Coordenadas Geográficas e Astronômicas

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1 - Coordenadas de um Ponto 
1.1 – Introdução 
 A observação de corpos celestes com um 
teodolito e um cronômetro (medidas angulares e 
de tempo) possibilita a determinação da posição 
geográfica, ou seja, das coordenadas de um ponto 
da superfície terrestre: Latitude e Longitude. 
Além de tais coordenadas, ditas geográficas, 
astronômicas ou naturais, também podem ser 
determinadas direções que ligam a estação onde 
se processam as observações a outras estações 
terrestres. 
Quando tais determinações se caracterizam por 
uma precisão de aproximadamente um décimo de 
segundo de arco (0,1" ), classificam-se como de 
primeira ordem e são objeto da chamada 
Astronomia Geodésica. Quando a precisão 
diminue para um segundo de arco (1") as 
determinações são ditas de segunda ordem e 
constituem o objeto da tradicionalmente chamada 
Astronomia de Campo. Convém salientar que a 
Astronomia de Campo, também chamada de 
Astronomia de Posição ou de Astronomia Esférica 
é de fundamental importância… 
para o engenheiro, mesmo que ele não se dedique a 
utilizar as técnicas astronômicas para a 
determinação da posição geográfica. 
1.2 – Forma da Terra: Modelos 
 Em uma primeira aproximação as 
irregularidades da superfície terrestre podem ser 
negligenciadas, reduzindo-se o problema da 
determinação da forma da Terra à determinação 
das dimensões de um modelo que substitue a Terra 
verdadeira. Em alguns casos pode-se adotar o 
modelo esférico; noutros, quando os requisitos de 
precisão são mais rigorosos, usamos o modelo 
elipsoidal. 
 Para os dois modelos admite-se uma Terra 
fictícia com homogênea distribuição de massas, o 
que não ocorre com a Terra real. 
1.3 – Coordenadas de um Ponto Sobre o Modelo 
 Esférico. 
 1.3.1 – Hipóteses Simplificativas 
 A adoção de um modelo já implica no 
sacrifício da precisão. Isto justifica a adoção de 
outras hipóteses simplificativas. 
Assim, o modelo esférico, como a Terra real, gira 
de oeste para leste completando uma rotação em 24 
horas siderais; 
mas admitiremos que sua velocidade angular seja 
constante e que o eixo seja fixo no corpo do 
modelo. 
hemisférios. Uma circunferência menor cujo 
plano é normal ao eixo denomina-se paralelo e as 
semicircunferências máximas que vão de polo a 
polo recebem o nome de meridianos. 
1.3.2 – Definições 
 Os extremos do eixo de 
rotação são os polos terrestres.
 A circunferência máxima 
cujo plano é normal ao eixo é o 
equador, o qual define dois 
1.3.3 – Coordenadas Esféricas 
 Por um ponto S do modelo esférico passam 
apenas um paralelo e um meridiano; determinadas 
estas duas linhas, a sua interseção define a posição 
do ponto S. Um paralelo será individualizado pela 
sua latitude, e um meridiano por sua longitude. 
 Logo, a latitude e a longitude (aqui chamadas 
esféricas) são as coordenadas do ponto S. 
 LATITUDE (') de um ponto S sobre o modelo 
esférico é o ângulo que o raio que passa por S forma com 
sua projeção equatorial; é medida a partir do equador, em 
graus e submúltiplos, positivamente no hemisfério norte. 
 O número que exprime a latitude deve ser precedido 
do sinal (+) ou (-) ou seguido das letra (N) ou (S). 
 LONGITUDE (') de um ponto S sobre o modelo 
esférico é o ângulo que mede o diedro formado pelo plano 
do meridiano origem (Greenwich) e pelo plano do 
meridiano do ponto; é medida sobre o equador, a partir do 
meridiano de origem, positivamente por leste. 
 O número que exprime a longitude deve ser 
precedido do sinal (+) ou (-) ou seguido da letra 
(E) ou (W). 
A longitude varia desde 0º até 180º a leste de 
Greenwich e de 0º até -180º a oeste de Greenwich. 
Exemplos: 
 ' = -5º03'14,56" ou ' = 5º03'14,56" S 
 ' = -42º47'34,28" ou ' = 42º47'34,28" W 
1.4 – Ortodrômica 
Ortodômica é a linha mais curta ligando dois 
pontos da superfície da Terra. 
No modelo esférico a ortodômica é o menor arco 
de circunferência máxima ligando os dois pontos. 
No modelo elipsoidal a ortodrômica é uma linha 
não coplanar. 
1.5 – Azimute Esférico 
 Chama-se de azimute da direção SS' ao 
ângulo A medido a partir do meridiano de S (lado 
sul), por oeste, até o arco de ortodrômica SS'. Na 
figura, A' é o azimute da direção S'S ou contra-
azimute de SS'. 
1.6 – Coordenadas de um Ponto Sobre a Superfície 
Terrestre. 
 1.6.1- Potencial e Vertical 
 Para definirmos as coordenadas de um ponto 
da superfície da Terra precisamos recorrer ao 
conceito de vertical e, para conceituarmos vertical 
convém recordar algo sobre o campo da gravidade. 
 Todos os corpos vinculados ao nosso planeta 
acham-se sujeitos à chamada força da gravidade, 
que é a resultante da força de atração exercida 
pelas massas terrestres (força gravitacional) e da 
força centrífuga decorrente do movimento de 
rotação da Terra. 
• O campo gravitacional é um campo conservativo 
isto é, dotado de potencial. 
• O lugar geométrico dos pontos de mesmo 
potencial é uma superfície fechada denominada 
equipotencial. 
• No caso de um modelo esférico não rotante, as 
superfícies equipotenciais seriam superfícies 
esféricas concêntricas ao modelo. O movimento de 
rotação “perturba” essas superfícies esféricas, 
fazendo com que elas deixem de ser concêntricas. 
• O mesmo ocorre com o modelo elipsoidal, cujas 
superfícies equipotenciais são superfícies 
elipsóidicas “não paralelas entre si”. 
• No caso da Terra real temos que considerar ainda 
a heterogeneidade do material que a compõe. 
• As superfícies equipotenciais, neste caso 
denominadas geopes, são suavemente irregulares e 
perpendiculares em todos os seus pontos às linhas 
de força. 
• Tais linhas de força do campo da gravidade são 
genericamente denominadas verticais e é fácil 
compreender que não são coplanares. 
• A vertical em um ponto S é a tangente à linha de 
força neste ponto. Representa a direção do vetor 
gravidade e pode ser materializada através de um 
fio de prumo ou do eixo principal de um teodolito. 
• Verticais são as linhas de 
força da gravidade. 
• Geopes são as superfícies 
equipotenciais. 
• Vertical em um ponto é a 
tangente à linha de força 
neste ponto. 
1.6.1 - Coordenadas Astronômicas ou Naturais 
 • Latitude astronômica ou natural () de um 
ponto da superfície terrestre é o ângulo que a 
vertical nesse ponto forma com a sua projeção 
equatorial (equador instatâneo). 
Aqui são importantes algumas observações: 
• Em virtude do chamado movimento do polo a 
posição do eixo de rotação varia com o tempo, 
podendo-se falar em eixo instantâneo (eixo no 
momento da observação) e, consequentemente, em 
equador instantâneo. 
• Devido à irregular distribuição das massas 
terrestres a vertical em cada ponto equatorial não 
pertence necessariamente ao plano equatorial; isso 
significa que o equador da Terra real não é o lugar 
geométrico dos pontos de latitude nula, nem um 
paralelo é o lugar geométrico dos pontos de latitude 
constante. 
• Também para conceituar longitudenatural 
necessitamos de algumas precauções adicionais. O 
diedro definidor da longitude esférica admitia 
como aresta o eixo de rotação, o que não sucede 
com a Terra real. A vertical de um ponto – conceito 
físico e não geométrico – é sensível às variações 
de densidade e ao posicionamento das massas mais 
próximas; resulta que a vertical e o eixo de rotação 
não são necessariamente coplanares. Em tais 
condições o meridiano natural ou astronômico de 
um ponto é determinado pelas retas: a vertical do 
ponto e uma paralela ao eixo instantâneo de 
rotação passando pelo ponto. 
 Longitude astronômica ou natural () é o 
ângulo que mede o diedro formado pelo 
meridiano astronômico instantâneo e pelo 
meridiano astronômico origem (greenwich), 
contada a partir deste, positivamente por leste. 
 Variação das coordenadas naturais: 
 A latitude varia de 0º a 90º no hemisfério 
norte e de 0º a -90º no hemisfério sul. 
 A longitude varia de 0º a 180º a leste de 
Greenwich e de 0º a -180º a oeste de Greenwich. 
 Estas coordenadas, também chamadas de 
coordenadas geográficas, podem ser obtidas 
através de técnicas astronômicas. 
1.7 – Cálculo da Distância Entre Dois Pontos em Função de Suas 
Coordenadas. 
 (graus) pontos dois os entre distância d
Terra) da (raio km 6370 R
(km) pontos dois os entre distância D
sendo, 
180º
coscoscoscos
cos)º90()º90(
)º90(cos)º90(coscos















dRD
sensend
sensen
d
baba
ba
ba
ab
 766,1313
º180
"61.00'49º116370D
º180
"61.00'49º11
)"40'07º5cos()"48'46º15cos()"22'05º5cos()"48'46º15()"22'05º5(cos
coscoscoscos
"40'07º5)"05'48º42("45'55º47
:SOLUÇÃO
 
 Brasília Teresina
 
:cidades duas destas sgeográfica scoordenada as conhecendo e km 6370 R raio
 com esférica Terra a supondo Brasília, e Teresina entre distância aCalcular 
:EXERCÍCIO 
"48'46º15
"45'55º47
"22'05º5
"05'48º42
kmD
RdD
d
sensend
sensend baba
ab
Sb
Wb
Sa
Wa























2 – Sistemas de Coordenadas Celestes 
2.1 – Astros 
 Astro é todo corpo luminoso ou não situado 
no espaço. 
 Os astros podem ser fixos ou errantes. 
 • Astros fixos são as estrelas com exceção 
do Sol. Características dos astros fixos: 
 a) Distância angular constante. 
 b) Cintilação cromática (variação na cor) e 
 dinâmica (variação na luminosidade). 
 c) Aparecem como pontos mesmo no 
 telescópio. 
 d) Espectro luminoso próprio. 
• Astros errantes são o sol, lua, planetas, satélites, e 
cometas. Características dos astros errantes: 
a) Distância angular não fixa. 
b) Luz fixa. 
c) Não possuem espectro luminoso próprio. 
d) Aparecem como disco ao telescópio. 
3.1.1 – Magnitude e Brilho Absoluto 
 Chama-se magnitude ou grandeza aparente de 
uma estrela ao brilho com que este astro se mostra 
aos nossos olhos ou instrumentos óticos.
 Quanto à sua magnitude as estrelas podem ser 
classificadas em: 
• 1a grandeza: as 20 estrelas mais brilhantes. 
• 2a a 6a grandeza: aproximadamente 5000 vistas 
a olho nu. 
• Menor que 6a grandeza: vistas com telescópio. 
• Até 22a grandeza: vistas em fotografias celestes 
 Brilho absoluto é o brilho aparente que 
apresentaria um astro se estivesse colocado a uma 
distância de 10 parsecs, ou seja, 32.6 anos-luz.
 A chamada Lei de Pogson relaciona as 
magnitudes M e m de dois astros: 
 log n = 0,4 (M-m) sendo n a razão entre as 
intensidades do brilho aparente dos dois astros. 
Exemplo: A  crucis é a estrela mais brilhante do 
cruzeiro do sul: tem magnitude de 1,05. A sírius é 
a estrela mais brilhante do firmamento e tem 
magnitude de -1,58. Aplicando a equação teremos: 
log n = 0,4(1,05+1,58) =1,052 → n =11,27. 
Portanto a estrela sírius é cerca de 11 vezes mais 
brilhante que a  crucis . 
3.1.2 – Constelação 
 Constelações são agrupamentos de estrelas 
batizados com os mais variados nomes, desde os 
mitológicos aos de animais e coisas. 
 As constelações são designadas pelo seu 
nome latino, abreviado com três letras. 
 As estrelas são designadas pelas letras do 
alfabeto grego (as primeiras letras representam as 
estrelas mais brilhantes) seguido do nome da 
constelação no genitivo. Assim, a estrela  da 
constelação CRUX (cruzeiro do sul) será 
representada por  CRUCIS. 
2.1.3 – Sistema Solar 
 Chama-se de sistema solar ao conjunto dos 
corpos celestes sujeitos à atração gravitacional do 
sol (planetas, satélites, asteróides e cometas). 
2.2 – Esfera Celeste 
 Os problemas de Astronomia de Campo não 
envolvem a consideração da distância dos astros; 
ao engenheiro interessa apenas a direção segundo 
a qual os mesmos são vistos. Nada nos impede, 
portanto, de supô-los a igual distância da Terra, ou 
seja, projetados sobre a superfície de uma esfera 
de raio arbitrário, cujo centro coincida com o 
centro da Terra. Tal esfera é chamada de esfera 
celeste. 
 Esfera celeste (EC) é a esfera ideal de raio 
arbitrário cujo centro é o centro da Terra e sobre a 
superfície da qual supomos projetados todos os 
astros; com um movimento aparente (decorrência 
do movimento de rotação da Terra) gira de leste 
para oeste arrastando consigo todos os corpos 
celestes. 
 Pura criação da imaginação humana, temos 
dela uma impressão quase real quando, nas noites 
estreladas, assistimos ao espetáculo deslumbrante 
de uma abóbada negra, salpicada de pontos 
brilhantes, deslocar-se, como um todo, do nascente 
para o poente. 
2.2.1 – Elementos da Esfera Celeste 
• Eixo do mundo (PnPs) é o prolongamento do eixo 
de rotação da Terra até encontrar a esfera celeste. 
• Polos celestes (Pn e Ps) são os dois pontos da EC, 
diametralmente opostos, determinados pelo eixo do 
mundo; um é o polo norte (Pn) e o outro é o polo 
sul (Ps). 
• Equador celeste é a circunferência máxima (Q'Q), 
cujo plano é normal ao eixo do mundo; divide a EC 
em dois hemisférios que levam o nome de polo que 
contém. 
• Paralelos celestes são circunferências menores da 
EC (M'M), cujos planos são normais ao eixo do 
mundo (são portanto, paralelos ao equador). 
• A vertical de um observador encontra a EC em 
dois pontos diametralmente opostos denominados 
zênite (Z) e nadir (N), ficando o zênite na cabeça 
do observador. 
 • Círculo vertical é todo circulo da EC que contém 
a vertical do lugar. Há uma infinidade de círculos 
verticais em cada local, pois uma reta não individu 
aliza um plano.. 
• Vertical de um astro é o círculo vertical que 
contém o astro. 
• Horizonte celeste é o círculo máximo (HnHs) 
polar do zênite e do nadir; em outras palavras, é o 
círculo máximo da EC normal à vertical do lugar. 
O horizonte divide a EC em dois hemisférios: o 
visível (que contém o zênite) e o invisível (que 
contém o nadir). 
Observação: O plano normal à vertical do lugar e 
tangente à superfície da Terra é o horizonte 
sensível ou aparente.O horizonte anteriormente 
definido é o horizonte astronômico, racional ou 
geocêntrico. Quando reduzimos a Terra a um 
ponto, centro da esfera celeste, os dois horizontes 
se confundem. 
• Almicantarado ou círculo de igual altura (A'A) 
são círculos menores paralelos ao horizonte. 
• Meridianos celestes (PnBPs) são circunferências 
máximas cujos planos contêm o eixo do mundo. 
• Meridiano celeste do observador (PnZPsN) é 
a circunferencia máxima da EC cujo plano é 
definido pelo eixo de rotação e pela vertical do 
observador, ou simplesmente, o meridiano celeste 
que contém o zênite e o nadir do observador. 
• O eixo do mundo divide-o em duas partes: a 
que contém o zênite chama-se semi-meridiano 
superior (SMS) e a que contém o 
nadir chama-se semi-meridiano 
inferior (SMI). 
• Meridiana ou linha norte-sul é a interseção 
(HnHs) do meridiano local com o horizonte local; 
as extremidades desta linha são os pontos cardeais 
ponto norte (Hn) e ponto sul (Hs). 
• Linha leste-oeste é a interseção (EW) do equador 
com o horizonte local; as extremidades desta linha 
são os pontos cardeais: ponto leste (E) e ponto 
oeste (W). 
Vale observar que os pontos 
cardeais Hn e Hs são as 
projeções no horizonte, segundo 
o meridiano local, dos 
respectivos polos celestes Pn e Ps. 
2.3 – Sistema de Coordenadas Horizontais 
 Consideremos um terno cartesiano como 
mostrado na figura abaixo: 
1) Geocêntrico. 
2) Eixo OX3 coincidindo com 
a vertical do observador, 
sentido positivo para o zênite. 
3) Eixo OX1 coincidindo com 
a meridiana, sentido positivo 
para o ponto sul. 
4) Orientação: levógiro (retrógrado). 
 
Nessas condições os planos coordenados tem o 
seguinte significado: 
X1X2 : plano do horizonte do observador (é o 
 plano fundamental do sistema, origem das 
 ordenadas esféricas). 
X1X3 : plano do meridiano celeste do observador, 
 origem das abcissas esféricas. 
X2X3 : 1º vertical (plano vertical que forma com o 
meridiano celeste do observador um ângulo reto. 
O sistema assim definido recebe o nome de sistema 
de coordenadas celestes horizontais. Um astro E 
possue coordenadas celestes horizontais: 
 A = azimute e h = altura. 
• Azimute de um astro E é o arco A = HsB medido 
sobre o horizonte desde o pontos sul até o vertical 
do astro no sentido retrógrado (por oeste); varia de 
0º a 360º. Muitas vezes há conveniência em fazer 
o azimute variar de 0º a  180º, atribuindo-se o 
sinal positivo aos azimutes contados por oeste e o 
sinal negativo aos contados por leste. 
• Altura de um astro E é o arco h=BE medido do 
horizonte até o astro sobre o seu vertical. A altura 
pode variar de 0º (astro no horizonte) até  90º 
(astro no zênite ou no nadir); as alturas negativas 
correspondem a astros situados abaixo do 
horizonte e, portanto, invisíveis ao observador. 
 Em muitos problemas usa-se, em lugar da 
altura, a distância zenital z, que é o ângulo medido 
do zênite ao astro sobre o seu vertical; pode variar 
de 0º (no zênite) até 180º (no nadir). 
 Verifica-se que: h + z = 90º 
 • Variação no tempo e no espaço. 
 O sistema de coordenadas horizontais é 
tipicamente local, isto é, o azimute e a altura de 
um astro num mesmo instante variam de um local 
para outro, uma vez que o horizonte e o meridiano 
dependem do observador. É óbvio também que as 
coordenadas horizontais no mesmo local variam 
com o tempo devido ao movimento da EC. 
 Uma das vantagens deste sistema reside na 
facilidade com que as coordenadas podem ser 
medidas com um teodolito. 
 Com efeito, uma vez nivelado, o goniômetro 
tem o seu limbo paralelo ao horizonte e seu eixo 
principal verticalizado. 
 Se for possível orientá-lo (linha 0º - 180º do 
círculo horizontal coincidindo com a meridiana), 
basta apontar a luneta para o astro e ler no limbo 
vertical a altura (ou distância zenital) e no limbo 
horizontal o azimute. 
 As leituras mencionadas no slide anterior 
referem-se ao horizonte aparente, isto é, são 
topocêntricas. 
 Para os astros fixos o horizonte aparente se 
confunde com o horizonte astronômico, pois o 
raio da Terra é desprezível face às distâncias 
estelares. 
 Para o Sol, face à sua relativa proximidade, 
a transformação de coordenadas topocêntricas em 
geocêntricas é indispensável. 
2.3 – Sistema de Coordenadas Horárias 
Consideremos um terno cartesiano: 
1) Geocêntrico. 
2) Eixo OY3 coincidindo com o 
eixo do mundo, sentido positivo 
para o polo norte. 
3) Eixo OY1 coincidindo com a 
interseção do plano do equador 
com o plano do meridiano celeste 
do observador, sentido positivo 
para o SMS. 
4) Orientação: levógiro. 
Planos coordenados: 
Y1Y2 : plano do equador celeste (é o plano 
fundamental do sistema, origem das ordenadas 
esféricas). 
Y1Y3 : plano do meridiano celeste do observador, 
 origem das abcissas esféricas. 
Y2Y3 : círculo das 6 horas (meridiano celeste que 
forma com o meridiano celeste do observador um 
ângulo reto. 
 O sistema assim definido recebe o nome de 
sistema de coordenadas horárias. 
 Um astro E possue coordenadas horárias: 
 H = ângulo horário e  = declinação. 
• Ângulo horário de um astro E é o arco H = QB 
medido sobre o equador desde o SMS até o 
meridiano celeste do astro no sentido retrógrado 
(por oeste); varia de 0º a 360º, assumindo o valor 
nulo no SMS e 180º no SMI. Mas comumente, em 
virtude de sua vinculação com problemas horários, 
é expresso em tempo, variando então de 0h a 24h. 
Em certos problemas do movimento diurno é 
conveniente contar o ângulo horário de 0º a 180º 
(0h a 12h) adotando-se o sinal positivo a oeste. 
• Declinação de um astro E é o arco =BE 
medido do equador até o astro sobre o seu 
meridiano. Varia de 0º (equador) até  90º (polos 
celestes), sendo positivas as declinações do 
hemisfério norte. 
• Variação no tempo e no espaço. 
É fácil compreender que o ângulo horário, por ter 
origem no SMS é uma coordenada local, o que não 
ocorre com a declinação que independe do 
observador por estar ligada apenas ao equador e ao 
meridiano celeste do astro. 
Quanto a variação com o tempo, também se 
percebe imediatamente que o ângulo horário varia 
continuamente,assumindo todos os valores de 0h a 
24h durante uma rotação da EC. 
Se considerássemos apenas o movimento de 
rotação da EC a declinação de um astro fixo não 
sofreria variação com o tempo, entretanto outros 
movimentos (paralaxe anual, precessão, etc) fazem 
com que a ela sofra uma variação da ordem de 
dezenas de segundos por ano. Já a declinação dos 
astros errantes sofre uma variação bem maior, 
particularmente quando se trata do sol e da lua. 
2.4 – Eclíptica 
 O sol apresenta em relação à Terra um 
movimento aparente, descrevendo sobre a EC, no 
decurso de um ano, uma circunferência máxima 
denominada eclíptica. O plano dessa órbita 
aparente forma com o plano do equador um 
ângulo () de aproximadamente 
23º27’ que recebe o nome de 
obliquidade da eclítica. 
A obliquidade da eclíptica vem 
tabelada na seção F do Anuário 
do Observatório Nacional. 
• O diâmetro da EC perpendicular à eclíptica é o 
eixo da eclíptica (ns) e os pontos extremos são 
os polos da eclíptica. 
• A interseção do plano da eclíptica com o plano 
do equador é a linha dos equinócios ou linha 
equinocial (), cujas extremidades são os pontos 
equinociais: 
– ponto vernal ou áries () 
– ponto libra ou balança (). 
• Ponto vernal () é o ponto em que o sol cruza o 
equador, passando do hemisfério sul para o 
hemisfério norte. O sol passa pelo ponto vernal no 
dia 21/03, dando início à estação do outono no 
hemisfério sul. 
• Ponto libra () é o ponto 
em que o sol cruza o equador, 
passando do hemisfério norte 
para o hemisfério sul. O sol 
passa pelo ponto libra no dia 
23/09, dando início à estação 
da primavera no hemisfério sul. 
• Os pontos da eclíptica  e ' de declinação 
máxima ( = ) e mínima ( = - ) respectiva- 
mente são chamados de pontos solsticiais: 
solstício de inverno () e solstício de verão ('). 
O sol passa pelo solstício 
de inverno no dia 22/06, 
dando início à estação do 
inverno no hemisfério sul. 
O sol passa pelo solstício 
de verão em 22/12, dando 
início à estação do verão 
no hemisferio sul. 
2.5 – Sistema de Coordenadas Uranográficas 
 Consideremos um terno cartesiano: 
1) Geocêntrico. 
2) Eixo OZ3 coincidindo com o 
eixo do mundo, sentido positivo 
para o polo norte. 
3) Eixo OZ1 coincidindo com a 
linha equinocial, sentido positivo 
para o ponto vernal. 
4) Orientação: dextrógiro. 
Planos coordenados: 
Z1Z2 : plano do equador celeste (coincide com o 
plano fundamental do sistema do sistema de 
coordenadas horárias). 
Z1Z3 : plano do meridiano celeste que contém os 
pontos equinociais, origem das abcissas esféricas. 
Z2Z3 : plano do meridiano celeste que contém os 
pontos solsticiais. 
 O sistema assim definido recebe o nome de 
sistema de coordenadas uranográficas. 
Um astro E possue coordenadas uranográficas: 
  = ascensão reta e  = declinação. 
• Ascensão reta de um astro E é o arco  = B 
medido sobre o equador desde o ponto vernal até o 
meridiano celeste do astro no sentido dextrógiro; 
varia de 0h a 24h. 
• Variação no tempo e no espaço. 
Já vimos que a declinação independe do 
observador. Também podemos verificar que a 
ascensão reta independe do observador, tendo em 
vista que a mesma está ligada apenas ao equador e 
ao ponto vernal. Quanto à variação com o tempo, 
tudo o que foi dito para a declinação também vale 
para a ascensão reta. 
2.6 – Efemérides 
 Nos problemas práticos de Astronomia de 
Campo, quando procuramos determinar a latitude 
e a longitude de um ponto, através da observação 
de um astro, as coordenadas uranográficas desse 
astro são supostas conhecidas. 
 Em nossos cálculos precisamos conhecer a 
declinação ao décimo de segundo de arco (0,1") e 
a ascensão reta ao centésimo de segundo de tempo 
(0,01s). 
 Já vimos que as coordenadas uranogáficas de 
uma estrela sofre uma variação relativamente 
pequena, o que permite que elas sejam tabeladas 
de 10 em 10 dias. 
 Para o sol, tendo em vista uma maior 
variação, elas devem ser tabeladas diáriamente.
 Uma tabela que contenha a posição de 
astros em função do tempo recebe a 
denominação de efeméride. 
 Assim, na Seção C, do Anuário do 
Observatório Nacional são encontradas as 
efemérides do sol. 
 Para baixar estas efemérides entre na 
página www.on.br e clique na aba serviços. 
Parte da página 8C do Anuário do Observatório Nacional 
"4,53'18º23 
42,6))3(453015("6,54'16º23 
)( 
)declinação da horária (variação 42,6 
24
 "6,54'16º23"7,28'19º23
24
'
 
16/06) dia do (TU)0 a o(declinaçã "7,28'19º23' 
15/06) dia do (TU)0 a o(declinaçã "6,54'16º23 
 :obtemos 2011, - Nacional ioObservatór do Anuário Do 
3 453015 
:SOLUÇÃO 
 .15/06/2011 dia do )3 fuso do legal (hora
453015 as para Sol do declinação a Interpolar 
:EXERCÍCIO 
/"
/"
h
h
smh





















hhsmh
L
h
hh
hsmh
L
h
FH
FH
F




2.7 – Definição Astronômica da Latitude 
 Geográfica () 
=QZ (declinação do zênite) 
HnPn = 90º - PnZ 
QZ = 90º - PnZ 
HnPn = QZ 
HnPn =  
 = hp (altura do polo elevado) 
 Em Teresina ( = 5º03'10"S) por exemplo, o 
polo sul celeste apresenta-se 5º03'10" acima do 
horizonte astronômico. 
2.8 – Triângulo de Posição 
 O meridiano do observador, o vertical do 
astro e o meridiano do astro interceptam-se dois a 
dois formando um triângulo esférico PnZE. 
 Esse triângulo fundamental em nosso estudo é 
chamado de triângulo de posição, porque depende 
da posição do astro. 
 Com efeito, enquanto o 
astro percorre o seu paralelo, o 
triângulo deforma-se 
continuamente degenerando em 
um arco por duas vezes: quando 
o astro atinge o SMS e o SMI. 
2.9 – Transformação de Coordenadas Horizontais 
 em Horárias e Vice-Versa 
 Este problema, bem como os demais do 
mesmogênero pode ser solucionado: 
 a) diretamente da Trigonometria Esférica, 
resolvendo o triângulo de posição. 
 b) através de matrizes ortogonais, por rotação 
de eixos: as coordenadas esféricas são transforma- 
das em retilíneas e depois da rotação as “novas” 
retilíneas são convertidas nas esféricas procuradas. 
 No nosso curso nos deteremos apenas no 
primeiro caso, ou seja por Trigonometria Esférica. 
     
     
Ahsensensen
Ahsensen
h
coscoshcos
º180cosº90º90
º90cosº90cosº90cos






 A fórmula dos quatro elementos, aplicada 
ao triângulo de posição, proporciona diretamente 
a declinação: 
     
   
Asentgh
senAtgH
Aºº
gHAsenhgsen
coscos
180cos90cos
cotº180º90cotº90







 Escolhendo convenientemente uma das 
fórmulas das cotangentes: 
 senc cotg a = sen B cotg A + cos c cosB
 Substituindo o triângulo genérico pelo 
triângulo de posição: 
 Problema inverso: calcular as coordenadas 
horizontais, conhecidas as coordenadas horárias e 
a latitude local. 
 A fórmula dos quatro elementos, aplicada 
ao triângulo de posição, permite obter a altura: 
     
   
Hsensenhsen
Hsensen
h
coscoscos
cosº90º90
º90cosº90cosº90cos






     
 



tgHsen
senHtgA
Hº
AgsenHgsen
coscos
cos90cos
º180cotº90cotº90




 Escolhendo convenientemente uma das 
fórmulas das cotangentes: 
senc cotg b = sen A cotg B + cos c cosA 
 Substituindo o triângulo genérico ABC pelo 
triângulo de posição: 
2.10 – Transformação de Coordenadas Horárias em 
 Coordenadas Uranográficas Vice-Versa 
 a) Primeira Noção de Tempo Sideral 
 A medida do tempo fundamenta-se no 
movimento de rotação da Terra. Se escolhermos 
como referência um astro fixo, a rotação se cumpre 
em um intervalo de tempo denominado dia sideral. 
 Como o ponto vernal, exceção de pequenos 
movimentos que lhe são peculiares e aos quais se 
subtraem as estrelas, é arrastado pela esfera celeste 
qual um astro fixo, convencionou-se elegê-lo como 
regulador do tempo sideral. Assim: 
 Dia sideral é o intervalo de tempo decorrido 
entre duas passagens consecutivas do ponto vernal 
pelo mesmo semi-meridiano. 
 O dia sideral tem início, num dado local, 
quando o ponto vernal atinge SMS; daí por diante, 
a todo instante, o ângulo horário do ponto vernal 
(H) medirá a hora sideral (S) local : 
 S = H 
 Na figura, o astro E está referido 
simultâneamente aos sistemas horário e 
uranográfico que admitem a mesma ordenada 
esférica ; o problema de transformação de 
coordenadas resume-se em relacionar o ângulo 
horário de um astro com a sua ascensão reta. Com 
efeito, a figura proporciona: 
Q = H = S  S = H +  
 Portanto, a hora sideral num determinado 
instante é dada: 
 1) pelo ângulo horário do ponto vernal 
 2) pela ascensão reta do zênite 
 3) pela soma da ascensão reta com o ângulo 
 horário de um mesmo astro. 
"30'28º310cos"40'26º62cos)"14'03º5cos(
"40'26º62)"14'03º5(
coscoshcos
:Solução
estrela. dessa casuranográfi
scoordenada ascalcular sePede
".40'26º62"30'28310
:shorizontai scoordenada suas as se-obtendo 
,"14'03º5 latitude de local um em sideral), 
(hora 30465 às estrela uma se-Observou
Exercício






sensensen
Ahsensensen
heºA
 
S
smh



 0.A que mesmo o
é 180ºA azimute um quelembrar Vale negativos. ambosou positivos
ambos los- tornápara H de valor ao 180ºsubtrair ou somar devemos então
,A azimute do diferente sinal tiver H horário ângulo o Se :Observação
67,49157
)67,19291(30465
67,19291
15,por dividindo e, "03,55'19º2251781410,0
"30'28º310cos)"14'03º5("40'26º62)"14'03º5cos(
"30'28º310
coscos
"47,41'09º22
)887218377,0(
887218377,0
1














smh
smhsmh
smh
HSHSH
HtgH
sentg
sentgH
Asentgh
Asen
tgH
sen
sen







)1551922cos()"5,41'09º22cos()"14'03º5cos(
)"5,41'09º22()"14'03º5(
coscoscos
1551922
15,por ndoMultiplica
67,1929167,4915730465
:Solução
".5,41'09º2267,49157
 :casuranográfi scoordenada suas se-conhecendo ,"14'03º5
latitude de local um em sideral), (hora 30465 às
estrela uma de shorizontai scoordenada asCalcular 
Exercício
",'º-
sensenhsen
Hsensenhsen
",'º-H
smhsmhsmhH
SHHS
esmh
S
smh












 tgHsen
Hsen
tgA
h
senh
hsen
coscos
"9,39'26º62
)533562886,0(1
533562886,0





negativos. ambosou positivos
 ambos los- tornápara ,A de valor ao 180ºsubtrair ou somar devemos
H horário ângulo do diferente sinal tiver A azimute o Se :Observação
"30'31º49
)998884171,1(
998884171,1
1




A
tgA
tgA
)"1,41'09º22()"14'03º5cos()"1,55'19º22cos()"14'03º5(
)"1,55'19º22(



tgsen
sen
tgA
3 – Movimento Diurno 
3.1- Introdução 
 Observando à noite a esfera celeste "vemos" 
que ela se move, acompanhada de todos os astros, 
de leste para oeste. 
 Esse movimento coletivo, que congrega a 
totalidade dos corpos celestes, constitue o 
chamado movimento diurno. 
 Podemos nos socorrer de duas hipóteses para 
explicá-lo: 
 1) Na primeira, admitimos a Terra imóvel 
enquanto a esfera celeste, arrastando os demais 
corpos celestes, gira em torno do seu eixo, de leste 
para oeste, em 24 horas siderais; foi a hipótese 
adotada pelos astrônomos anteriores a 
COPÉRNICO, por parecer "coerente com o que 
mostram os sentidos". 
 2) Na segunda, imobilizamos a esfera celeste 
e conferimos movimento de rotação à Terra, no 
mesmo intervalo de 24 horas siderais, porém de 
oeste para leste. De acordo com esta hipótese o 
movimento diurno é aparente: simples ilusão de 
nossos sentidos, decorrente da rotação terrestre. 
 As duas hipóteses, desde que encaradas por 
um prisma puramente cinemático são equivalentes, 
o que justifica o fato de utilizarmos ora uma ora 
outra, de acordo com as conveniências didáticas 
do momento. 
 Mas da equivalência cinemática das duas 
hipóteses decorre que elas são mutuamente 
exclusivas; resta-nos pois, dentre ambas, escolher 
a mais coerente com os conhecimentos atuais. 
 A hipótese de uma esfera celeste rotante 
pode ser refutada, pois a mesma nos levaria ao 
absurdo: a estrela "Próxima do Centauro" deveria, 
em 24 horas siderais, descrever uma ... 
circunferência com perímetro da ordem de 1,249 x 1014 km, o que 
implicaria numa velocidade 200 vezes a velocidade da luz! 
 Em consequência do movimento diurno os astros, sem 
excessão, giram em torno da Terra de leste para oeste. 
 A grande maioria parecem levantar-se no nascente, ganhar 
altura até a culminação e depois, descer para o poente, acabando 
por desaparecer no horizonte. 
 Outros, ditos circumpolares, permanecem constantemente 
acima do horizonte, girando em torno de um dos polos celestes.
 Os arcos diurnos (arcos acima do horizonte) de um astro 
variam com a declinação do astro e com a latitude do observador. 
 Quanto valem as coordenadas horizontais de um astro em 
umdado instante? Este e outros fenômenos semelhantes que iremos 
abordar nos slides seguintes podem ser estudados por um prisma 
analítico através do triângulo de posição, que será a chave da 
maiorias de nossos problemas. 
3.2 – Posição de um Astro num Dado Instante 
 Quais as coordenadas horizontais de astro de 
coordenadas uranográficas  e  num local de 
latitude , às S horas siderais? 
coshcos
cos
)º180cos()º90()º90(
)º90cos()º90cos()º90cos(
coscoscos
cos)º90()º90(
)º90cos()º90cos()º90cos(








senhsensen
A
Ahsensen
h
Hsensenhsen
Hsensen
h
SH








3.3 – Passagem Meridiana Superior 
 A figura abaixo mostra o paralelo M 'M de um astro E 
de declinação  , passando no ponto M pelo SMS de um 
observador de latitude . 
Da fórmula dos quatro elementos: 
cos z = cos(90º- ) cos(90º - ) + 
sen(90º- ) sen(90º - ) cos H 
cos z = sen  sen + cos  cos cosH 
Vemos que, quando o astro passa no 
SMS o seu meridiano PnEPs passa a 
ser PnQPs e, portanto, seu ângulo 
horário é nulo. Para H = 0, 
cos z = sen  sen + cos  cos 
cos z = cos ( - )  z = ( - ) 
 Dos dois sinais da fórmula z = ( - ), 
escolhe-se aquele que torna ou conserva positiva a 
quantidade entre parênteses uma vez que a 
distância zenital é sempre positiva. 
 O sinal de ( - ), convém somente à 
interpretação do fenômeno, conforme veremos 
depois. 
 Logicamente a altura h pode ser obtida por, 
 h = 90º - z 
 e a hora sideral da passagem´por, 
 S =  tendo em vista que H = 0. 
 Na passagem meridiana superior de um astro E de 
declinação  em um local de latitude  temos duas 
hipóteses a considerar: 
 1ª) Passagem ao norte do zênite: o astro passa no 
meridiano no ponto M que está ao norte do ponto Z, 
conforme mostra a figura. Vemos que, quando o astro 
está M o seu vertical ZEN passa a ser ZHnN e, 
portanto, seu azimute será: A = HsHn = 180º. 
 Também podemos ver que,
 (QZ  QM) < 0 
 Mas, 
 QZ =  e QM =  
 Portanto, 
 (  ) < 0. 
 2ª) Passagem ao sul do zênite: o astro passa no 
meridiano no ponto M que está ao sul do ponto Z, 
conforme mostra a figura. Vemos que, quando o astro 
está em M, o seu vertical ZEN passa a ser ZHsN e, 
portanto, seu azimute será A = 0º. 
 Também podemos ver que, 
 (QZ  QM) > 0 
 Mas, 
 QZ =  e QM =  
 Portanto, 
 ( ) > 0. 
 Resumindo: 
3.3.1 – Casos Particulares 
 a)  = 0  z = |  | 
 Se o astro for do hemisfério sul a 
passagem será ao sul do zênite, se for do 
hemisfério norte passará ao norte do zênite. 
 b) |  | = |  | 
 Neste caso a distância zenital meridiana é 
nula se  e  forem de mesmo sinal, e igual ao 
dobro da declinação se os sinais forem contrários. 
 c) O sol somente cruza o meridiano no 
zênite para observadores da zona tórrida (entre os 
trópicos de câncer e capricórnio) e o faz duas 
vezes por ano. 
 d) Nos equinócios ( = 0) o sol cruza o SMS 
com distância zenital igual ao módulo da latitude 
local. 
 e) |    | > 90º 
 O astro é circumpolar eternamente invisível. 
 
3.4 – Passagem Meridiana Inferior 
 cos z = sen sen + cos cos cos H 
 H = 180º → cos z = sen sen  cos cos 
 cos z = (cos cos sen sen) 
 cos z = cos ( + )  z = 180( + ) 
 Do duplo sinal, usa -se o que torna z < 180º 
3.5 – Culminação 
 Dizemos que um astro culmina quando atinge 
a sua altura máxima (distância zenital mínima). 
dHHsen
dHsensendzzsen
Hdsen
dHHsendsendzzsen
Hsensen





coscos
)coscoscos(
coscos
coscoscos
,coscoscoszcos
:constante latitude
a doconsideran abaixo, equação a Derivemos 



SMS. no ocorre fixo astro um de culminação a Portanto
00
coscos
coscos
coscos
:se-ornaanterior t equação a diurno, movimento no
fixo astro um de declinação a constante Admintindo
:Fixos Astros
.considerar a hipóteses duas Temos




H
zsen
Hsen
zsen
Hsen
dH
dz
dHHsendzzsen



zsen
Hsen
dH
d
zsen
Hsensen
dH
dz
dHHsen
dHsensendzzsen




coscos
coscoscos
coscos
)coscoscos(
nulo). não mas
 pequeno, muito horário (ângulo dele próximo muito
mas SMS, no ocorre mais não culminação a variação
 sensível apresenta declinação que em caso Neste 
:Errantes Astros





 



dH
d
sen
tgtgsH
tempodesegundosemoExpressand
dH
d
sen
tgtg
H
sensívelerrosemou
dH
dHtgtgHsen
dH
dHsensenHsen
dH
dz



















115
,
1
:,)cos(
coscos
coscoscos
: teremosacima expressão na 0 Fazendo














)(655254,0
00054115
)(
,tan
./d de oaproximaçã uma seja
mesma a queadmitir e 000,54por a-dividindo seja,
ou 600,3por e 15por entesucessivam a-dividindo
segundopor tempode segundos em exprimir 
podemos hora);por arco de (segundos/h em esta
 ),( horária variaçãorespectiva a e declinação
a emsolar traz sistema do astros dos efemérides As
tgtgsH
sen
tgtgsH
toPor
dH
nos mostra que em lugares de latitude alta a velocidade zenital é 
pequena e, portanto, os dias são mais longos. Também podemos ver 
que os dias são mais longos próximo aos solstícios, pois nestes 
períodos do ano o ângulo horario do Sol ao nascer (ocultar) é mais 
distante de 270º (90º). 
z
senH
dH
d
zsen
Hsensen
dH
dz
cos
coscos
)
coscoscos
( 
 expressãoA 
 
 O valor da velocidade zenital do Sol no início ou final do 
dia, por exemplo, determina a duração daquela fase do dia em que 
nem é dia claro nem escuridão total, o que comumente 
denominamos de crepúsculo. 
 Quanto menor o valor de dz/dH, mais longo é o crepúsculo. 
3.6 – Passagem por um Almicantarado 
 Já sabemos que um almicantarado é uma 
circunferência menor paralela ao horizonte do observador, 
ou seja uma "circunferência de igual altura". 
 Um astro descrevendo o seu paralelo diário pode 
atingir um almicantarado em dois pontos A e B (conforme 
mostra a figura), o primeiro a leste e o segundo a oeste do 
meridiano, posições nas quais a sua altura é a mesma. 
h
sensenhsen
A
coscos
cos
coscos
sensen-hsen
H cos
:por obtidosser podem passagem
 da azimute o e horário ângulo O







3.7 – Passagem pelo Horizonte 
 Um astro está nascendo ou se ocultando quando 
cruza (no caso de astro errante, o centro do disco 
aparente) o horizonte do observador respectivamentea 
leste ou a oeste. Nestas condições, não considerando a 
refração atmosférica, a sua altura é nula (h = 0), 
resultando retilátero o triângulo de posição. 





cos
coscoscos
cosº90cos90cos
)º180cos(º90)º90(
º90cos)º90cos()º90cos(
Azimute3.7.1
senAAsen
Asenºsensen
Asensen





)(
)(
)(||
)(||
coscoscoscos0
cos)º90()º90(
)º90cos()º90cos(º90cos
2.7.3
)||
)||
nascerdosideralhoraeHeS
ocultardosideralhorawHwS
nascerdohorárioânguloHHe
ocultardohorárioânguloHwH
tgtgHHsensen
Hsensen
SideralHora
nascerdo(azimuteAeA
ocultardo(azimuteAwA















 3.7.3Condição para que um Astro Passe no Horizonte 
 Na figura abaixo mostramos o paralelo de 
um astro E que nasce no ponto 1 e se oculta no 
ponto 2. Observando a figura, podemos verificar que 
nem todo astro passa no horizonte. Com efeito, para que o 
fenômeno ocorra é preciso que o arco Q' M ' seja menor 
que o arco Q' Hn (Q' M' < Q' Hn). 
Mas, Q' M' =  e 
Q' Hn = 90º  HnPn =90º 
então,  < 90º 
Generalizando para os 2 hemisférios: 
|  | < 90º  |  | 
 • Caso um astro não atenda a inequação |  | < 90º  |  | 
ele é circumpolar, eternamente invisível se pertencer ao 
hemisfério oposto ao do observador. 
3.7.4Arco Diurno 
 Sendo H contado a partir do SMS e proporcional ao 
tempo é facil concluir que o valor do ângulo horário de um 
astro num dado ponto do seu paralelo mede o tempo que o 
astro gasta para ir do SMS a esse ponto (ou gastará 
para ir desse ponto ao SMS se H for negativo). 
 Então, 2·| H | mede o arco diurno do astro, ou 
seja, o tempo que o mesmo permanece acima do 
horizonte. O arco noturno é dado por 24h 2·| H | 
3.7.5  Crepúsculo 
 Chama-se de crepúsculo à luminosidade, de 
intensidade crescente ao amanhecer (crepúsculo matutino) 
e decrescente ao anoitecer (crepúsculo vespertino), 
proveniente da iluminação das camadas superiores da 
atmosfera pelo Sol. Temos três tipos de crepúsculo: 
 • Crepúsculo Civil 
 É aquele que vai desde o instante em que o Sol 
atinge a altura h =  6º até o intante do nascer, e desde o 
intante do ocultar até atingir a altura h =  6º. 
 • Crepúsculo Náutico 
 Ídem, h = 12º. 
 • Crepúsculo Astronômico 
 Ídem, h = 18º. 
 Observações: 
 1) Para os astros errantes (sol por exemplo), 
os ângulos horários do ocultar e do nascer (Hw e 
He) não são exatamente iguais em módulo, tendo 
em vista a variação da declinação no movimento 
diurno. Entretanto, podemos negligenciar este fato 
sem grande erro. 
 2) Se  e  são de mesmo sinal (astro e 
observador no mesmo hemisfério), teremos: 
cos H < 0  | H | > 90º (6h)  2·| H | > 12h 
resultando o arco diurno maior que o noturno; é o 
ocorre para nós do hemisfério sul na primavera e 
no verão (quando os dia são maiores que as noites). 
 Nos slides seguintes apresentamos tabelas com a hora do início do 
crepúsculo matutino, hora do nascer, hora do ocultar, hora do final do 
crepúsculo vespertino, arco diurno, arco noturno e crepúsculo para o ano 
de 2017, em Qaasuitsup-Groenlândia (latitude  = 75º08´ N e longitude λ 
= 48º30´ W). 
 As tabelas foram calculadas para o crepúsculo civil, dividido em 
dois intervalos: 
1) Crepúsculo matutino, que vai desde o instante em que o centro do Sol 
atinge a altura h = 5º até o instante em que ele atinge a altura h = 
50’ . 
2) Crepúsculo vespertino, que vai desde o instante em que o centro do 
Sol atinge a altura h = 50’ até o instante em que ele atinge a altura h 
= 5º. 
Observe que estamos admitindo que o sol nasce e se oculta quando o seu 
bordo superior tangencia o horizonte celeste, o que ocorre com uma altura 
h =  50´ (34´ devido à refração e 16 ´ devido ao semi-diâmetro). 
 Para entendimento das tabelas, vejamos alguns exemplos: 
Dia 16/01: 
Arco Diurno: não existe. 
Arco noturno = (11h52m38s - 0h) + (24h - 12h32m12s) = 23h20m26s 
Crepúsculo= 12h32m12s - 11h52m38s = 0h39m34s 
 
Dia 06/02: 
Arco Diurno: 13h02m19s - 11h31m59s = 1h30m20s (foi tabelado 1h30m21s) 
Arco noturno = (8h49m34s - 0h) + (24h - 15h44m55s) = 17h04m39s 
Crepúsculo = (11h31m59s - 8h49m34s) + (15h44m55s - 13h02m19s) = 
 5h25m01s (foi tabelado 5h25m00s) 
3.8 – Passagem pelo Primeiro Vertical 
 O primeiro vertical para um determinado 
observador é o círculo vertical normal ao 
meridiano local; portanto, intercepta o horizonte 
segundo a linha leste-oeste. 
 3.8.1Azimute no Primeiro vertical 
 Quando um astro atinge o primeiro vertical, o 
faz em dois pontos, um a leste e outro a oeste do 
meridiano assumindo o seu azimute os valores: 
 Aw = 90º e Ae = -90º (ou Ae = 270º) 
e o triângulo de posição se torna retângulo no 
zênite. 
)(||
)(||
cos)]º90(º90[cot)º90(cotcos
 :escrever permiteMauduit de regraA 
Vertical Primeiro no Horário Ângulo3.8.3
horizonte. do acima ocorra ele que para sinal mesmo
de sejam e que onescessári é que e || || :se
ocorrerá só fenômeno o que indica nos acima expressãoA 
º90cos)º90()º90(
)90cos()º90cos()º90cos(
Vertical Primeiro no Altura2.8.3
lesteapassagemdahorárioânguloHH
oesteapassagemdahorárioânguloHH
tg
tg
HggH
sen
sen
hsensenhsensen
hsensen
h
e
w


















 | | || 
:shemisfério dois os para ndo,Generaliza
 
 ter,devemos Então
(latitude) QZ e o)(declinaçã QM
 Mas,
 QZ. arco
 o quemenor é QM arco o porque ocorre só isto que ver Podemos 
 2. e 1 pontos nos verticalprimeiro o cruzando astro um de
M´M paralelo o mostra que abaixo, figura da da através é verticalprimeiro
 no passe astro um que para condição aobter de maneira outra Uma 
Ocorra Fenômeno o Que Para Condição3.8.5
leste) a passagem da (hora || 
oeste) a passagem da (hora || 
Passagem da sideral Hora3.8.4












HS
HS
e
w
3.9 – Passagem no Círculo das 6 Horas 
 Círculo das 6 horas para um determinado 
observador é o meridiano celeste cujo plano é 
normal ao meridiano local; portanto, intercepta o 
horizonte segundo a linha leste-oeste. 
 3.9.1Ângulo Horário 
 Um astro atinge o círculo das 6 horas 
em dois pontos, um a leste e outro a oeste do 
meridiano local, assumindo o seu ângulo horário os 
valores: Hw = 6h = 90º e 
 He = 6h = 90º (ou He = 18h = 270º) 
e o triângulo de posição se torna retângulo no polo. 
)(|| 
)(|| 
coscotcotcotcos
)]º90(º90[cot)º180(cot)]º90(º90cos[ 
Horas 6 das Círculo no Azimute4.9.3
º90cos)º90()º90(
)90cos()º90cos()º90cos(
Horas 6 das Círculo no Altura3.9.3
leste) a passagem da (hora || 
oeste) a passagem da (hora || 
Passagem da Sideral Hora2.9.3
lesteapassagemdaazimuteAA
oesteapassagemdaazimuteAA
tggAggA
gAg
sensensenh
sensen
h
HS
HS
e
we
w



















3.9.5Condição para que o Fenômeno Ocorra 
 A figura abaixo mostra o paralelo (M' M) de 
um astro passando no círculo das 6 horas nos 
pontos 1 e 2. Vemos facilmente que todo astro passa 
no círculo das 6 horas, já que um paralelo sempre 
intercepta um meridiano. 
Ângulo horário das duas passagens: 
Hw = QW (ângulo horário a oeste) 
He = QL (ângulo horário a leste) 
3.10 – Elongação 
 Na análise da variação do azimute de um 
astro temos três hipóteses a considerar: 
1ª Hipótese:  > 0 
 |  | <  
   QZ (latitude) 
  = QM (declinação) 
 QM < QZ 
  <  
 Generalizando, |  | <  
 A Figura nos mostra que o azimute cresce 
desde 0º até 360º entre 2 passagens no SMS. 
2ª Hipótese:  < 0 
 |  | < |  | 
 QZ = |  | (módulo da latitude) 
QM  |  | (módulo da declinação) 
 QM < QZ → |  | < |  | 
 A Figura nos mostra que o azimute decresce desde 
360º até 0º entre 2 passagens no SMI. 
3ª Hipótese: |  | > |  | 
 QZ = |  | (módulo da latitude) 
QM  |  | (módulo da declinação) 
 QM > QZ → |  | > |  | 
 
A Figura nos mostra que o 
azimute varia desde um valor 
mínimo HSB até um valor 
máximo HSC. 
 
 
 
O astro elonga a leste (ponto 1) com azimute máximo 
A=HSC e a oeste (ponto 2) com azimute mínimo A=HSB 
3.10.1Ângulo Paralático na Elongação 
 Um astro está em elongação quando o seu azimute 
passa por um máximo ou por um mínimo; em outras 
palavras: quando a velocidade azimutal (derivada do 
azimute em relação ao tempo) é nula. 
 Aplicando a fórmula das cotangentes ao triângulo 
ABC: 
senc cotgb = senA cotgB + cosc cosA e, substituindo o 
triângulo ABC pelo triângulo PnZE, 




tgHsensenHgA
HsengAsenHtg
HAgsenH
gsen
coscoscot
coscotcos
cos)º90cos()º180(cot
)º90(cot)º90(




Q
HsenA
AsenH
AHsenHsenAsenQ
ouAsenHsenAH
AHsenHsenAsen
HsenA
AsenH
H
senA
HgAHsenHsenA
Asen
senH
HsenHsenA
Asen
senHHHgA
tgHsensenHgA
cos 
Portanto, (1). expressão da membro membro segundo com
coincide que expressão coscoscos
,)º90(cos)º180()º180(coscos Q cos
:posição de triânguloao elementos quatro dos fórmula a Aplicando
(1) coscos
:por acima expressão a ndoMultiplica
)cotcos(
2
2
coscot
:H e A a relação em ndoDiferencia
coscoscot


















.astro no retângulo
é posição de triângulo o elongando, está astro um quando Então,
º900cos0
para zero, de diferentes z e Sendo
coscos
(2), em (3) dosubstituin e,
(3) cos
Hsen
Asencos
Hsen
zsen
)º180(
)º90(
Hsen
zsen
 posição, de triânguloao senos dos analogia a Aplicando
.azimutal velocidade da expressão a é que
 (2) 
cos
cos















QQ
H
A
zsen
Q
H
A
zsenAsenAsen
sen
Hsen
AsenQ
H
AQ
HsenA
AsenH



leste) a elongação da (hora || 
oeste) a elongação da (hora || 
Sideral Hora3.10.4
leste) (a || 
oeste) (a || 
cos)]º90(º90[cot)º90(cotcos 
:Mauduit de regra a Aplicando 
Horário Ângulo3.10.3
 
º90cos)º90()º90( 
)º90(cos)º90cos()90cos( 
:elementos quatro dos fórmula a Aplicando 
Altura3.10.2





















HeS
HwS
HeH
HwH
tg
tg
HggH
sen
sen
hsenhsensensen
hsensen
h
leste) a elongação da (azimute ||A
oeste) a elongação da (azimute ||
º90º90)º180(º90)º90(º0 Se
º90º90)º180(º90)º90(º0 Se
:efeito Com .quadrante" mesmo do são oposto ângulo
e cateto retângulo, triânguloum em" que lembrarmos se eliminada
ser pode ,entretanto que o,indefiniçã uma a leva nos princípio 
a que o raízes, duas possue seno funçãoA :Observação 
cos
cos
coscos
º90
)º90(
(180º-A)sen
)(90º-sen
:senos dos analogia a Aplicando 
Azimute3.10.5
e A
AA
AA
AA
senA
senAsen
sen
w















Exercício 
 Pede-se as coordenadas horizontais e a hora 
sideral em que a estrela  ORIONIS, no dia 
02/07/2011, atingirá, em um local de latitude 
 = 5º03'30" S: 
a) O semi-meridiano superior 
b) O primeiro vertical 
c) O círculo das 6 horas 
d) O horizonte 
e) Elongação 
 Dados:  = 5h32m35,59s 
  = 0º17'28,9" 
OK
SS
A
hhzh
zz
zz
smh






|"30'03º5||"9,28'17º0|||||
ocorra fenômeno o que para Condição b1)
 verticalprimeiro pelo Passagem b)
59,35325
sideral Hora a3)
º180zênite do norte ao passagem0)( 
Azimute a2)
"9,58'13º85"1,01'46º4º90º90
"1,01'46º4)1,01'46º4(
))"9,28'17º0("30'03º5()(
Altura a1)
superior meridiana Passagem a)
:Solução




oeste) a passagem da (hora 15,251911
59,353255649465||
sideral Hora b5)
49,56m46h5|H| 15,por dividindo"35,23'42º86||
988450057,0cos
)"30'03º5(
)"9,28'17º0(
coscos
horário Ângulo b4)
leste) a (passagem º90
oeste) a (passagem º90
Azimute b3)
"9,22'18º3863674057,0
)"30'03º5(
)"9,28'17º0(
 verticalprimeiro no Altura b2)
smhwS
smhs,mhwSHwS
sH
H
tg
tg
H
tg
tg
H
eA
wA
hsenh
sen
sen
senh
sen
sensenh


















 valor.este a 180ºsomar devemos então ,A azimute o para negativo
 valorum encontradofor te,arcotangen ocalcular ao Se, :Observação
leste) a passagem da (azimute "2,35'42º89
oeste) a passagem da (azimute "2,35'42º89
"2,35'42º89||7836415,197
))"9,28'17º0()"30'03º5(cos(1coscot
Azimute c2)
"5,32'01º09748360448000,0
)"9,28'17º0()"30'03º5(
Altura c1)
horas 6 das círculo pelo Passagem c)
leste) a passagem da (hora 03,464523
,24 somamos negativoresultou como 97,13140
59,353255649465||
ão)(continuaç verticalprimeiro no sideral Hora b5)
h









e
w
smhsmh
A
A
AAtg
tgAtgtggA
hhsen
sensenhsensensenhsen
smhSe
smhSe
,SeHSe



º0
d2)Altura
"30'56º84"9,28'17º0
|"30'03º5|º90|"9,28'17º0|||º90||
ocorra fenômeno o que para Condição d1)
horizonte pelo Passagem d)
leste) a passagem da (hora 59,353223
,h24 somamosnegativoresultou como 11,24270
59,3532566
oeste) a passagem da (hora 59,353211
59,3532566
horas 6 das círculo no sideral Hora c3)








h
OK
smheS
smheS
smhheSheS
smhwS
smhhwShwS



smhsmhwSHwS
smhHH
H
tgtgHtgtgH
eA
wA
AA
sen
AsenA
59,3532519,6006||
sideral Hora d5)
19,6006|| 15,por dividindo "84,32'01º90||
3560119450000,0cos
)"9,28'17º0()"30'3º5(coscos
horário Ângulo d4)
nascer) do (azimute "27'42º89
ocultar) do (azimute "27'42º89
"27'42º89||749070105005,0cos
)"30'03º5cos(
)"9,28'17º0(
cos
cos
cos
horizonte no Azimute d3)














 ocorre. não
fenômeno o então |"30'03º5||"9,28'17º0| temosComo 
||||
ocorra fenômeno o que para Condição e1)
Elongação e)
nascer) do (hora 40,293223
,h24 somamos negativo,resultou como 60,30270
59,3532519,6006||
ocultar) do (hora 78,413211
ão)(continuaç horizonte no sideral Hora d5)








smheS
smheS
smhsmheSHeS
smhwS
Exercício 
 Pede-se as coordenadas horizontais e a hora 
sideral da elongação da estrela  ERIDANI, 
no dia 02/07/2011, em um local de latitude 
 = 5º03'30" S: 
Dados:  = 1h38m08,51s 
  = 57º10'43,9" 
ocorre fenômeno o então |-5º03'30"||4"-57º10'43,| temosComo
||||
ocorra fenômeno o que para Condição a)
:Solução

 
leste) a elongação da (azimute "2,57'57º32
oeste) a elongação da (azimute "2,57'57º32
"2,57'57º32||
Portanto, 0º. porque primeira, a
escolhemos tricas trigonomésoluções duas Das
"8,02'02º14711802
"2,57'57º321
511139544,0
)"30'03º5(cos
)"4,43'10º57(cos
cos
cos
Azimute c)
"9,20'01º6
568918104,0
)"4,43'10º57(
)"30'03º5(
elongação na Altura b)















eA
wA
A
AA
A
AsenAsenAsen
h
hsen
sen
sen
hsen
sen
sen
hsen





leste) a elongação da (hora 99,135119
:h24somar devemos negativoresultou como
01,46084
51,0838152,54465||
oeste) a elongação da (hora 03,03257
51,0838152,54465||
sideral Hora e)
52,54465
: teremos15,por dividindo e "87,37'43º86||
338090057,0cos
)"4,43'10º57(
)"30'03º5(
coscos
elongação na horário Ângulo d)
smheS
smheS
smhsmhHeS
smhwS
smhsmhHwS
smh|H|
H
H
tg
tg
H
tg
tg
H















4 – Tempo em Astronomia 
4.1 – Introdução 
 Antes de abordar os diversos sistemas de tempo é 
necessário distinguir intervalo e instante. 
 Intervalo é a quantidade de tempo decorrido entre 
dois acontecimentos. Por exemplo, se uma aula durou 2 
horas, então 2 horas é o intervalo de tempo decorrido 
entre o início e o fim da aula. 
 Instante ou, traduzido literalmente do inglês 
(epoch) época, é o intervalo de tempo decorrido desde 
uma origem até um certo momento. Por exemplo, quando 
dizemos que são 9 horas queremos dizer que decorreram 
9 horas desde o início do dia até o presente momento. 
4.2 Sistemas de Tempo 
 Podemos dividir os sistemas de tempo em 
duas grandes categorias: 
  Tempo atômico 
  Tempo astronômico 
4.2.1 Tempo Atômico 
 O Tempo Atômico é uma escala de tempo 
uniforme e de alta acurácia (10-13 a 10-15 segundos), 
regulado pelo número de períodos de radiação de 
um átomo. 
 A unidade fundamental de tempo atômico 
é o Segundo Internacional (SI). 
4.2.1.1 Segundo Internacional (SI) 
 O Segundo Internacional (SI) é a duração 
de 9 192 631 770 períodos da radiação 
correspondente à transição entre dois níveis 
hiperfinos do estado fundamental do átomo de 
césio 133. 
 
 
  Definição adotada na 13ª Conferência Geral de 
Pesos e Medidas, em 1967. 
4.2.1.2  Tempo Atômico Internacional (TAI) 
 O Tempo Atômico Internacional (TAI) é a 
escala de tempo calculada pelo Escritório 
Internacional de Pesos e Medidas (BIPM), que faz 
uma média ponderada do tempo obtido em cerca de 
duzentos relógios atômicos em mais de 50 
laboratórios ao redor do mundo. 
 A unidade de medida do TAI é mantida o mais 
próximo possível do Segundo Internacional (SI), 
usando informações dos laboratórios que mantém os 
melhores padrões primários de césio. 
 O TAI é uma escala uniforme e estável que, por 
consequência, não se mantém em sincronia com a 
rotação ligeiramente irregular da Terra. 
4.2.2  Tempo Astronômico 
 Tempo astronômico é o tempo regulado pelo 
movimento dos astros. 
 O tempo astronômico pode ser subdividido em: 
  Tempo Terrestre 
  Tempo Rotacional 
 Antes de definir o Tempo Terrestre (TT) 
precisamos conceituar: 
 Tempo Dinâmico (TD) 
e 
 Tempo Dinâmico Baricêntrico (TDB) . 
 O Tempo Dinâmico (TD) é uma escala de 
tempo derivada dos movimentos planetários no sistema 
solar e sua duração é baseada nos movimentos 
orbitais da Terra, Lua e planetas. 
 
 O Tempo Dinâmico Baricêntrico (TDB) refere-se 
a um sistema de tempo inercial, referenciado no 
baricentro do sistema solar. 
 O Tempo Terrestre (TT)*: 
 Apresenta, por definição, frequência igual à de um 
relógio atômico sobre a Terra (geóide). 
 Mostra as variações periódicas com relação ao TDB, devidas 
ao movimento da Terra no campo gravitacional do Sol. 
 Mantém uma escala de tempo uniforme para 
movimento sujeito ao campo gravitacional da Terra, 
podendo ser considerado inercial localmente. 
 Podemos usar o TT para descrever, por exemplo, o 
movimento de um satélite artificial. 
 Como outro exemplo temos o Anuário do Observatório 
Nacional, que usa o TT para as efemérides do Sol, Lua e planetas. 
 * Até 1984 o TT era chamado de Tempo das Efemérides 
(TE). De 1984 até 2001 ele foi chamado de Tempo Dinâmico 
Terrestre (TDT). 
 Podemos relacionar o Tempo Terrestre (TT) 
com o Tempo Atômico Internacional (TAI) através da 
expressão: 
 TT = TAI+32,184s 
 Tempo Rotacional é o tempo regulado pelas 
rotações da Terra. 
 O tempo rotacional pode ser subdividido em: 
  Tempo sideral 
  Tempo solar 
 Tempo sideral é aquele que usa o ponto 
vernal como ponto de referência para a sua 
determinação. 
 Tempo solar é aquele que usa o centro do sol 
como ponto de referência para a sua determinação.
 
4.3  Tempo Sideral  Intervalo 
 O intervalo fundamental de tempo sideral é 
o dia sideral. 
 Dia sideral é o intervalo de tempo decorrido 
entre duas passagens consecutivas do ponto vernal 
pelo mesmo semi-meridiano. 
 O dia sideral tem início, em um certo local, 
quando o ponto vernal passa pelo semi-meridiano 
superior deste local. 
 Aqui abrimos um parêntese para apresentar 
alguns conceitos indispensáveis ao estudo de 
tempo. 
 Devido à atração do Sol e da Lua sobre a 
protuberância equatorial, a Terra possui um 
movimento que a leva a balancear-se no espaço 
como um pião: o eixo de rotação descreve um 
cone de duas folhas, vértice geocêntrico, abertura 
da ordem de 47º. 
 Este movimento é chamado de movimento 
precessional ou, simplesmente precessão.Na figura do slide anterior cogitamos apenas 
de um astro perturbador, mas é claro que devemos 
considerar a ação atrativa de ambos: Sol e Lua. 
 Tal força atrativa entretanto não é constante, 
sofrendo variações complexas em função da 
posição relativas dos três astros; é fácil concluir, 
portanto, que o consequente movimento cônico do 
eixo do mundo não é regular podendo ser 
desdobrado em uma componente uniforme e outra 
periódica. 
 À parte uniforme dá-se o nome de precessão 
luni-solar e à periódica dá-se o nome de nutação. 
 O eixo de rotação quando sujeito 
exclusivamente à precessão luni-solar é designado 
por eixo médio e o correspondente equador por 
equador médio. Convém deixar claro que no 
movimento precessional a posição da eclíptica não 
varia no espaço, o que varia é o equador celeste. 
 Através do movimento de precessão luni-
solar os polos celestes médios deslocam-se sobre a 
esfera celeste, em torno dos correspondentes polos 
da eclíptica descrevendo anualmente arcos de 
50,3", ou seja, completando uma circunferência 
completa num período aproximado de 26000 anos. 
 Como o equador celeste é sempre normal ao 
eixo do mundo, este movimento implica num 
balanço do equador, fazendo com que o ponto 
vernal se desloque sobre a eclíptica também de 
50,3" por ano. 
 A nutação astronômica possue expressão 
matemática complexa e é formada por termos 
periódicos que podem ser separados em dois 
grupos: os de longo período (até 18,6 anos) e os de 
curto período (menos de 35 dias). 
 A nutação expressa apenas pelos termos de 
longo período é responsável por um movimento do 
eixo celeste (agora dito verdadeiro) em torno do 
eixo médio, gerando uma superfície cônica de 
bases elípticas num período de 18,6 anos. 
 As elípses que os polos verdadeiros 
desenham sobre a esfera celeste são muito 
pequenas: eixo maior = 18" e eixo menor = 13". 
 Definido o que seja equador médio e equador 
verdadeiro a noção de ponto vernal médio e ponto 
vernal verdadeiro fica também implícita; agora 
podemos retornar ao estudo do tempo. 
 Teremos então dia sideral médio e dia sideral 
aparente (ou verdadeiro) conforme a medida tenha 
sido feita com o ponto vernal médio ou aparente 
(verdadeiro) respectivamente. 
 Apenas o dia sideral médio é utilizado 
devido às variações que ocorrem com o ponto 
vernal verdadeiro. 
4.4  Tempo Sideral  Instante 
 Na figura abaixo representamos o hemisfério norte 
projetado no plano do equador. 
 PnA representa o semi-meridiano superior de um 
observador cujo zênite está representado por Z. 
 Um dia sideral será então a quantidade de tempo 
decorrido entre duas passagens do ponto vernal pelo 
ponto A. 
 Antes de completar uma volta o ponto vernal irá 
passar por W, B e L. 
 No instante em que passar por W terá decorrido ¼ 
do dia sideral. Por B e por L teremos respectivamente ½ 
e ¾ do dia sideral. 
 Portanto em W serão 6h(S), em B 12h(S) e em L 
18h(S), o que corresponde ao arco de equador desde A 
até W, B e L respectivamente. 
 Então, no momento em que o 
ponto vernal passar por um ponto C, a 
hora sideral (instante) será o arco AC 
expresso em horas, minutos e 
segundos. 
 Porém o arco AC nada mais é que o ângulo 
horário do ponto vernal (Hγ). 
 Podemos então dizer que a hora sideral num 
determinado instante é igual ao ângulo horário do 
ponto vernal neste mesmo instante. 
 Então: S = Hγ 
 Conforme o ponto vernal seja médio ou 
aparente (verdadeiro) teremos a hora sideral 
média ou aparente (verdadeira). 
 Então: SM = HγM e SA = HγA 
 
 A diferença entre as duas horas nos dá a 
chamada equação dos equinócios: 
 EE = SA - SM 
 A equação dos equinócios representa a 
componente da nutação em ascensão reta e vem 
tabelada na seção F do Anuário do Observatório 
Nacional. 
4.5  Tempo Solar Verdadeiro  Intervalo 
 O intervalo fundamental de tempo solar 
verdadeiro é o dia solar verdadeiro. 
 Dia solar verdadeiro (ou simplesmente dia 
verdadeiro) é a quantidade de tempo decorrido entre duas 
passagens do centro do Sol pelo mesmo semi-meridiano. 
 O dia verdadeiro tem início em um determinado 
local quando o centro do Sol passa pelo semi-meridiano 
inferior deste local. 
 Pela 2ª Lei de Keppler sabemos que a velocidade 
areal descrita pelo raio vetor que liga o Sol a um planeta 
é constante; portanto o raio vetor Terra-Sol varre áreas 
iguais em tempos iguais. 
 Invertendo o raciocínio, isto é, colocando a Terra 
em um dos focos da órbita elíptica e o Sol girando, para 
que as áreas S1TS2 e S3TS4 sejam iguais elas deverão ser 
descritas no mesmo intervalo de tempo t. 
 Da figura concluimos que no trecho S1S2 a 
velocidade linear é maior que no trecho S3S4. 
 Daí podemos dizer que a velocidade linear do Sol 
é variável, sendo máxima no perigeo (03/01) e mínima 
no apogeu (05/07). 
 Devido a este fato e ainda ao fato de o Sol não 
percorrer o equador, mas sim a 
eclíptica o dia solar verdadeiro não é 
constante, o que torna impossível o 
seu uso na vida prática. 
4.6  Tempo Solar Verdadeiro  Instante 
 Hora solar verdadeira (ou simplesmente hora 
verdadeira) é o ângulo horário do centro do Sol acrescido 
de 12 horas. 
 Portanto: 
 V = HS+ 12h 
 Sendo , 
 HS = ângulo horário do centro do Sol 
 V = hora verdadeira 
 Exemplo: 
 V = 15h16m40,56s 
4.7  Tempo Solar Médio 
 Para contornar as dificuldades devidas às 
irregularidades na velocidade do Sol foi criado 
um Sol fictício denominado sol médio. 
 Por definição o sol médio é um sol fícticio 
que percorre o equador com velocidade constante 
durante o mesmo período em que o sol verdadeiro 
percorre a eclíptica. 
 O tempo solar médio é o tempo regulado 
por este astro imaginário. 
4.7.1  Tempo Solar Médio  Intervalo 
 O intervalo fundamental de tempo solar 
médio é o dia solar médio. 
 Dia solar médio (ou simplesmente dia 
médio) é a quantidade de tempo decorrido entre 
duas passagens consecutivas do sol médio pelo 
mesmo semi-meridiano. 
 O dia médio tem início em determinado local 
quando o sol médio passa pelo semi-meridiano 
inferior deste local. 
 Submúltiplos: 1h(M) = 1d(M)/24 
 1m(M) = 1h(M)/60 
 1s(M) = 1m(M)/60 
4.7.2  Tempo Solar Médio  Instante 
 Hora solar média (ou simplesmente hora média) é 
o ângulo horário do sol médio acrescido de 12 horas. 
 Portanto: 
 M = HM + 12h 
 Sendo , 
 HM = ângulo horário do sol médio 
 M = hora média 
 Exemplo: 
 M = 15h16m40,56s 
4.8 – Tempo Universal 
 Chama-se de Tempo Universal (TU) à hora média do 
meridiano médio de Greenwich. 
 O Tempo Universal , também chamado de Greenwich 
Mean Time (GMT) ou de Universal Time (UT), é obtido 
formalmente através de determinações astronômicas, embora 
atualmente sejam utilizados satélites GPS na sua determinação. 
 Existe três diferentes designações do Tempo Universal, 
muito embora a diferença entre elas não ultrapasse 0,03 
segundos: 
- TU0: é o TU não corrigido 
- TU1: é o TU corrigido da influência do movimento do polo 
sobre a longitude. 
- TU2: é o TU1 corrigido