lista_calculo1_01_2014

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Ca´lculo I
Unifesp - 1o semestre de 2013
Lista de Exerc´ıcios 1
1. Considere os gra´ficos das func¸o˜es abaixo:
(a) Quais sa˜o os valores de f(−4) e g(7)?
(b) Para quais valores de x temos f(x) = g(x)?
(c) Quais sa˜o o domı´nio e a imagem de f(x)?
(d) Quais sa˜o o domı´nio e a imagem de g(x)?
(e) Estas func¸o˜es sa˜o pares, ı´mpares ou sem paridade definida?
(f) Em que intervalos f(x) e´ crescente?
(g) Quais sa˜o as soluc¸o˜es da equac¸a˜o f(x) = −1?
2. Dada a func¸a˜o real f(x) = 4 + x2, determine:
(a) O esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o.
(b) Os conjuntos domı´nio e imagem.
(c) A paridade da func¸a˜o (par/´ımpar/sem paridade).
(d) O intervalo de x no qual a func¸a˜o e´ crescente.
3. Sejam as func¸o˜es reais f(x) =
√
1 + x e g(x) =
√
1− x.
(a) Determine a raiz (x1) de cada func¸a˜o.
(b) Determine o domı´nio e a imagem de cada func¸a˜o.
(c) Esboce o gra´fico das duas func¸o˜es em um mesmo diagrama.
(d) Calcule a funcao (f + g)(x), e determine o seu dominio
(lembrete: D = Df ∩Dg).
(e) A partir dos gra´ficos de f(x) e g(x), esboce o gra´fico de (f + g)(x) utilizando
o me´todo da adic¸a˜o gra´fica.
4. Se f(x) =
x2 − 4
x− 1 determine:
(a) f(0)
(b) f(1/t)
(c) f(x− 2)
5. Se f(x) =
3x− 1
x− 7 determine
(a)
f(h)− f(0)
h
(b) f(f(5))
6. Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es:
(a) y =
√
3 + x + 4
√
7− x
(b) y =
√
x
x + 1
7. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f(x) e determine seu domı´nio e imagem.
f(x) =

(x + 1)2, se x ≤ −1
x + 1, se −1 < x < 1
4− x2, se x ≥ 1
8. Para as func¸o˜es f(x) =
√
3− x e g(x) =
√
x2 − 1 determine a definic¸a˜o alge´brica e
o domı´nio das func¸o˜es abaixo:
(a) (g ◦ f)(x)
(b) (f + g)(x)
(c) (fg)(x)
9. Existem func¸o˜es na Matema´tica Aplicada chamadas de hiperbo´licas. Sa˜o definidas
como
senh(x) =
ex − e−x
2
, cosh(x) =
ex + e−x
2
(a) Prove que cosh2(x)− senh2(x) = 1.
(b) Prove que o senh(x) e´ uma func¸a˜o ı´mpar e cosh(x) e´ uma func¸a˜o par.
10. Dada Φ(u) = ln
(
1− u
1 + u
)
, verifique que Φ(a) + Φ(b) = Φ
(
a + b
1 + ab
)
11. Considere uma populac¸a˜o cujo crescimento em func¸a˜o do tempo pode ser explicado
pelo modelo de Malthus atrave´s da seguinte a expressa˜o:
N(t) = 300 e0,2t
onde N representa o nu´mero de indiv´ıduos e t representa o tempo em anos.
(a) Determine a func¸a˜o inversa, isto e´, determine t em func¸a˜o de N.
(b) Determine em quantos anos a populac¸a˜o atingira´ 1000 indiv´ıduos.
12. Encontre uma fo´rmula para a func¸a˜o inversa. Caso na˜o seja poss´ıvel, justifique.
(a) f(x) =
1 + 3x
5− 2x
(b) f(x) =
√
2 + 5x
(c) f(x) = x3 − x
(d) y = ln(x + 3)
(e) g(x) = 3 + x + ex, ache g−1(4)
Respostas:
1. (a) 6 e −2
(b) −6, −1 e 4
(c) Df = [−7, 8), Imf = [−5, 6]
(d) Dg = [−8, 8], Img = [−4, 4]
(e) f(x) sem paridade, g(x) e´
ı´mpar.
(f) [−7,−4] e [−1, 8)
(g) −1 e −6
2. (b) Df = R, Imf = [4,∞) (c) func¸a˜o par (d) [0,∞)
3. (a) f(x1) = −1, g(x1) = 1
(b) Df = [−1,∞), Dg = (−∞, 1], Imf = Img = [0,∞)
(d) (f + g)(x) =
√
1 + x +
√
1− x, Df+g = [−1, 1]
4. (a) 4 (b)
1− 4t2
t− t2 (c)
x2 − 4x
x− 3
5. (a)
20
7(h− 7) (b)
11
7
6. (a) [−3, 7] (b) [0,+∞)∪ (−∞,−1)
7. Df = R, Imf = R
8. (a)
√
2− x, D = (−∞, 2] (b) √3− x +
√
x2 − 1,
D = (−∞,−1] ∪ [1, 3]
(c)
√
(3− x)(x2 − 1),
D = (−∞,−1] ∪ [1, 3]
11. (a) t =
lnN − ln 300
0, 2
(b) ∼ 6 anos
12. (a) f−1(x) =
5x− 1
2x + 3
(b) f−1(x) =
x2 − 2
5
, x ≥ 0
(c) na˜o
(d) y = ex − 3
(e) 0