
∫
∫
∫
θθ
θθ
drr
dAyAy
drr
dAxAx
el
el
2
2
2
1
sen
3
2
2
1
cos
3
2
Exemplo
Determine por integração direta a localização do centroide
da superfície sob um arco parabólico.
Exemplo
Teoremas de Pappus-Guldinus
• Uma superfície de revolução é gerada pela rotação de
uma curva no plano em torno de um eixo fixo.
• A área de uma superfície de revolução é igual ao
produto do comprimento da curva geratriz pela
distância percorrida pelo centroide durante a rotação.
LyA pi2=
Teoremas de Pappus-Guldinus
• Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma
superfície plana em torno de um eixo fixo.
• O volume de um sólido de revolução é igual ao produto
da área da superfície geratriz pela distância percorrida
pelo centroide da superfície durante a rotação.
AyV pi2=
Exemplo
O diâmetro externo de uma polia é 0,8 m, e a seção
transversal de seu contorno externo está mostrada acima.
Sabendo que a polia é feita de aço, determine a massa e o
peso do contorno externo.
33 mkg 1085.7 ×=ρ
Cargas Distribuídas Sobre Vigas
• Uma carga distribuída pode ser caracterizada por uma• Uma carga distribuída pode ser caracterizada por uma
curva representando a carga w sustentada por unidade de
comprimento (em N/m). A carga total sustentada pela viga é
igual à área sob a curva.
• Uma carga distribuída pode ser substituída por uma carga
concentrada com intensidade igual à área sob a curva de
carga e linha de ação passando pelo centroide dessa
superfície.
Exemplo
Uma viga suporta a carga distribuída mostrada acima.
Determine a carga concentrada equivalente e as reações de
apoio.
Centro de Gravidade de um corpo 
Tridimensional
∫∫ == dWrWrdWW G
rr
Centro de Gravidade de um corpo 
Tridimensional
• As relações obtidas são independentes da orientação do
corpo,
∫∫∫ === zdWWzydWWyxdWWx
∫∫∫ === zdVVzydVVyxdVVx
dVdW e VW γγ ==
• Para corpos homogêneos,
Centróide de Sólidos
Centróide de Sólidos
Corpos Tridimensionais Compostos
• O momento gerado pelo peso total de um corpo
concentrado em seu centro de gravidade G é igual à
soma dos momentos dos pesos das partes que
compõem o corpo,
∑∑∑∑∑∑ === WzWZWyWYWxWX ∑∑∑∑∑∑ === WzWZWyWYWxWX
• Para corpos homogêneos,
∑∑∑∑∑∑ === VzVZVyVYVxVX
Exemplo
Determine o centro de gravidade do elemento de máquina
de aço.O diâmetro de cada furo é de 2,5 cm.
Exemplo
Exercícios
Momento de primeira
ordem para cada uma
das áreas em relação ao
eixo X que passa no
centróide.centróide.
Qx1 = 23,3 ln³
Qx2 = -23,3 ln³
Exercícios
L=2,0m. Determinar “d’
para que a barra BCD
permaneça horizontal.
d = 0,739m
Exercícios
Peça de alumínio com 1mm de espessura. Densidade
2800Kg/m³. Determinar a massa da peça.
M = 0,0305Kg
Exercícios
Reação emA e B ?
A = 480N; B = -840N
Exercícios
Coordenada x do centro
de gravidade
coordenada X = 46,8mm