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Gabarito da Primeira Prova de Ca´lculo I - 2014 - Turmas A e B noturno Unifesp- 1o semestre - 24/05/2014 [01] Se f(x) = x2 − 2x + 3, calcule f(a+h)−f(a)h Resposta: 2a + h− 2. [02] Quando uma pessoa tosse, o raio da traque´ia diminui, afetando a velocidade do ar. Se r0 = 1 e´ o raio normal da traque´ia, a relac¸a˜o entre a velocidade v do ar e o raio r da traque´ia e´ dada por uma func¸a˜o da forma: v(r) = 2r2(r0−r). O raio para o qual a velocidade do ar e´ ma´xima e´: Resposta: 23 [03] Encontre o limite, se ele existir, de lim x→5 5− x |5− x| Resposta: O limite na˜o existe. [04] Encontre o limite abaixo: lim x→−∞ √ x2 − 9 2x− 6 Resposta: − 12 [05] Considere func¸a˜o f(x) = 43−x . A equac¸a˜o da reta ass´ıntota vertical e´: Resposta: x = 3 [06] Calcule y′ se y e´ dada implicitamente por: xy4 + x2y = x + 3y. Resposta: y′ = 1−y 4−2xy 4xy3+x2−3 [07] Se f(t) = √ 4t + 1 podemos dizer que f ′′(2) e´ Resposta: − 427 [08] Ache a derivada da func¸a˜o G(u) = ln (√ 5u + 6 5u− 6 ) Resposta: G′(u) = − 3025u2−36 [09] Encontre o valor ma´ximo absoluto de y = √ 36− x2 no intervalo de [−6, 6]. Resposta: 6 [10] Quantos pontos de inflexa˜o tem o gra´fico da func¸a˜o f(x) = 12x3 + 14x2 − 7x− 9 Resposta: 1 Questa˜o 11 Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo (a) (1,0 ponto) f(x) = ln(x + √ x2 + 1) (b) (1,0 ponto) y = ln(senx)− 1 2 sen2x Soluc¸a˜o: (a) f ′(x) = 1 x + √ x2 + 1 ( 1 + 1 2 (x2 + 1)− 1 2 2x ) = 1 + x(x2 + 1)− 1 2 x + √ x2 + 1 (b) y′(x) = cosx senx − 1 2 .2senx.cosx = cotgx− sen(2x) 2 Questa˜o 12 (3,0 pontos) Para a func¸a˜o f(x) = x4 + 2x + 1: (a) Determine ass´ıntotas verticais e horizontais, se existirem. (b) Determine a primeira derivada, os intervalos em que f(x) e´ crescente ou decrescente, e os ma´ximos e mı´nimos locais. (c) Determine a segunda derivada, os pontos de inflexa˜o e os intervalos em que f(x) tem concavidade para cima ou para baixo. (d) Fac¸a o esboc¸o do gra´fico de f(x). Soluc¸a˜o: (a) Na˜o existem ass´ıntotas horizontais porque a func¸a˜o dada e´ um polinoˆmio. Na˜o existem ass´ıntotas verticais porque a func¸a˜o e´ definida para qualquer valor real de x. 1 (b) A primeira derivada e´ dada por f ′(x) = 4x3 + 2 onde os pontos cr´ıticos sa˜o tais que 4x3 + 2 = 0⇒ x = 3 √ −1 2 . Pela ana´lise do sinal da derivada podemos dizer que: No intervalo x < 3 √ − 12 , f ′(x) < 0, logo f(x) e´ decrescente neste intervalo. No intervalo x > 3 √ − 12 , f ′(x) > 0, logo f(x) e´ crescente neste intervalo. Como o sinal da derivada muda de negativo para positivo em x = 3 √ − 12 , nesta abcissa temos um mı´nimo local. (c) A segunda derivada e´ dada por f ′′(x) = 12x2 e o ponto onde a segunda derivada e´ nula nos da´ o ponto de inflexa˜o, no caso x = 0. A ana´lise da concavidade vem do sinal desta segunda derivada: No intervalo x < 0, f ′′(x) > 0, logo f(x) tem concavidade para cima neste intervalo. No intervalo x > 0, f ′′(x) > 0, logo f(x) tem concavidade para cima neste intervalo. (d) O esboc¸o do gra´fico e´ dado abaixo 2
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