gabarito_p2_noturno

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Gabarito da Segunda Prova de Ca´lculo I - 2014 - noturno
Unifesp- 1o semestre
[01] Calcule
∫√2
0
3x
√
2− x2 dx
Resposta:: 2
√
2
[02] Calcule a integral indefinida
∫
sen4(x)cos(x) dx
Resposta: 15sen
5(x) + C
[03] Calcule
∫
xe3x dx
Resposta: 13xe
3x − 19e3x + C
[04] Qual e´ a a´rea entre as curvas y = cos(x) e y = cos2(x)
entre 0 e pi2 ?
Resposta: Nenhuma das respostas. (1− pi4 )
[05] Calcule
∫
ln2x dx
Resposta: xln2x− 2xlnx+ 2x+ C
Questa˜o 6 Resolva as integrais abaixo:
(a) (2,0 pontos)
∫
exsen(x)dx
Soluc¸a˜o:
u = sen(x), dv = exdx
v = ex, du = cos(x)dx∫
exsen(x) dx = exsen(x)−
∫
excos(x)dx.
Novamente usando integrac¸a˜o por partes na u´ltima integral do lado direito:
u = cos(x), dv = exdx
v = ex, du = −sen(x)dx∫
exsen(x) dx = exsen(x)−
(
excos(x)−
∫
ex(−sen(x))dx
)
= ex(sen(x)− cos(x))−
∫
exsen(x)dx︸ ︷︷ ︸
←↩
+C ∴
2
∫
exsen(x) dx = ex(sen(x)− cos(x)) + C ⇒
∫
exsen(x) dx =
1
2
ex(sen(x)− cos(x)) + C
(b) (1,0 ponto)
∫
esen(x)cos(x)dx
Soluc¸a˜o:
u = sen(x)
du
dx
= cos(x)⇒ du = cos(x)dx∫
esen(x)cos(x)dx =
∫
eudu = esen(x) + C
(c) (2,0 pontos)
∫ √
16− x2dx
Soluc¸a˜o: ∫ √
16− x2dx = 4
∫ √
1−
(x
4
)2
dx
Fazendo a substituic¸a˜o trigonome´trica sen(θ) = x4 ⇒ dx = 4 cos(θ)dθ temos
4
∫ √
1−
(x
4
)2
dx = 4
∫ √
1− sen2(θ)4 cos(θ)dθ
= 16
∫
cos2(θ)dθ = 16
∫
1 + cos(2θ)
2
dθ = 8θ + 8
∫
cos(2θ)dθ
= 8θ + 4sen(2θ) = 8θ + 8sen(θ)cos(θ)
1
Utilizando a identidade trigonome´trica fundamental,
cos(θ) =
√
1− sen2(θ) =
√
1− (x4 )2,
considerando que cos(θ) >= 0. Logo,∫ √
16− x2dx = 8arcsen
(x
4
)
+ 2x
√
1−
(x
4
)2
+ C
2