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Gabarito da Primeira Prova de Ca´lculo I - 2014 - Turmas A e B noturno
Unifesp- 1o semestre - 24/05/2014
[01] Se f(x) = x2 − 2x + 3, calcule f(a+h)−f(a)h
Resposta: 2a + h− 2.
[02] Quando uma pessoa tosse, o raio da traque´ia diminui,
afetando a velocidade do ar. Se r0 = 1 e´ o raio normal da
traque´ia, a relac¸a˜o entre a velocidade v do ar e o raio r da
traque´ia e´ dada por uma func¸a˜o da forma: v(r) = 2r2(r0−r).
O raio para o qual a velocidade do ar e´ ma´xima e´:
Resposta: 23
[03] Encontre o limite, se ele existir, de
lim
x→5
5− x
|5− x|
Resposta: O limite na˜o existe.
[04] Encontre o limite abaixo:
lim
x→−∞
√
x2 − 9
2x− 6
Resposta: − 12
[05] Considere func¸a˜o f(x) = 43−x . A equac¸a˜o da reta
ass´ıntota vertical e´:
Resposta: x = 3
[06] Calcule y′ se y e´ dada implicitamente por:
xy4 + x2y = x + 3y.
Resposta: y′ = 1−y
4−2xy
4xy3+x2−3
[07] Se f(t) =
√
4t + 1 podemos dizer que f ′′(2) e´
Resposta: − 427
[08] Ache a derivada da func¸a˜o
G(u) = ln
(√
5u + 6
5u− 6
)
Resposta: G′(u) = − 3025u2−36
[09] Encontre o valor ma´ximo absoluto de y =
√
36− x2 no
intervalo de [−6, 6].
Resposta: 6
[10] Quantos pontos de inflexa˜o tem o gra´fico da func¸a˜o
f(x) = 12x3 + 14x2 − 7x− 9
Resposta: 1
Questa˜o 11 Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo
(a) (1,0 ponto) f(x) = ln(x +
√
x2 + 1)
(b) (1,0 ponto) y = ln(senx)− 1
2
sen2x
Soluc¸a˜o:
(a) f ′(x) =
1
x +
√
x2 + 1
(
1 +
1
2
(x2 + 1)−
1
2 2x
)
=
1 + x(x2 + 1)−
1
2
x +
√
x2 + 1
(b) y′(x) =
cosx
senx
− 1
2
.2senx.cosx = cotgx− sen(2x)
2
Questa˜o 12 (3,0 pontos) Para a func¸a˜o f(x) = x4 + 2x + 1:
(a) Determine ass´ıntotas verticais e horizontais, se existirem.
(b) Determine a primeira derivada, os intervalos em que f(x) e´ crescente ou decrescente, e os ma´ximos e mı´nimos
locais.
(c) Determine a segunda derivada, os pontos de inflexa˜o e os intervalos em que f(x) tem concavidade para cima ou
para baixo.
(d) Fac¸a o esboc¸o do gra´fico de f(x).
Soluc¸a˜o:
(a) Na˜o existem ass´ıntotas horizontais porque a func¸a˜o dada e´ um polinoˆmio. Na˜o existem ass´ıntotas verticais porque
a func¸a˜o e´ definida para qualquer valor real de x.
1
(b) A primeira derivada e´ dada por
f ′(x) = 4x3 + 2
onde os pontos cr´ıticos sa˜o tais que
4x3 + 2 = 0⇒ x = 3
√
−1
2
.
Pela ana´lise do sinal da derivada podemos dizer que:
No intervalo x < 3
√
− 12 , f ′(x) < 0, logo f(x) e´ decrescente neste intervalo.
No intervalo x > 3
√
− 12 , f ′(x) > 0, logo f(x) e´ crescente neste intervalo.
Como o sinal da derivada muda de negativo para positivo em x = 3
√
− 12 , nesta abcissa temos um mı´nimo local.
(c) A segunda derivada e´ dada por
f ′′(x) = 12x2
e o ponto onde a segunda derivada e´ nula nos da´ o ponto de inflexa˜o, no caso x = 0.
A ana´lise da concavidade vem do sinal desta segunda derivada: No intervalo x < 0, f ′′(x) > 0, logo f(x) tem
concavidade para cima neste intervalo.
No intervalo x > 0, f ′′(x) > 0, logo f(x) tem concavidade para cima neste intervalo.
(d) O esboc¸o do gra´fico e´ dado abaixo
2

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