C+ílculo de Volumes e +íreas

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EXERCÍCIOS SOBRE VOLUMES E ÁREAS DE SÓLIDOS – Prof. MACHADO 
 
1. Determine o volume do parabolóide z = x2 + y2, limitado por D = {(x,y) ε IR2 | 
 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1}. 
 
 V = ∫∫ +
D
22 dy dx )yx( = ∫ ∫ 




+
1
o
1
o
22 dydx )yx( 
 V = dy 
0
1
 x.y
 3
x
 
1
o
2
3
∫ + = ∫ 




+
1
o
2 dy y
3
1
 
 V = 
0 
1
 3
y
y.
3
1 3
+ = 
3
1
3
1
+ = 
3
2
 u.v. 
 
 
 
2. Determine o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos 
coordenados e os gráficos das equações: z = x2 + y2 + 1 e 2x + y = 2. 
 
 Planos coordenados: x = 0, y = 0 e z = 0 x y 
0 2 
1 0 
 
 V = ∫∫ ++
D
22 dy dx )1yx( = ∫ ∫ 




++
−1
o
x22
o
22 dxdy )1yx( 
 
 V = dx 
0
x22
y 
3
y
y.x 
31
o
2 −++∫ 
 
 
 
 V = dx x22
3
)x22(
)x22.(x 
1
o
3
2∫ 





−+
−
+− = ∫ +−+−
1
o
23 dx )14x30x30x14(
3
1
 
 V = 
0
1
x14
 2
x
.30
3
x
.30
 4
x
.14
3
1 234








+−+− = 
6
11
 u.v. 
 
 
3. Determine a área da região limitada pelos gráficos de: 
 2y = 16 – x2 e x + 2y + 4 = 0 
 Solução: Para determinar os pontos interceptos dos gráficos, devemos resolver 
 o sistemas de equações formado por eles. Assim, substituindo (I) em (II), temos: 
 x + 16 – x2 + 4 = 0 x2 – x – 20 = 0 



=
−=
 5x
4x
 
 De (I), temos: y = 8 – 
2
x2
 e De (II), temos: y = –
2
x
 – 2 
 (II) 
 x y 
 0 -2 
 -4 0 
D 
1 
1 
x 
y 
z 
0 
2 
x 
1 
2 
y 
z 
0 
1 
D 
5 
 Substituindo em (II), termos: 
 Para x = – 4 y = –
2
4−
 – 2 = 2 – 2 = 0 P(– 4; 0) 
 Para x = 5 y = –
2
5
 – 2 = –
2
9
 Q(5; – 2
9 ) 
 
 
 A = ∫ ∫−
−
−−
5 
4
2
x
8 
2
2
x
2
dx dy = dx 
2
2
x
2
x
8
 y 
2
5 
4 −−
−
∫− 
 A = dx 2
2
x
2
x
8 
5 
4
2
∫− 





++− 
 A = ∫− 





+−
5 
4
2
dx 
2
x
2
x
10 
 A = 10x – 
4 
5 
 
4
x
6
x 23
−
+ 
 
 A = 





++−−





+− 4
6
64
40
4
25
6
125
50 A = 
4
243
 u.a. ou A = 60,75 u.a. 
 
 
 
y = – 2
2
x
− – 2
9 
5 
x 
y 
8 
P 
Q 
y = 8 – 
2
x2
 
–2 
–4 4