MECÂNICA DOS FLUIDOS - Capitulo 02 - 1a Parte

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19/03/2012
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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Capítulo 02 – ESTÁTICA DOS
FLUIDOS - 1ª PARTE
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS
Prof. Eliane Justino
2 – ESTÁTICA DOS FLUIDOS
 Classe dos problemas da Mecânica dos Fluidos onde o fluido está em repouso ou
num tipo de movimento que não obriga as partículas de fluidos adjacentes a
apresentar movimento relativo.
 As tensões de cisalhamento nas superfícies das partículas dos fluidos são nulas;
 As únicas forças que atuam nestas superfícies são as provocadas pela pressão.
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2.1 – PRESSÃO NUM PONTO
 O termo pressão indica a força normal por unidade de área que atua sobre um
ponto do fluido num dado plano.
 Para entendermos a Estática dos Fluidos é preciso responder a duas questões:
 QUESTÃO 01 – Como varia a pressão num ponto com a direção?
 Ou seja a pressão varia com a orientação do plano que passa pelo ponto?
 Para entendermos consideremos o diagrama de corpo livre de uma figura
construída removendo-se arbitrariamente um pequeno elemento de fluido com
forma de uma cunha triangular, de um meio fluido.
2.1 – PRESSÃO NUM PONTO
 Força em um elemento fluido arbitrário:
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2 – PRESSÃO NUM PONTO
 Tensões de Cisalhamento são nulas, pois não há deslocamento entre os fluidos
adjacentes;
 As forças de superfícies que atuam na cunha são devidas as Pressões que o fluido
adjacentes fazem sobre o ponto considerado;
 A força de corpo considerada é a força devido o Peso do ponto considerado.
 Para simplificação, as forças na direção x não estão mostrada e o eixo z é tomado
como o eixo vertical, onde o Peso atua no sentido negativo deste eixo.
 Apesar de estarmos interessados, principalmente, na situação onde o fluido está
em repouso, faremos uma Análise Geral e admitiremos que o elemento de fluido
apresenta um Movimento Acelerado.
2.1 – PRESSÃO NUM PONTO
 A hipótese de Tensões de Cisalhamento ser nula será adequada enquanto o
movimento do elemento do fluido for igual aquele de um Corpo Rígido, ou seja, os
elementos adjacentes não apresentarem Movimento Relativo.
 Pela Segunda Lei de Newton, as equações do movimento na direção y e z são:
 ps; py e px – são as pressões médias na superfícies da cunha.
 γ é o peso específico do fluido;
 ρ é a massa específica do fluido;
 ay e az são as acelerações nas direções y e z, respectivamente.
zszz
ysyy
a
zyxzyx
sxpyxpF
a
zyx
ssenxpzxpF
22
cos
2


=−−=
=−=
∑
∑
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2.1 – PRESSÃO NUM PONTO
 Analisando a geometria da Figura.
y = s.cos e z = s . sen
2.1 – PRESSÃO NUM PONTO
 As Equações do movimento podem ser reescrita do seguinte modo:
 Como estamos interessados no que acontece num ponto, é interessante
analisarmos o caso limite onde δx, δy e δz tendem a zero, mas mantendo o ângulo 
constante. Assim;
py = ps e pz = ps
( )
2
2
z
app
y
app
zsz
ysy


+=−
=−
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2.1 – PRESSÃO NUM PONTO
 Então px = py = pz, com θ arbitrário.
 CONCLUSÃO:
 A pressão num ponto de um líquido em repouso ou movimento onde as tensões de
cisalhamento é nula, é independente da direção.
 Este Resultado importante é conhecido como Lei de Pascal (Blaser Pascal,
matemático francês que contribuiu significativamente no campo hidrostática 1623 –
1662).
2.2 – EQUAÇÃO BÁSICA DO CAMPO DE PRESSÃO
 QUESTÃO 02 – Como varia, ponto a ponto a pressão numa certa quantidade de
fluido que não apresenta tensões de cisalhamento?
 Considere um pequeno elemento de fluido:
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2.2 – EQUAÇÃO BÁSICA DO CAMPO DE PRESSÃO
 Existe dois tipos de forças que atuam no elemento de fluido: as superficiais, devida
a pressão e a de campo, neste caso, é igual o peso do elemento.
 A Pressão no centro geométrico do elemento é designada por p.
 As pressões médias na várias faces do elemento é expressa em função de p e de
suas derivadas.
 Na verdade é utilizada uma Expansão em Série de Taylor, baseada no centro do
elemento.
 As forças superficiais na direção x não são considerada para melhor visualização da
figura.
2.2 – EQUAÇÃO BÁSICA DO CAMPO DE PRESSÃO
 A Força Resultante na direção y é dada por:
 ou
 De modo análogo, as forças resultantes na direção x e z são dadas por:
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2.2 – EQUAÇÃO BÁSICA DO CAMPO DE PRESSÃO
 A forma vetorial da força superficial resultante que atua no elemento é;
Ou
 Onde i, j e k são vetores unitários do sistema de coordenadas.
 O grupo entre parêntese representa a forma vetorial do Gradiente de Pressão e
pode ser escrito como:
2.2 – EQUAÇÃO BÁSICA DO CAMPO DE PRESSÃO
 Onde
 Onde o Símbolo ∇ representa o operador gradiente. Assim:
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2.2 – EQUAÇÃO BÁSICA DO CAMPO DE PRESSÃO
 Como o eixo z é vertical, o peso do elemento de fluido é dado por:
 O sinal negativo indica que a força devida ao peso aponta para baixo (sentido
negativo do eixo z)
 A Segunda Lei de Newton, aplicada ao elemento de fluido, pode ser escrita da
seguinte forma:
F = ma
 Onde ΣδF representa a força resultante que atua no elemento;
 a é aceleração do elemento; e
 δma é a massa do elemento fluido, que pode ser escrito como . x . y .z, assim:
2.2 – EQUAÇÃO BÁSICA DO CAMPO DE PRESSÃO
ou
Dividindo por x . y .z, obtém-se
Esta é a Equação Geral do
Movimento válida para casos onde
as Tensões de Cisalhamento no
fluido são nulas.
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2.3 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO EM REPOUSO
 Em Fluido em repouso tem-se:
 Aceleração nula (a = 0);
 Assim
 Os componentes da Equação anterior são;
2.3 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO EM REPOUSO
 SIGNIFICADO:
 Isto mostra que a pressão não é função de x e y, isto é, não há variação no valor da
pressão quando mudamos de um ponto para outro situada no mesmo plano
horizontal (qualquer plano paralelo ao plano x-y)
 Então p é apenas função de z.
 Reescrevendo como uma Equação Diferencial ordinária, tem-se:
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2.3 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO EM REPOUSO
 Esta Equação é fundamental para o Cálculo da distribuição de pressão no caso
onde o fluido está em repouso. É utilizada para determinar como a pressão varia
com a elevação.
 Indica o gradiente de pressão na direção vertical é negativo, ou seja, a pressão
descrece quando nos movemos para cima num fluido em repouso.
 Como não há restrições em relação ao peso específico, a equação é válida para os
casos onde o fluido apresenta γ constante (por exemplo os líquidos ) e também para
os casos onde o peso específico varia (por exemplo, o ar e outros gases).
 Portanto, é necessário especificar como o peso específico varia com z para que seja
possível integrar a Equação Resultante para Fluidos Estáticos.
2.3.1 –FLUIDO INCOMPRESSÍVEL
 A variação do peso específico de um fluido é provocada pelas variações de sua
massa específica e da aceleração da gravidade.
  =  . g
 Como as variações de g na maioria dos problemas das aplicações da engenharia
são desprezíveis, temos somente que analisar as possíveis variações da massa
específica.
 Nos líquidos as variações da massa específica pode ser desprezada, mesmo
quando as distâncias verticais envolvidas sejam significativas.
 Sendo o peso específico constante, pode se integrar diretamente a Equação de
variação de pressão, isto é:
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2.3.1 –FLUIDO INCOMPRESSÍVEL
 Notação para a
variação de
pressão num fluido
em repouso e com
superfície livre
2.3.1 –FLUIDO INCOMPRESSÍVEL
Onde p1 e p2 são pressões nos planos com cota z1 e z2, respectivamente
Onde h é igual a distância z2 – z1 (profundidade medida a partir do plano que
apresenta p2)
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2.3.1 –FLUIDO INCOMPRESSÍVEL
 A pressão num fluido incompressívelem repouso varia linearmente com a
profundidade, que é denominada PRESSÃO HIDROSTÁTICA.
 A pressão precisa aumentar com a profundidade para que exista equilíbrio.
 A diferença entre as pressões de dois pontos é especificada pela distância, h, ou
seja:
 h é denominada “carga” e é interpretada como:
 A altura da coluna de fluido com o peso específico  necessária para provocar uma
diferença de pressão p1 - p2.
2.3.1 –FLUIDO INCOMPRESSÍVEL
 Exemplo:
 Para provocar a diferença de pressão de ∆p = 69 kPa.
 Para água - γ = 9,8 kN/m3 - h = 7.09 m de coluna de H2O
 Para mercúrio - γ = 133,41 kN/m3 - h = 5,19 mm Hg = 0,519 mHg.
 Sempre existe uma superfície livre quando se trabalha com líquido, e é conveniente
utilizar o valor da pressão nesta superfície como referência.
 Assim, a pressão de referência, p0, é a pressão que atua na superfície livre,
normalmente é igual a pressão atmosférica.
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2.3.1 –FLUIDO INCOMPRESSÍVEL
 Se p2 = pO, tem-se que a pressão em qualquer profundidade, h, medida a partir da
superfície livre é dada por:
 p = .h + p0
 A distribuição de pressão num fluido homogêneo incompressível e em repouso é
função apenas da profundidade (em relação a algum plano de referência) e não é
influenciada pelo tamanho ou forma do tanque ou recipiente ou tanque que contém
o fluido.
2.3.1 –FLUIDO INCOMPRESSÍVEL
 Equilíbrio de um fluido num recipiente de forma arbitrária.
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2.3.1 –FLUIDO INCOMPRESSÍVEL
 A pressão é a mesma em todos os pontos da linha AB, mesmo que , a forma do
recipiente seja um tanto irregular.
 O valor real da pressão ao longo de AB depende apenas da profundidade h, da
pressão na superfície livre, pO, e do peso específico do fluido contido no recipeinte.
 EXEMPLO 2.1 – pág. 30
 A Figura abaixo mostra o efeito da infiltração de água num tanque subterrâneo de
gasolina. Se a densidade da gasolina é 0,68, determine a pressão na interface
gasolina-água e no fundo do tanque.
2.3.1 –FLUIDO INCOMPRESSÍVEL
 SOLUÇÃO:
 A distância de pressão será hidrostática porque os dois fluidos estão em repouso.
 Assim, a variação de pressão pode ser calculada com a Equação.
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2.3.1 –FLUIDO INCOMPRESSÍVEL
 p = p0 + γ.h
 Se p0 corresponde a pressão na superfície livre da gasolina, a pressão na interface
é:
 Se estivermos interessados na pressão relativa temos que p0 = 0 é:
 Aplicando a mesma relação para determinar a pressão no fundo do tanque tem-se:
2.3.1 –FLUIDO INCOMPRESSÍVEL
 Para transformar os resultados obtidos em pressões absolutas basta adicionar o
valor da pressão atmosférica local aos resultados.
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2.3.2 –FLUIDO COMPRESSÍVEL
 Fluidos Compressível são aqueles em que as massas específicas variam de modo
significativo com as alterações de pressão e temperatura.
 Deve-se considerar a possibilidade da variação do peso específico do fluido antes
de integrar a pressão em relação ao eixo vertical.
 O peso específico dos gases comuns são pequenos em relação aos líquidos.
 Para 15º C ao nível do mar.
  ar= 1,2 x 101 N/m3.
  água= 9,8 x 103 N/m3.
2.3.2 –FLUIDO COMPRESSÍVEL
 O gradiente de pressão na direção vertical é pequeno porque o peso específico dos
gases é normalmente baixo.
 Em tanques e tubulações que apresentam dimensões moderadas, pode-se
desprezar o efeito de variação de elevação sobre a pressão do gás.
 Para os caso onde a variação de altura é grande, da ordem de milhares de metros,
deve-se considerar a variação do peso específico do fluido nos cálculos das
variações de pressão.
 Considerando um gás perfeito.
 p =  . R . T (1)
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2.3.2 –FLUIDO COMPRESSÍVEL
 Substituindo (2) em (4), tem-se:
 Separando as vaiáveis:
)2(
RT
p
=ρ
)3(
dz
dp γ−=
)4(g.
dz
dp ρ−=
RT
g.p
dz
dp
−=
2.3.2 –FLUIDO COMPRESSÍVEL
 Onde g e R foram mantidos constante no intervalo de integração.
 Com isto é necessário especificar como a temperatura varia com a a elevação.
 Admitindo que a temperatura é constante e igual a T0 no intervalo de integração (de
z1 a z2), tem-se:
 Esta equação fornece a relação entre a pressão e a altura numa camada isotérmica
de um gás perfeito.
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2.3.2 –FLUIDO COMPRESSÍVEL
 EXEMPLO 4.2 – pag. 41
 O Empire State Building de Nova York, uma das construções mais altas do mundo,
apresenta altura aproximadamente de 381 m. Estime a relação entre as pressões
no topo e na base do edifício. Admita que a Temperatura é uniforme e igual a 15º C.
Compare este resultado com aquele que é obtido modelando o ar como
incompressível e com peso específico igual a 12,01 N/m3 (valor padrão americano
de 1 atm).
 SOLUÇÃO
 Modelando o ar como um fluido compressível:
2.3.2 –FLUIDO COMPRESSÍVEL
 Modelando o ar como incompressível:
 A análise utilizando tanto o modelo de fluido compressível como de fluido
incompressível fornecem resultados praticamente igual porque a diferença de
pressão entre o topo e a base do edifício é pequena, isto é, a variação da massa
específica do fluido também pequena.
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2.4 –ATMOSFERA PADRÃO
 Foi desenvolvida para ser utilizada no projeto de aviões e espaçonaves e também
para comparar o comportamento destes equipamento numa condição padrão.
 É uma representação ideal da atmosfera terrestre e foi avaliada numa latitude
média e numa condição ambiental anual média.
 São apresentadas em Tabela as propriedades importantes da atmosfera padrão
relativas ao nível do mar.
 Também é ilustrado em Gráfico o perfil de temperatura adotado na atmosfera
padrão.
2.4 –ATMOSFERA PADRÃO
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2.4 –ATMOSFERA PADRÃO
 Nota-se que a temperatura decresce com a altitude na região próxima da Terra,
Troposfera, fica aproximadamente constante na Estratosfera e aumenta na próxima
camada.
Variação da
Temperatura com a
altitude na atmosfera
Padrão Americana
2.4 –ATMOSFERA PADRÃO
 EXEMPLO: Na troposfera (a região que se estende até a altura aproximadamente
igual a 11 km), a distribuição de Temperatura é dado por:
 T = Ta - β z (1)
 Onde Ta – temperatura ao nível do mar (z = 0)
 β - a taxa de decaimento da temperatura. Nesta região, β é igual a 0,00650
K/m.
 Aplicando (1) em:
(2)
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2.4 –ATMOSFERA PADRÃO
( )
( ) (7)ln1
(6)em(4)doSubstituin
(6)ln1
u
111
u
1
:(3)em(5)e(4)doSubstituin
(5)10
)(4TuSendo
(3)1
2
1
2
1
2
1
z
z
z
z
a
zT
ududu
dudzdzdu
z
dz
zT
a
z
z a





−−
−→−→


−
−=→−=
−=
−
∫∫
∫
2.4 –ATMOSFERA PADRÃO
( )
( )
( )






R
g
a
a
R
g
aa
a
R
g
a
RgzT
a
T
zpseObtém
T
z
T
Tp
zTp
e
Aplicando
zT
R
g
p
p
a




−=−→



−=
−=
=
−=
−
1p:p
: termososdoRearranjan
p
:sejaoue
:lexponenciaepropriedad
lnln
:se- tem(2),em(7)doSubstituin
212
12
/p
p
1
2
1
2
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2.4 –ATMOSFERA PADRÃO
 Onde pa é pressão absoluta em z = 0. Com pa, Ta e g são obtidos da Tabela de
Propriedades da Atmosfera Padrão Americano no Nível do Mar e Com R = 286,9
J/kg .K, a variação de pressão na Troposfera pode ser determinada com a Equação
anterior. O cálculo mostra que a temperatura e a pressão na interface Troposfera-
Estratosfera são iguais a -55,6º C e 23 kPa.
 É importante ressaltar que os jatos comerciais modernos voam nesta região.
2.5 – MEDIÇÃO DE PRESSÃO
 Vários dispositivos e técnicas foram desenvolvidos e são utilizados para medição da
pressão.
 A pressão num ponto do Sistema Fluido pode ser designada em termo – Absoluto e
Relativos.
 PressõesAbsolutas – São medidas em relação ao vácuo perfeito (pressão absoluta
nula).
 Pressão Relativa – É medida em relação a pressão atmosférica local.
 Pressão Relativa Nula – Corresponde a uma pressão igual a pressão atmosférica
local.
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2.5 – MEDIÇÃO DE PRESSÃO
 Pressões Relativas Negativas – Conhecida como Vácuo, são as Pressões menores
do que a pressão atmosférica local.
 Pressões Absolutas são sempre positivas, mas as pressões relativas podem ser
tanto positivas (pressão maior do que a atmosférica local), quanto
negativa(pressões menores do que a pressão atmosférica local).
 EXEMPLO – A pressão de 70 kPa (abs) pode ser expressa como -31,33 kPa (relativa)
se a pressão atmosférica local é de 101,33 kPa.
 Pabs = Prelativa + P atm
 Prelativa = Pabs – Patm
 P relativa = 70 – 101,33
 P relativa = -31,33 kPa
 Vácuo de 31,33 kPa
2.5 – MEDIÇÃO DE PRESSÃO
 Representação gráfica das Pressões Relativa e Absolutas.
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2.5 – MEDIÇÃO DE PRESSÃO
 Unidade e Referência utilizados na Medição de Pressão.
 P = F/A = Força/Área
 Unidades Usuais para Pressão.
 No SI – N/m2 = Pa
 Pela altura de uma coluna de líquido (em metros, milímetros, etc) e pela
especificação do líquido da coluna (água, mercúrio, etc)
 EXEMPLO: A pressão atmosférica padrão pode ser expressa com 760 mmHg (abs).
Graça a relação de que P = γh, ou seja, h =P/γ
2.5 – MEDIÇÃO DE PRESSÃO
 A medição da pressão atmosférica é normalmente realizada com o barômetro de
Mercúrio.
Barômetro de Mercúrio Simples
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2.5 – MEDIÇÃO DE PRESSÃO
 Constituído por:
 Um tubo de vidro com uma extremidade fechada e outra aberta imersa em um
recipiente que contém mercúrio.
 Inicialmente, o tubo estava repleto com mercúrio e então foi virado de ponta a
cabeça (com a extremidade aberta lacrada) e inserido no recipiente de Mercúrio.
 O equilíbrio da coluna de mercúrio ocorre quando o peso da coluna mais a força
provocada pela pressão de vapor (que se desenvolve no espaço acima da coluna) é
igual a força devida a pressão atmosférica.
 Assim:
 patm = .h + pvapor
2.5 – MEDIÇÃO DE PRESSÃO
 A contribuição da pressão de vapor, na maioria dos casos, pode ser desprezada
porque é muito pequena, a pressão de vapor do mercúrio a 20º C é igual a 0,16 Pa
(abs)
 Portanto:
 patm = γ.h
 É comum expressar patm em função da altura de uma coluna de mercúrio.
 patm padrão = 101,33 kPa = 0,76 mHg = 10,36 mH2O.
 Barômetro foi atribuído a Evangelista Torricelli.
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 EXEMPLO 2.3 – pg. 44.
 A água de um lago localizado numa região montanhosa apresenta temperatura
média iguala 10º C e a profundidade máxima do lago é 40 m. Se a pressão
barométrica local é igual a 598 mmHg determine a pressão absoluta na região mais
profunda do lago.
 SOLUÇÃO:
 A pressão na água, em qualquer profundidade h, é dada pela equação:
 p = p0 + γh
 Onde p0 é a pressão na superfície do lago.
2.5 – MEDIÇÃO DE PRESSÃO
 Como estamos interessados na pressão absoluta, p0 será a pressão barométrica
local. Portanto:
 p0= γHg .h = (133 kN/m3) (0,598 m) = 79,5 kN/m2.
 O peso específico da água a 10º C pode ser obtida em Tabela de Propriedades do
Fluido (γHg =9,804 kN/m3).
 Assim:
 P = 79,5 + (9,804 kN/m3) x 40 = 472 kPa (abs)
2.5 – MEDIÇÃO DE PRESSÃO
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 Técnicas utilizadas na medição de pressão que envolve o uso de colunas de líquidos
verticais ou inclinados.
 Os dispositivos para a medida de pressão baseados nestas técnicas são
denominados MANÔMETROS.
Exemplo: Barômetro de Mercúrio.
Tipos Usuais de Manômetros:
 Tubo Piezométrico;
 Manômetro em U;
 Tubo Inclinado.
2.6 – MANOMETRIA
 É o mais simples manômetro que existe, consiste em um tubo vertical aberto no
topo, e conectado ao recipiente no qual desejamos conhecer a pressão.
2.6.1 – TUBO PIEZOMÉTRICO
Tubo Piezométrico
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2.6.1 – TUBO PIEZOMÉTRICO
 Como a coluna líquida está em equilíbrio a pressão pode ser expressa por:
 p = p0 + γh
 Esta equação fornece o valor da pressão gerada por qualquer coluna de fluido
homogêneo em função da pressão de referência, p0, e da distância vertical entre os
planos que apresentam p e p0.
 Lembre-se que:
Pressão Caminhamento na Coluna de Fluido considerando a superfície
livre como referência.
Pressão Caminhamento na Coluna de Fluido considerando a superfície
livre como referência.
2.6.1 – TUBO PIEZOMÉTRICO
 No tubo piezométrico esquematizado, tem-se:
 pA = γ1 h1
 p0 foi igualada a zero (o tubo é aberto no topo) e
isto implica que estamos lidando com a pressões
relativas.
 pA = p1 - apresentam a mesma elevação.
 RESTRIÇÕES DE UTILIZAÇÃO DO PIEZÔMETRO
1) Só é adequado nos casos onde a pressão no
recipiente é maior do que a pressão atmosférica,
visto que, se não ocorreria sucção de ar para o
interior do recipiente.
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2.6.1 – MANÔMETRO COM TUBO EM U
2) A pressão no reservatório não pode ser muito grande (para que a altura da coluna
seja razoável).
3) Só é possível utilizar este dispositivo se o fluido do recipiente for um líquido.
2.6.2 – MANÔMETRO COM TUBO EM U
Manômetro com Tubo
em U Simples
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2.6.2 – MANÔMETRO COM TUBO EM U
 Para determinar a pressão pA em função das alturas das várias colunas, aplica-se:
 pA = p0 +γ.h
 Nos vários trechos preenchidos com o mesmo fluido.
 A pressão no ponto A e no ponto (1) são iguais.
 pA = p1
 A pressão no ponto (2) é igual a:
 p2 = p1 + γ1.h1
2.6.2 – MANÔMETRO COM TUBO EM U
 A pressão no ponto (2) é igual a pressão no ponto (3), porque as elevações são
iguais.
 p2 = p3
 Note que não se pode saltar diretamente do ponto (1) para o ponto de mesma
elevação no outro tubo porque existem dois fluidos diferentes na região limitada
pelos planos horizontais que passam por estes pontos.
 Como conhecemos a pressão no ponto (3), vamos nos mover para a superfície livre
da coluna onde a pressão relativa é nula.
 Quando nos movemos verticalmente para cima a pressão decresce de um valor
γ2.h2.
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2.6.2 – MANÔMETRO COM TUBO EM U
 Estes vários passos podem ser resumidos por:
 pA + γ1.h1 - γ2.h2 = 0
ou seja:
 pA = γ2.h2 - γ1.h1
 VANTAGENS DO MANÔMETRO COM O TUBO EM U:
 É que o fluido manométrico pode ser diferente do fluido contido no recipiente onde
a pressão deve ser determinada.
 EXEMPLO: O fluido do recipiente do manômetro em tubo em U simples pode ser
tanto um gás como um líquido.
2.6.2 – MANÔMETRO COM TUBO EM U
 Se o recipiente contém um gás, a contribuição da coluna de gás, γ1.h1,
normalmente é desprezada de modo que:
 pA ≈ p2
 pA = γ2.h2
 A altura da coluna (carga), h2, é determinada unicamente pelo peso específico do
fluido manométrico (γ2) para uma dada pressão. Isto permite utilizar um fluido
manométrico pesado, tal como o mercúrio, para obter uma coluna com altura
razoável quando a pressão pA é alta.
 Por outro lado, pode-se utilizar um fluido mais leve, tal com a água, para obter uma
coluna de líquido com uma altura adequada se a pressão pA é baixa.
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2.6.2 – MANÔMETRO COM TUBO EM U
 EXEMPLO 2.4 – pag. 46
 Um tanque fechado esboçado na Figura abaixo, contém ar comprimido e um óleo
que apresenta densidade 0,9. O fluido manométrico utilizado no manômetro em U
conectado ao tanque é mercúrio (densidade igual a 13,6). Se h1 = 914 mm, h2 =
152 mm e h3 = 229 mm, determine a leitura no manômetro localizado no topo do
tanque.
2.6.2 – MANÔMETRO COM TUBO EM U
 SOLUÇÃO:
 Seguindo o procedimento geral utilizado nesta seção, nós iniciaremos a análise na
interface ar-óleo localizada no tanque e prosseguiremos até a interface fluido
manométrico-ar atmosférico onde a pressão relativa é nula.A pressão no ponto (1)
é:
 Esta pressão é igual a pressão no ponto (2) porque os dois pontos apresentam a
mesma elevação e estão localizados num trecho de tubo ocupada pelo mesmo
fluido homogêneo e que esta em equilíbrio.
 A pressão no ponto (2) é igual a pressão na interface fluido manométrico-ar
atmosférico somada àquela provocada pela coluna com altura h3.
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33
2.6.2 – MANÔMETRO COM TUBO EM U
 Se nós admitirmos que a pressão relativa é nula nesta interface (note que estamos
trabalhando com pressões relativas).
 ou
 Aplicando os valores fornecidos no enunciado do exemplo.
2.6.2 – MANÔMETRO COM TUBO EM U
 Como o peso específico do ar é muito menor que o peso específico do óleo, a
pressão medida no manômetro localizado no topo do tanque é muito próxima da
pressão na interface ar comprimido-óleo. Deste modo:
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2.6.2.1– MANÔMETRO COM TUBO EM U PARA MEDIR
DIFERENÇA DE PRESSÃO
 Muito utilizado para medir diferença de pressão em sistema de fluidos.
 Considere o manômetro conectado entre os recipientes A e B.
Manômetro diferencial em U
2.6.2.1– MANÔMETRO COM TUBO EM U PARA MEDIR
DIFERENÇA DE PRESSÃO
 A diferença de pressão entre A e B, utilizando o procedimento de Manômetro com
Tubo em U:
 pA = p1
 p2 = pA + γ1.h1 = p3
 p4 = p3 - γ2.h2
 p5 = p4 - γ3.h3 = pB
 Resumindo:
 pA + γ1.h1 - γ2.h2 - γ3.h3 = pB
 E a diferença de pressão é dada por:
 pA – pB = γ2.h2 + γ3.h3 - γ1.h1
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 Geralmente os efeitos da Tensão Superficial nas várias interfaces do fluido
manométrico não são considerados.
 Os efeitos de capilaridade se cancelam, pois se admite que as tensões superficiais
e os diâmetros dos tubos de cada menisco são iguais.
 No manômetro em Tubo U Simples que possui diâmetro grande (em torno de 12
mm, ou maiores), o efeito do bombeamento capilar pode ser considerado
desprezível.
2.6.2.1– MANÔMETRO COM TUBO EM U PARA MEDIR
DIFERENÇA DE PRESSÃO
 EXEMPLO 2.5 – pg. 48
 A Figura abaixo mostra o esboço de um dispositivo utilizado para medir a vazão em
volume em tubos, Q, o bocal convergente cria uma queda de pressão pA – pB no
escoamento que está relacionada com a vazão em volume através da equação Q =
K(pA – pB) ½ (onde K é uma constante que é função das dimensões do bocal e do
tubo). A queda de pressão normalmente é medida com um manômetro diferencial
em U do tipo ilustrado na Figura. (a) Determine uma equação para pA – pB em
função do peso específico do fluido que escoa, γ1, do peso específico do fluido
manométrico, γ2, e das várias alturas indicadas na figura. (b) Determine a queda de
pressão se γ1 = 9,80 kN/m3, γ2 = 15,6 kN/m3, h1 = 1,0 m e h2 = 0,5m.
2.6.2.1– MANÔMETRO COM TUBO EM U PARA MEDIR
DIFERENÇA DE PRESSÃO
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2.6.2.1– MANÔMETRO COM TUBO EM U PARA MEDIR
DIFERENÇA DE PRESSÃO
 SOLUÇÃO:
 (a) apesar do fluido no tubo esta escoando, o que está contido no manômetro está
em repouso e, assim as variações de pressão nos tubos do manômetro são
hisdrostáticas.
 Deste modo, a pressão no ponto (1) é igual a pressão no ponto A menos a pressão
correspondente a coluna de fluido com altura h1 (γ1 .h1).
 A pressão no ponto (2) é igual aquela no ponto (1) e também é igual aquela no
ponto (3).
 Já a pressão no ponto (4) é igual no ponto (3) menos a pressão correspondente a
coluna de fluido manométrico com a altura h2 (γ2 .h2).
2.6.2.1– MANÔMETRO COM TUBO EM U PARA MEDIR
DIFERENÇA DE PRESSÃO
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 A pressão no ponto (5) é igual a pressão no ponto (4).
 E a pressão no ponto B é igual a pressão no ponto (4) mais a pressão
correspondente a coluna de fluido com altura (h1 + h2).
 Note que apenas uma altura de coluna de fluido manométrico (h2) é importante
neste manômetro, ou seja, este dispositivo pode ser instalado com h1 igual a 0,5 ou
5,0 m acima do tubo e a leitura do manômetro (o valor h2) continuaria a mesma.
 Observe também que é possível obter valores relativamente grandes de leitura
diferencial, h2, mesmo quando a diferença de pressões é baixa pois basta utilizar
fluidos que apresentem pesos específicos próximos.
2.6.2.1– MANÔMETRO COM TUBO EM U PARA MEDIR
DIFERENÇA DE PRESSÃO
 (b) O valor da queda de pressão para os valores fornecidos é:
2.6.2.1– MANÔMETRO COM TUBO EM U PARA MEDIR
DIFERENÇA DE PRESSÃO
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 Freqüentemente utilizado para medir pequenas variações de pressão.
 Uma perna do manômetro é inclinada, formando um ângulo θ com o plano
horizontal e a leitura diferencial l2 é medida ao longo do tubo inclinado, nesta
condição a diferença de pressão pA – pB é dado por:
2.6.3– MANÔMETRO COM TUBO INCLINADO
 pA + γ1.h1 - γ2 .l2.senθ - γ3.h3 = pB
 pA –pB = γ2 .l2.senθ + γ3.h3 - γ1.h1
 Note que a distância vertical entre os pontos (1) e (2) é l2senθ. Assim, para o ângulo
relativamente pequeno, a leitura diferencial ao longo do tubo inclinado pode ser
feita mesmo que a diferença de pressão seja pequena.
 O manômetro de tubo inclinado é sempre utilizado para medir pequenas diferenças
de pressão em um sistema que contém gás.
 Neste caso;
 pA – pB = γ2 .l2.senθ
 ou
2.6.3– MANÔMETRO COM TUBO INCLINADO
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 Porque as contribuições das colunas de gases podem ser desprezadas.
 A Equação acima mostra que para uma dada diferença de pressão, a leitura
diferencial l2 do manômetro de tubo inclinado é 1/semθ vezes maior que àquela do
manômetro com tubo em U.
 EXERCÍCIO 2.32 – 76
 O Manômetro inclinado da Figura abaixo indica que a pressão no ponto A é de 0,6
psi. O fluido que escoa nos tubos A e B é igual e o fluido manométrico apresenta
densidade 2,6. Qual é a pressão no tubo B que corresponde a condição mostrada
na Figura a seguir. Sendo 1 psi = 7x103 Pa e γH20 = 9980 N/m3.
2.6.3– MANÔMETRO COM TUBO INCLINADO
 SOLUÇÃO:
 pA = 0,6 psi = 0,6 x 7x 103 = Pa = 4200 Pa
 pA + 0,076 x γH2O – 0,203 x sen 30º x SG x γH2O - 0,076 x γH2O = pB
 pB = 4200 + 0,O76 x 9980 – 0,203 x sem 30º x 2,6 x 9980 – 0,076 x 9980 =
 pB = 1 566,28 Pa
2.6.3– MANÔMETRO COM TUBO INCLINADO
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DESVANTAGENS DA UTILIZAÇÃO DE MANÔMETROS COM COLUNA DE LÍQUIDO
 Inadequado para medir pressões muito altas ou que variam rapidamente com o
tempo;
 Envolve a medição do comprimento de uma ou mais colunas de líquidos;
 Consome um tempo significativo;
 Os dispositivos mecânicos e elétricos de medição da pressão é baseado no princípio
de que todas as estruturas elásticas deformam quando submetidas a uma pressão
diferencial e que esta deformação pode ser relacionada com o valor da pressão
imposta no elemento.
2.7 – DISPOSITIVOS MECÂNICOS E ELÉTRICOS PARA A
MEDIÇÃO DA PRESSÃO
 O dispositivo mais comum deste tipo é o MANÔMETRO DE BOURDON.
(a) Manômetro de Bourdon para várias faixas de pressão.
(b) Correspondentes do manômetro de Bourdon – Esquerda: Tubo de Bourdon com
formato “C” – Direita: Tubo de Bourdon “mola de torção” utilizado para medir
pressões altas.
2.7 – DISPOSITIVOS MECÂNICOS E ELÉTRICOS PARA A
MEDIÇÃO DA PRESSÃO
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 MANÔMETRO DE BOURDON.
2.7 – DISPOSITIVOS MECÂNICOS E ELÉTRICOS PARA A
MEDIÇÃO DA PRESSÃO
 Constituído por:
 Elemento essencial é o tubo elástico curvado, conhecido por tubo de Bourdon que
está conectado à fonte de pressão.
 Mecanismo de Funcionamento:
 O tubo curvado tende a ficar reto quando a pressão no tubo (interna) aumenta, a
deformação apesar de pequena, pode ser transformada num movimente de um
ponteiro localizado num mostrador.
 A pressão indicada no manômetro de Bourdon é relativa, pois o movimento do
ponteiro está relacionada com a diferença entre pressão interna do tubo e a do
meio externo (pressão atmosférica).
2.7 – DISPOSITIVOS MECÂNICOS E ELÉTRICOS PARA A
MEDIÇÃO DA PRESSÃO
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 Deveser calibrado em psi ou em Pascal.
 A leitura nula indica que a pressão medida é igual a pressão atmosférica.
 Mede pressões negativas (vácuo) e positiva.
BARÔMETRO ANAERÓIDE
 Utilizado para medir pressões atmosférica.
 Como a pressão atmosférica é especificada como uma pressão absoluta, o medidor
de Bourdon não é indicado para este tipo de medição
2.7 – DISPOSITIVOS MECÂNICOS E ELÉTRICOS PARA A
MEDIÇÃO DA PRESSÃO
 Constituição e Funcionamento
 Um elemento elástico localizado num recipiente evacuado de modo que a pressão
interna no elemento é praticamente nula.
 Quando a pressão atmosférica muda, o elemento deflete e altera a posição de
elemento indicador (por exemplo, um ponteiro).
 O indicador pode ser calibrado para fornecer a pressão atmosférica diretamente em
milímetros de mercúrio.
2.7 – DISPOSITIVOS MECÂNICOS E ELÉTRICOS PARA A
MEDIÇÃO DA PRESSÃO
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DISPOSITIVOS QUE CONVERTE O SINAL DE PRESSÃO NUMA SAÍDA ELÉTRICA
 Monitoramento Contínuo da Pressão num Processo Químico
 Indicado para medir a pressão com um dispositivo que converta o sinal de pressão
numa saída elétrica.
 Este tipo de dispositivo é denominado TRANSDUTOR DE PRESSÃO.
 Um tipo destes dispositivos é o Tubo de Bourdon conectado a um transformador
linear diferencial variável. O núcleo do transformador é conectado a extremidade
livre do tubo de Bourdon.
 Assim a deformação neste tubo, provocada pela pressão move a bobina e então
obtém-se uma tensão entre os terminais de saída do transformador.
2.7 – DISPOSITIVOS MECÂNICOS E ELÉTRICOS PARA A
MEDIÇÃO DA PRESSÃO
2.7 – DISPOSITIVOS MECÂNICOS E ELÉTRICOS PARA A
MEDIÇÃO DA PRESSÃO
Transdutor de
pressão que combina
um transformador
linear diferencial
variável com um tubo
de Bourdon
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 A relação entre a tensão de saída e a pressão é linear e os valores da tensão podem
ser armazenados num oscilógrafo ou digitalizado para armazenamento e
processamento em um computador.
 DESVANTAGENS:
 Desvantagem do transdutor de pressão que utiliza o tubo de Bourdon como sensor
elástico é que a sua utilização está limitada as aplicações onde a pressão é estável
ou que não apresente variações bruscas ao longo do tempo, devido ao fato de que a
inércia é relativamente grande no tubo de Bourdon.
2.7 – DISPOSITIVOS MECÂNICOS E ELÉTRICOS PARA A
MEDIÇÃO DA PRESSÃO
TRANSDUTOR DE PRESSÃO QUE UTILIZA UM DIAFRAGMA FINO E ELÁSTICO COMO
ELEMENTO SENSOR
 Funcionamento:
 Quando a pressão varia, o diafragma deflete e esta deflexão é convertida num sinal
elétrico.
 Um modo de realizar esta conversão é instalar um extensômetro na superfície do
diafragma que não está em contato com o fluido ou elemento solidário ao
diafragma.
 Os tradutores muito sensíveis são utilizados para medir com boa precisão, pressões
pequenas ou grandes , e tanto pressões estáticas quanto variáveis.
2.7 – DISPOSITIVOS MECÂNICOS E ELÉTRICOS PARA A
MEDIÇÃO DA PRESSÃO
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(a) Dois tipos de transdutores de pressão com extensômetro (Spectramed P10EZ E
P23XL) utilizado para medir pressões fisiológicas. Os domos de plástico são
preenchidos com um fluido conectados a o vasos sanguíneos através de uma
agulha ou catéter.
2.7 – DISPOSITIVOS MECÂNICOS E ELÉTRICOS PARA A
MEDIÇÃO DA PRESSÃO
(b) Diafragma do transdutor P23XL com domo removido. A deflexão do diafragma,
provocada pelo diferencial de pressão, é medida com um extensômetro conectado
ao eixo de silício.
2.7 – DISPOSITIVOS MECÂNICOS E ELÉTRICOS PARA A
MEDIÇÃO DA PRESSÃO
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 EXEMPLO: utilizado para medir pressões sanguíneas arteriais, que são pequenas e
variam periodicamente com uma frequência próxima a 1 HZ), o transdutor é
normalmente conectado a artéria por meio de um tubo de diâmetro pequeno
(cateter) e que está preenchido com um líquido fisiológico.
 Os transdutores com extensômetros podem ser projetados para apresentarem boa
resposta em frequência de até 10 kHZ, mas o seu comportamento deteriora nas
frequências mais altas porque o diafragma precisa ser mais rígidos para alcançar
uma resposta em frequência mais alta.
 Uma alternativa para medir pressão em frequências mais altas é utilizar um cristal
piezoelétrico como elemento elástico e sensor, porque quando aplicamos uma
pressão num cristal piezoelétrico, este deforma-se e como resultado, uma tensão
elétrica, diretamente relacionada com a pressão aplicada é desenvolvida.
2.7 – DISPOSITIVOS MECÂNICOS E ELÉTRICOS PARA A
MEDIÇÃO DA PRESSÃO
 Pode ser utilizado para medir tanto pressões muito altas (até 6900 bar) quanto
baixa e também nos casos onde as taxas de variação da pressão é alta.
1 bar = 105 Pa
2.7 – DISPOSITIVOS MECÂNICOS E ELÉTRICOS PARA A
MEDIÇÃO DA PRESSÃO
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EXERCÍCIOS DO CAPITULO 02 – 1ª PARTE
 EXERCÍCIO 2.29 – pag. 76 - O pistão mostrado na Figura abaixo apresenta peso
desprezível e área de seção transversal igual a 0,28 m2. O pistão está em contato
com óleo (SG=0,90) e o cilindro esta conectado a um tanque pressurizado, que
armazena ar, óleo e água. Observe que a Força P atua sobre o pistão para que haja
equilíbrio. (a) Calcule o valor de P. (b) determine a pressão no fundo do tanque em
metro de coluna d’água. Sendo ρH2O = 1000 kg/m3 e γ H2O = 9810 N/m3.
EXERCÍCIOS DO CAPITULO 02 – 1ª PARTE
 EXERCÍCIO 2.5 – pag. 73 – Os manômetro do tipo Bourdon são muito utilizados nas
medições de pressão. O manômetro conectado ao tanque mostrado na Figura
abaixo indica que a pressão é igual a 34,5 kPa. Determine a pressão absoluta no ar
contido no tanque sabendo que a pressão atmosférica local é igual a 101,3 kPa.
Sendo γH2O = 9980 N/m3.
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EXERCÍCIOS DO CAPITULO 02 – 1ª PARTE
 EXERCÍCIO 2.26 – pág. 75 – Considerando o arranjo mostrado na Figura abaixo.
Sabendo que a diferença entre as pressões em B e A é igual a 20 kPa, determine o
peso específico do fluido manométrico. Sendo γ H2O = 9980 N/m3 , ρH2O = 998 N/m3e g = 10 m/s2.
EXERCÍCIOS DO CAPITULO 02 – 1ª PARTE
 EXERCÍCIO 2.45 – pag. 79– Determine a nova leitura diferencial no manômetro de
mercúrio mostrado na figura abaixo se a pressão no tubo A for diminuída de 10 kPa
e a pressão no tubo B permanecer constante. O fluido contido no tubo A apresenta
densidade igual a 0,9 e o contido no tubo B é água. Sendo γ H2O = 9980 N/m3 .
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EXERCÍCIOS DO CAPITULO 02 – 1ª PARTE
 Quando pA diminui a coluna da esquerda move uma distância, a, para cima, e a
coluna da direita move a mesma distância, a, para baixo, como mostra a figura
abaiixo.
EXERCÍCIOS DO CAPITULO 02 – 1ª PARTE
 EXERCÍCIO 2.43 – pag. 78 - Determine a relação entre as áreas A1/A2 das pernas
do manômetros mostrado na Figura abaixo se uma mudança na pressão no tubo B
de 3,5 kPa provoca uma alteração de 25,4 mm no nível do mercúrio na perna direita
do manômetro. A pressão no tubo A é constante.1111
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EXERCÍCIOS DO CAPITULO 02 – 1ª PARTE