Trigonometria Esférica

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1 – Conceitos Básicos 
 1.1 – Importância 
 A Trigonometria Esférica é de fundamental 
importância no estudo da Astronomia e da 
Geodésia Elementar; no primeiro caso, 
resolvendo problemas sobre a “esfera celeste” na 
qual imaginamos engastados todos os astros; no 
segundo, solucionando problemas relativos à 
superfície terrestre, suposta, em primeira 
aproximação, como sendo esférica. 
1.2 – Unidades de Medida de Arcos e Ângulos: 
 – Grau (º): é o arco que mede 1/360 da 
circunferência. Os submúltiplos do grau são o minuto 
(´), que corresponde a 1/60 do grau; e o segundo de arco 
(´´), que corresponde a 1/60 do minuto; o segundo é 
divido em decimais. Exemplo: α = 28º36´45,6´´. 
 – Grado (gr): é o arco que mede 1/400 da 
circunferência. Seus submúltiplos são decimais. 
Exemplo: α = 31,791 851 85gr. 
 – Radiano (rad): é o arco cujo comprimento é igual ao 
raio da circunferência. Seu submúltiplos são decimais. 
Exemplo: α = 0,499 385 241rad. 
 
2 – Conceitos Fundamentais 
 
 2.1 – Superfície esférica 
 É o lugar geométrico dos pontos do 
espaço que equidistam de um ponto interior 
chamado centro. 
 
 
 2.2 – Círculo máximo e círculo menor 
 Três pontos sobre uma esfera definem 
um plano que a intercepta segundo um círculo. Tal 
círculo pode ou não conter o centro da esfera; no 
primeiro caso será chamado de circulo máximo; 
no segundo será chamado de círculo menor. 
– Circunferência máxima é a interseção de um 
plano que passa pelo centro de uma superfície 
esférica com esta superfície esférica. 
 – Circunferência menor é a interseção de um 
plano que não passa pelo centro de uma 
superfície esférica com esta superfície esférica. 
 
2.3 – Distância esférica 
 É o menor arco de circunferência máxima que 
liga dois pontos na superfície esférica. Ou ainda, 
dados dois pontos sobre uma esfera, não diametral- 
mente opostos, por eles passará apenas dois arcos 
de circunferência máxima, um maior 180º e o outro 
menor que 180º; o menor que 180º representa a 
distância esférica entre os dois pontos. Caso os dois 
pontos sejam diametralmente opostos existirá um 
número infinito de arcos de circunferência máxima 
(todos iguais a 180º) ligando os dois pontos e 
qualquer um deles representa distância esférica. 
Polar é o lugar geométrico 
dos pontos da superfície 
esférica que eqüidistam 
90º de pontos chamados 
pólos. 
2.4 – Polo e Polar 
 Pólos de um círculo sobre uma esfera são 
os extremos do diâmetro perpendicular ao círculo 
considerado. Se o círculo for um círculo máximo, 
ele será denominado de polar. 
ela. a
secante plano umpor dividida fica esférica superfície
a queempartesdasumacadaéesféricaCalota 
EsféricaCalotaUmadeÁrea-2.6
)constante(654592141324
 :por dada é
(R) raio de esférica erfíciesup uma de (S) áreaA 
EsféricaSuperfícieUmadeÁrea-2.5
,πsendo,RπS 
hRcSR
h
R
cS
h
cSC


2 
224
:escrever podemos altura de esférica
calota uma de área a de hamando

:escrever podemos amplitude de
 esférica zona uma de área a de Chamando ela. a
 secantes e paralelos planos dois entre dacompreendi
esférica superficiedaporção aéesféricana Zo
EsféricaZonaUmadeÁrea-2.7
h
zS
.
2 
224
hRzS
R
h
R
zS 


º90
2
24
nR
fS
RfS


 
:por dada é fuso do área Portanto,
360º. para está (n) fuso do ângulo o como assim
)( esfera da área a para está )( fuso do áreaA 
fuso. do (A) vértice o é polo cujo MN, arco pelo medido É
citados. máximos ossemicírcul dos planos pelos formado
diedro ângulo o é fuso do ângulo O comum. diâmetro
 um tem que máximos ossemicírcul dois por limitada
esférica superficiedaporção aéesféricoFuso 
EsféricoFuso UmdeÁrea-2.8
3 – Triângulo Esférico 
3.1 – Polígono Esférico 
 É a porção da superfície esférica limitada 
exclusivamente por arcos de circunferência 
máxima. Os planos de tais arcos formam um 
ângulo sólido, cujo vértice O é o centro da esfera. 
As faces do ângulo sólido são 
ângulos planos medidos pelos 
correspondentes lados do 
polígono (assim, o arco de 
circunferência máxima AB 
mede o ângulo  da face OAB). 
Os diedros do ângulo sólido são 
medidos pelos correspondentes 
ângulos do polígono (assim, o 
ângulo  do polígono mede o 
diedro formado pelas faces 
OAB e OAD). 
As propriedades de um polígono esférico são 
análogas às do ângulo poliédrico correspondente, 
cujo vértice coincide com o centro da esfera. 
3.2 – Triângulo Esférico 
 É a porção da superfície esférica limitada por 
três arcos de circunferências máximas menores que 
180º. A figura abaixo mostra um triângulo ABC. 
Em outras palavras, triângulo 
esférico é a figura que se obtém, 
ligando dois a dois, por meio de 
arcos de circunferências 
máximas (menores de 180º), três 
pontos de uma superfície 
esférica não situados sobre a 
mesma circunferência máxima. 
A todo triângulo corresponde um triedro com 
vértice no centro da esfera à qual pertence o 
triângulo. 
Por outro lado, todo triedro com vértice no centro 
de uma esfera determina sobre a mesma um 
triângulo esférico. 
Os ângulos planos das faces e os diedros do 
triedro medem os correspondentes lados e 
ângulos do triângulo esférico. 
Estas considerações põe de manifesto que o estudo 
trigonométrico dos triângulos esféricos não exige, 
em relação ao estudo dos triângulos planos a 
introdução de novas funções, mas apenas a 
consideração das funções trigonométricas dos 
lados do triângulo, aqui medidos em unidades 
angulares. 
Resolver um triângulo esférico é determinar três 
dos seus elementos quando se conhece os outros 
três; tais elementos são os mesmos dos triângulos 
planos: 
três ângulos – os ângulos esféricos definidos pelas 
tangentes aos lados, em cada vértice; 
três lados – arcos de circunferências máximas 
expressos em unidades angulares. 
Observação: o triângulo esférico tal como foi 
definido, com lados menores que 180º, é chamado 
de triângulo euleriano; somente deste trataremos 
no nosso curso. 
3.2.3 – Propriedades dos Triângulos Esféricos 
 
1) Em todo triângulo esférico um lado é menor que a 
soma dos outros dois e maior que o módulo de sua 
diferença. 
 a < b + c e a > | b – c | 
2) O maior lado de um triângulo esférico se opõe ao 
maior ângulo. 
3) A lados iguais se opõem ângulos iguais. 
4) A soma dos ângulos internos de um triângulo esférico 
é maior que 180º e menor que 540º. 
 180º < A + B + C < 540º 
5) O perímetro de um triângulo esférico é sempre menor 
que uma circunferência máxima. 
 a + b + c < 360º 
3.2.5 – Triângulos Polares 
 Dois triângulos esféricos são chamados de 
polares quando os vértices do primeiro são polos 
dos lados homônimos do segundo e vice-versa. 
   
   
    "75,42'14º61938695440782
2
1
2
1
"25,32'53º134020545440782
2
1
2
1
"25,37'55º203016405440782
2
1
2
1
5440782
2
"19'38º69"40'20º54"30'16º40
2
193869402054301640






”'º",'ºcs
”'º",'ºbs
”'º",'ºas
",'ºs
scbas
”'ºc”'ºb”'ºa
:Solução
:dados sendo cm, 38R raio de esfera
 uma sobre situado ABC,esférico triângulo
um de área a e esférico excesso o Calcular
Exercício
     
 
tangente arco1-tg :Observação 








286,546
238
º180
"55'41º212
º180
"55'41º21º22669698,21306667424,54
306667424,5221962094,01
4
1
221962094,0524823017009,0
4
1
524823017009,0"75,42'14º6"25,32'53º13
"25,37'55º20"25,52'03º41
4
12
2
1
2
1
2
1
2
1
4
12
"25,52'03º415440782
2
1
2
1
cmS
SRS
tg
tg
tgtg
tgtgtg
cstgbstgastgstgtg
",'ºs






 
 
 
 
bsenasen
bac
CCbsenasenbac
csenasen
cab
BBcsenasencab
csenbsen
cba
AAcsenbsencba
coscoscos
cos coscoscoscos
coscoscos
cos coscoscoscos
coscoscos
cos coscoscoscos
lados. a aplicada elementos quatro dos Fórmula a)
usando, triângulooresolver podemos caso, Neste 
lados. trêsos Dados :Caso 1º
.considerar a casos seis Temos 
losObliquângu Esféricos Triângulos dos Resolução - 5.1
).90º de ângulo nem lado (nem
osobliqângul e )90º de (lado sretilátero ),90º de (ângulo
retângulosser podem esféricos s triânguloOs 
Esféricos Triângulos dos Resolução -5






     
     
     
   
 
   
 
   
 
 
 
lados aplicada smarinheiro dos Formulas c)
 
 
 
lados a aplicada Borda de Fórmulas b)
cssenssen
bssenassen
Ctg
bssenssen
cssenassen
Btg
assenssen
cssenbssen
Atgcbas
bsenasen
cssenssen
C
bsenasen
bssenassen
Csen
csenasen
bssenssen
B
csenasen
cssenassen
Bsen
csenbsen
assenssen
A
csenbsen
cssenbssen
Asen
cbas






















2
12
2
12
2
12
2
2
12cos
2
12
2
12cos
2
12
2
12cos
2
12
2
 
 
 
cosseno arcocos:Observação
"36'28º92418211043,0cos418211043,0cos
"162860cos301648cos
"162860cos301648cos403272coscos
"47'40º65771835411,0cos771835411,0cos
403272301648
403272cos301648cos"162860coscos
"41'24º51866722623,0cos866722623,0cos
403272162860
403272cos162860cos301648coscos
:lados a aplicada elementos quatro dos fórmula a Usando
:Solução
403272162860301648
:dados sendo ABC esférico triângulooResolver 
Exercício
1
1
1
1












CCC
'º”'º
'º”'º”'ºC
BBB
”'º”sen'ºsen
”'º”'º'ºB
AAA
”'º”sen'ºsen
”'º”'º”-'ºA
”'ºc ”'ºb”'ºa
     
CsensenB
CSBS
a
CsenBsen
ASS
asen
CBAS
BsenAsen
BACccBsenAsenBAC
CsenAsen
CABbbCsenAsenCAB
CsenBsen
CBAaaCsenBsenCBA
)coscos
2
1cos
)coscos
2
1
2
ângulos a aplicada Borda de Fórmulas b)
coscoscoscos coscoscoscos
coscoscoscos coscoscoscos
coscoscoscos coscoscoscos
angulos. a aplicada elementos quatro dos Fórmula a)
usando, triângulooresolver podemos caso, Neste 
ângulos. trêsos Dados :Caso 2º
22








     
     
 
   
 
   
 
   BSAS
CSS
ctg
CSAS
BSS
btg
CSBS
ASS
atgCBAS
BsensenA
BSAS
c
BsenAsen
CSS
csen
CsensenA
CSAS
b
CsenAsen
BSS
bsen

















coscos
coscos
2
12
coscos
coscos
2
12
coscos
coscos
2
12
2
)coscos
2
12cos
)coscos
2
12
)coscos
2
12cos
)coscos
2
12
ângulos a aplicada smarinheiro dos Fórmulas c)
 
 
 
cosseno arco cos :Observação
"40'32º72712966299,0cos712966299,0cos
474065412451
474065cos412451cos362892coscos
"16'28º60771835411,0cos522863492,0cos
362892412451
362892cos412451cos474065coscos
"30'16º48428557665,0cos428557665,0cos
362892474065
362892cos474065cos412451coscos
:ângulos a aplicada elementos quatro dos fórmula a Usando
:Solução
362892474065412451
:dados sendo ABC esférico triângulooResolver 
Exercício
1-
1
1
1











ccc
”'º”sen'ºsen
”'º”'º”'ºc
bbb
”'º”sen'ºsen
”'º”'º”'ºb
aaa
”'º”sen'ºsen
”'º”'º”'ºa
”'ºC”'ºB”'ºA
:scotangente das Fórmulas b)
caso. 1º do Fórmulas a)
:usar podemos ângulos 2 os calcular Para
:dodesconheci lado
o calcular para lados a aplicada elementos
quatro dos fórmula a usamos Nestecaso,
 eles. entre ângulo o e lados dois Dados :Caso 3º
Cbsenasenbac coscoscoscos 
Ca
tgb
asen
Csen
tgB
Csen
Cagbsena
gB
CagBC sengba sen
Cb
tga
bsen
Csen
tgA
Csen
Cbgasenb
gA
CbgACsengab sen
coscos
coscoscot
cot
coscoscotcot
coscos
coscoscot
cot
coscoscotcot










 
 
 
cosseno arco cos :Observação
"47'40º65771835411,0cos771835411,0cos
"40'32º72301648
"40'32º72cos301648cos162860coscos
"41'24º51866722623,0cos866722623,0cos
"40'32º72162860
"40'32º72cos162860cos301648coscos
"40'32º72188965299,0cos188965299,0cos
362892cos162860301648
162860cos301648coscos
:lados a aplicada elementos quatro dos fórmula a Usando
:Solução
362892162860301648
:dados sendo ABC esférico triângulooResolver 
Exercício
1
1
1
1












BBB
”sen'ºsen
”'º”'ºB
AAA
”sen'ºsen
”'º”'ºA
ccc
”'º”'º”sen'ºsen
”'º”'ºc
”'ºC”'ºb”'ºa
Ac
tgB
Asen
csen
tgb
csen
AcgBAsen
gb
AcgBAsengbcsen
Bc
tgA
Bsen
csen
tga
csen
BcgABsen
ga
BcgABsengacsen
coscos
coscoscot
cot
coscoscotcot
coscos
coscoscot
cot
coscoscotcot










 
 
 
cosseno arco cos :Observação
"16'28º60522863492,0cos522863492,0cos
"36'28º92412451
"36'28º92cos412451cos474065coscos
"30'16º4828557665,0cos28557665,0cos
"36'28º92474065
"36'28º92cos474065cos412451coscos
"36'28º921213043,0cos1213043,0cos
403272cos474065412451 
474065cos412451coscos
:ângulos a aplicada elementos quatro dos fórmula a Usando
:Solução
403272474065412451
:dados sendo ABC esférico triângulooResolver 
Exercício
1
1
1
1












bbb
”sen'ºsen
”'º”'ºb
aaa
”sen'ºsen
”'º”'ºa
CCC
”'º”'ºsen'ºsen
”'º'ºC
”'ºc”'ºB”'ºA
)(coscoscos
cos
)coscoscoscos
)cos
cos
(coscoscos
coscoscoscos
tgMcsencba
AtgbtgM
Actgbsencb(a
A
b
bsen
csencba
Acsenbsencba





temos, 
:que tal M auxiliar arco um Usando
 deles. um a 
oposto ângulo o e lados dois Dados :Caso 5º
b
MaMc
M
Mcb
a
M
sencsenMMcba
M
senMsenccba
cos
coscos)cos(
cos
)cos(cos
cos
)
cos
coscos(coscos
)
cos
(coscoscos





 
   
 
     
cosseno arcocos e tangentearco tg:Observação
)º180170166º0(170166
13446º2"3,43'14º63 
13446º213446º2
13446248269980cos
4826998,0cos
403272cos
3431463cos301648coscos
cos
coscoscos
"3,43'14º63368564983,1368564983,1
412451cos403272cos:Solução
403272412451301648
:dados sendo ABC esférico triângulooResolver 
Exercício
1-1
1
1
11
1
1













OK"'º"'ºb
",'b
",'Mb",'Mb
','ºMb,Mb
Mb
”'º
" ,'º”'ºMb
c
MaMb
MtgMMtg
”'º”'ºtgMtgActgMtg
”'ºc”'ºA”'ºa
 
 
"38'40º65
245877411,0cos245877411,0cos
403272301648
403272cos301648cos092860coscos
coscoscos
cos
"07'07º73
029390290,0cos029390290,0cos
"40'32º72"30'16º48
"40'32º72cos"30'16º48cos"17'01º66coscos
coscoscos
cos
)º180092860º0(0928602
13446º2"3,43'14º63 
13446º213446º2
2
1
12
2
2
2
1
1
11
1
1
1
2
22















B
BB
"'ºsen"'ºsen
"'º"'º"'ºB
csenasen
cab
B
B
BB
sensen
B
csenasen
cab
B
OK"'º"'ºb
",'b
",'Mb",'Mb
 
 
"42'28º9221831871
"38'40º6520707731
"09'28º6021707661
,
"42'28º922
512242043,01cos2512242043,02cos
"17'01º66"30'16º48
"17'01º66cos"30'16º48cos"40'32º72cos
2cos
2
2coscoscos
2cos
"18'31º871
926239043,01cos1926239043,01cos
"17'01º66"30'16º48
"17'01º66cos"30'16º48cos"40'32º72cos
1cos
1
1coscoscos
1cos













C"'ºC
B''ºB
b"'ºb
C
CC
sensen
C
bsenasen
bac
C
C
CC
sensen
C
bsenasen
bac
C
:soluções 2 temos Resumindo
caso. 1º do fórmulas as usamos
dado) triângulo (do ângulos 2 os calcular Para dado.
triângulo do odesconecid lado o calcular para polares
triângulos dos teorema o novamente usamos ângulo,
deste posse De C'.B' A'de dodesconheci ângulo
o calculamos depois, e caso) 5º do será (que C'B'A'
 polar seu o para ABCdado triângulo do Passamos
 polares. triângulos dos teorema o usamos caso Neste
 deles. um a 
oposto lado o e ângulos dois Dados :Caso 6º
 
   
”'º
" ,'º”'ºMb
c
MaMb
MM
M
tgMMtg
”'º”'ºtgMtgActgMtg
ccCc
AAaA
aaAa
”'ºC”'ºa”'ºA
2403187cos
8054393cos1935128cos'cos
'cos
cos'cos'cos
"8,05'43º93º180"2,54'16º86
:180ºsomar devemos negativo, é M Como
"2,54'16º86
18537387,1518537387,15
3043131cos243187'cos'
"24'31º87'"36'28º92º180'º180'
"30'43º131'"30'16º48º180'º180'
"19'35º128'"41'24º51º180'º180'
:polares s triângulodos teoremaPelo
C'.B'A'polar uloseu triâng o para dado triângulodo Passamos
:Solução
362892301648412451
:dados sendo ABC esférico triângulooResolver 
Exercício
1










     
 
:lados 2 os calcular para caso
1º do fórmulas as usar podemos ângulos 3 os Conhecidos
:dado triângulo do 2B e 1B ângulos os
calcular podemos polares, triângulos dos teorema o Usando
"02'53º1062"58'06º73º18022'º1802
"46'40º651"14'19º114º18011'º1801
)º180"58'06º73º0("58'06º732'
"8,07'36º20'8,05'43º932'
"8,07'36º202'"8,07'36º202'
)º180"14'19º114º0("14'19º1141'
"8,07'36º20'8,05'43º931'
"8,07'36º201'"8,07'36º201'
"8,07'36º20'
158046936,01cos'158046936,0'cos










BBbB
BBbB
OKb
b
MbMb
OKb
b
MbMb
Mb
MbMb
 
 
"50'58º1132
49428406,01cos249428406,02cos
"36'28º92"41'24º51
"36'28º92cos"41'24º51cos"02'53º106cos
2cos
coscos2cos
2cos
"14'28º601
179869942,01cos1179869942,01cos
"36'28º92"41'24º51
"36'28º92cos"41'24º51cos"46'40º65cos
1cos
coscos1cos
1cos










b
bb
sensen
b
CsenAsen
CAB
b
b
bb
sensen
b
CsenAsen
CAB
b
 
 
"21'27º1072"39'32721
"50'58º1132"14'28º601
"02'53º1062"46'40º651
"21'27º1072
437969299,01cos2437969299,02cos
"02'53º106"41'24º51
"02'53º106cos"41'24º51cos"36'28º92cos
2cos
2
2coscoscos
2cos
"39'32º721
238971299,01cos1238971299,01cos
"46'40º65"41'24º51
"46'40º65cos"41'24º51cos"36'28º92cos
1cos
1
1coscoscos
1cos













cºc
bb
BB
c
cc
sensen
c
BsenAsen
BAC
c
c
cc
sensen
c
BsenAsen
BAC
c
 
 
Resumindo,
 
 
  "35'34º61272986475,0cos
272986475,0cos
284060
301640
coscos
"26'51º47479476741,0
479476741,0
284060
301640
"47'03º50859943641,0cos
859943641,0cos
301640cos
284060coscos
cos
coscos
:Solução
30164028406090
:dados sendo ABC esférico triângulooResolver 
Exercício
1
1
1










CC
C
”'ºtg
”'ºtg
C
tga
tgb
C
BsenB
Bsen
”'ºsen
”'ºsen
Bsen
asen
bsen
Bsen
cc
c
”'º
”'ºc
b
ac
”'ºb”'ºaºA
 
 
  "35'34º61499641847,1
499641847,1
301640
"47'03º50
"26'51º47198067105,1
198067105,1
"47'03º50
301640
"28'40º60606771489,0cos
606771489,0cos
"47'03º50cos301640coscoscoscoscos
:Solução
"47'03º5030164090
:dados sendo ABC esférico triângulooResolver 
Exercício
1
1
1











CtgC
tgC
”'ºsen
tg
tgC
bsen
tgc
tgC
BtgB
tgB
sen
”'ºtg
tgB
csen
tgb
tgB
aa
a
”'ºacba
c”'ºbºA
csenBC
bsenCB
bsenCB
coscos
coscos
coscos





fórmula a com obtido sido ter poderia mesmo O
quadrante.
mesmo no estão sempre b cateto o e B ângulo o palavras,
outras em ou b, cateto do cosseno do sinal mesmo o tem B
ângulo do cosseno o que mostra nos acima sinal de jogo O
180º. que menores sempre são esférico triângulo um de
ângulos os pois positivo, sempre é C ângulo do seno o
 
expressão, Na
caso. 1º no aapresentad
regra a demonstrar para parêntese um abrimos Aqui
 
 
  "47'03º50594945641,0cos
594945641,0cos
265147
"35'34º61coscoscoscos
"29'16º40408952762,0cos
408952762,0cos
"35'34º61
265147coscoscoscos
"27'40º60937773489,0cos
937773489,0cos
"35'34º61265147
1coscotcotcos
:Solução
"35'34º6126514790
:dados sendo ABC esférico triângulooResolver 
Exercício
1
1
1











cc
c
”'ºsen
”c
Bsen
Cc
bb
b
sen
”'ºb
Csen
Bb
aa
a
”tg'ºtg
aCgBga
C”'ºBºA
 
 
  "35'34º61726650847,1
726650847,1
265147"28'40º60cos
1coscot
"47'03º50391424194,1
391424194,1
265147cos"28'40º60cos
)90ºB (porque "30'16º40725455646,0
725455646,0
265147"28'40º60
:Solução
265147"28'40º6090
:dados sendo ABC esférico triângulooResolver 
Exercício
1
1
1













CtgC
tgC
”'ºtg
tgCtgBaCg
ctgc
ctg
”'ºtgctgBatgctg
bsenb
bsen
”'ºsensenbsenBsenasenbsen
”'ºBaºA
 
 
  "35'34º61606985475,0cos
606985475,0cos
"47'03º50cos265147coscoscos
"30'16º40791307847,0
791307847,0
"47'03º50265147
"28'40º60608112780,1
608112780,1
265147cos
"47'03º50
cos
:Solução
"47'03º5026514790
:dados sendo ABC esférico triângulooResolver 
Exercício
1
1
1













CC
C
”'ºsenCcBsenC
btgb
btg
”sen'ºtgbtgcsenBtgbtg
atga
atg
”'º
tg
atg
B
ctg
atg
c”'ºBºA
90180º-CC 
90º180º-cc :solução 2ª
 90º180º-aa 
90ºC 
 90ºc :solução1ª
 90ºa 
:soluções 2 Temos
quadrante. mesmo ao pertencem c e a que Vemos
coscoscos
90ºb e Bb :hipótese 2ª
12
12
12
1
1
1










cba
90º180º-CC 
90º80º-c1c :solução 2ª
90º180º-aa 
90º180º-CC 
90º180º-cc :solução 1ª
90ºa 
:soluções 2 Temos
.diferentes quadrantes a pertencem c e a que Vemos
coscoscos
90ºb e Bb :hipótese 3ª
12
12
12
21
21
1










cba
 
  "48'03º50845754766,0
845754766,0
265147
"30'16º40
"31'19º119"29'40º60º180
"29'40º60546852871,0
546852871,0
265147
"30'16º40
.ª2º90"30'16º40265147"30'16º40
:Solução
"30'16º4026514790
:dados sendo ABC esférico triângulooResolver 
Exercício
11
22
11
1
1











csenc
csen
”'ºtg
tg
csen
Btg
btg
csen
aa
asena
asen
”'ºsen
sen
asen
Bsen
bsen
asen
hipótesee”'º
b”'ºBºA
 
"12'56º129
2
"48'03º50
1
"30'16º40"30'16º40
"31'19º119
2
"29'40º60
1
"24'25º118
2
"36'34º61
1
"26'51º47"26'51º47
º90º90
"24'25º118
2
"36'34º61º180
2
"36'34º61
1
729454879,01
1
729454879,0
"30'16º40cos
"26'51º47cos
cos
cos
"12'56º129
2
"48'03º50º180
2











cc
bb
aa
CC
BB
AA
CC
CsenC
senC
senC
b
BCsen
cc
 
 
 
 
 
 
:solução 2ª :solução 1ª
Resumo
 
  "48'03º50845754766,0
845754766,0
3408132
"30'43º139
"31'19º119"29'40º60º180
"29'40º60546852871,0
546852871,0
3408132
"30'43º139
.ª3º90"30'43º13934084132"30'43º139
:Solução
"30'43º139340813290
:dados sendo ABC esférico triângulooResolver 
Exercício
2
1
2
22
1
1
1











csenc
csen
”'ºtg
tg
csen
Btg
btg
csen
aa
asena
asen
”'ºsen
sen
asen
Bsen
bsen
asen
hipótesee”'º
b”'ºBºA
 
"48'03º502"12'56º1291
"30'16º40"30'16º40
"31'19º1192"29'40º601
"36'34º612"24'25º1181
"26'51º47"26'51º47
º90º90
"24'25º1181"36'34º61º1801
"36'34º612729454879,0
1
2
729454879,0
"30'43º129cos
"34'08º132cos
cos
cos
"12'56º1291"48'03º50º1801











cc
bb
aa
CC
BB
AA
CC
CsenC
senC
senC
b
BCsen
cc
 
 
 
 
 
 
:solução 2ª :solução 1ª
Resumo
junto). vemque significa (conjunto médio elemento
ao adjacentes elementos os são conjuntos Elementos 2)
médio. elemento como escolhidoser 
pode reto, ângulo do excessão com elemento,Qualquer 1)
:SOBSERVAÇÕE
.separados" elementos
dos senos dos produto aoou conjuntos elementos
 dos scotangente das produto ao igual é médio elemento
do cosseno o retângulo, triânguloum em" :ENUNCIADO
.retângulos s triângulodos resolução na aplicação grande 
de mneumônica regra uma éMauduit de regraA 
Mauduit de Regra -5.3
catetos.
 destes lugar no catetos dos ocomplement o se-Toma 5)
regra.
da aplicação na einexistent oconsiderad é reto ângulo O 4)
médio. elemento
do partir a horário,-anti e horário sentido no elemento
um saltando obtidos aqueles são separados Elementos 3)
   
  BsenasensenbBsenasenb
ou
tgC
tgc
senbcgCgb


º90cos
,º90cotcotº90cos
B e a :separados Elementos
 C e c:conjuntos Elementos
definidos. ficam separados e conjuntos
 elementos os médio, elemento o escolhido de Depois
)C e B ângulos nosou c e a 
lados nosrecair poderia escolha (a b :médio Elemento
figura. a mostra como ,A
em retângulo esférico triânguloum ABC, Seja :Exemplo
.retângulos s triângulode casos
seis dos um emenquadrar se irá dado, triângulo
dopolar retângulo, triânguloo quelembrar Vale
dado. triânguloao retornamos depois
 e triânguloeste resolvemos ,retângulo) será (que 
polarseu o para dado triângulodo Passamos 
 polares". s triângulodos teorema" o usando 
ABC retilátero triânguloumresolver Podemos 
sRetilátero Triângulos dos Resolução -5.4
546852871,0'
265147
"30'16º40
'
'
'
'
hipótese2ªº90"30'16º40"26'51º47"30'16º40
retângulo triângulode caso 6º do se-Trata
"30'16º40'"30'43º139º180'
"26'51º47'"34'08º132º180'
º90'º90180
 temosABC, depolar ,C'B'A' triânguloo Para
:Solução
"30'43º139340813290
:dados sendo ABC esférico triângulooResolver 
Exercício







asen
”'ºsen
sen
asen
Bsen
bsen
asen
e
bb
BB
Aº-A'
B”'ºbºa
 
 
 
"24'25º118
2
'"36'34º61º180
2
'
"36'34º61
1
'729454879,01
1
'
729454879,0'
"30'16º40cos
"26'51º47cos'
'cos
'cos'
"12'56º129
2
'"48'03º50º180
2'
"48'03º50
1
'845754766,01
1
'
845754766,0'
265147
"30'16º40
'
'
'
'
"31'19º119
2
'"29'40º60º180
2
'
"29'40º60
1
'546852871,01
1
'










CC
CsenC
senC
senC
b
BCsen
cc
csenc
csen
”'ºtg
tg
csen
Btg
btg
csen
aa
asena
"36'34º612"24'25º1181
"48'03º502"12'56º1291
"29'40º602"31'19º1191
"36'34º61
2
"24'25º118º180
22
'º180
2
"24'25º118
1
"36'34º61º180
11
'º180
1
"48'03º50
2
"12'56º129º180
22
'º180
2
"12'56º129
1
"48'03º50º180
11
'º180
1
"29'40º60
2
"31'19º119º180
22
'º180
2
"31'19º119
1
"29'40º60º180
11
'º180
1









cc
CC
AA
ccCc
ccCc
CCcC
CCcC
AAaA
AAaA
 
 
 
:solução 2ª :solução 1ª
Resumo
 
 
 
 
 
:dado triângulo ao Retornando