EXERC+ìCIOS DE REVIS+âO - CFVV

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EXERCÍCIOS DE REVISÃO – CFVV – Prof. Machado – 2013 
 
 
01. Qual é o domínio da função f(x, y) = ln (x – y) ? 
 
A) D = {(x, y) ε IR2 | x ≤ y} 
B) D = {(x, y) ε IR2 | x ≠ y} 
C) D = {(x, y) ε IR2 | x > y} 
D) D = {(x, y) ε IR2 | x < y} 
E) D = {(x, y) ε IR2 | x ≥ y} 
 
 Solução: C.E.: x – y > 0 x > y ∴∴∴∴ D(f) = {(x, y) εεεε IR2 | x > y} 
 
02. O valor da integral dupla ∫ ∫ +
1
0
3
1
2 dydx)y3x4( é: 
 
 A) 10 B) 24 C) 30 D) 32 E) 12 
 
 Solução: 
 
 ∫ ∫ +
1
0
3
1
2 dydx)y3x4( =∫ ∫ 




+
=
=
1
0
3y
1y
2 dxdy)y3x4( = ∫ ∫ ∫ 




+
=
=
=
=
1
0
3y
1y
3y
1y
2 dxdyy3xdy4 
 = ∫ ∫ ∫ 




+
=
=
=
=
1
0
3y
1y
3y
1y
2 dxdyy3dyx4 = ∫ 






=
=








+
1
0
3
dx
1y
3y
3
y
.3y.x4 
 = [ ]∫ 




=
=
+
1
0
3 dx
1y
3y
y.y.x4 = [ ] [ ]( )∫ +−+
1
0
33 dx11.x43.3.x4 
 = [ ] [ ]( )∫ +−+
1
0
dx1x427..x12 = ( )∫ −−+
1
0
dx1x427x12 
 = ( )∫ +
1
0
dx26x8 = 8 ∫∫ +
1
0
1
0
dx26xdx = 
0
1
x26
2
x
8
2








+ = 
0
1
)x26x4( 2 + 
 = (4.12 + 26.1) – (4.02 + 26.0) = 4 + 26 = 30 
 
 
03. O raio r e a altura h de um cilindro circular reto aumentam à razão de 0,02 cm/min e 0,03 cm/min, 
 respectivamente. Qual a taxa de variação do volume quando r = 10 cm e h = 5 cm. 
 
 h.rV 2cilindro π= 
 
 A) 6π cm3 / min. 
 B) 2,64π cm3 / min. 
 C) 5π cm3 / min. 
 D) –1,5π cm3 / min. 
 E) π cm3 / min. 
 
 Solução: Regra da Cadeia 
 Suponha que z = f(x, y) seja uma função diferenciável de x e y, onde x = g(t) e y = h(t) são funções 
 diferenciáveis de t. Então z é uma função diferenciável de t e: 
 
dt
dy
.
y
f
dt
dx
.
x
f
dt
dz
∂
∂
+
∂
∂
= 
 
 
 Para os dados do exercício onde o volume de um cilindro é função do raio e da altura, podemos 
formular: 
 Seja V = f(r, h) uma função diferenciável de r (raio) e h (altura), onde r = g(t) e h = w(t) são diferen – 
ciáveis de t. Então, V é uma função diferenciável de t e: 
 
dt
dh
.
h
f
dt
dr
.
r
f
dt
dv
∂
∂
+
∂
∂
= 
 Do enunciado, temos: 02,0
dt
dr
= cm/min., 03,0
dt
dh
= cm/min., r = 10 cm e h = 5 cm 
 A taxa de variação do volume neste caso é: 
 
dt
dh
.
h
f
dt
dr
.
r
f
dt
dv
∂
∂
+
∂
∂
= = 2πrh.
dt
dr
 + πr2.
dt
dh
 = 2π.10.5.0,02 + π.102.0,03 = 2π + 3π = 5ππππ cm3/min. 
 
 
Exemplo extra: A pressão P (em quilopascals), o volume V (em litros) e a temperatura T (em kelvins) 
de um mol de um gás ideal estão relacionados por meio da fórmula PV = 8,31T. Determine a taxa de 
variação da pressão quando a temperatura é de 300 k e está aumentando com a taxa de variação de 
0,1 k/s e o volume é de 100L e está aumentando com a taxa de 0,2 L/s. 
 
 Solução: Se t representa o tempo decorrido, medido em segundos, então a um dado instante 
temos: T = 300, 1,0
dt
dT
= , V = 100, 2,0
dt
dV
= 
 Como PV = 8,31T P = 8,31
V
T
, pela Regra da Cadeia 
 
dt
dV
.
V
P
dt
dT
.
T
P
dt
dP
∂
∂
+
∂
∂
= = 
dt
dV
.
V
T31,8
dt
dT
.
V
31,8
2
− = 2,0.
100
300.31,8
1,0.
100
31,8
2
− = –0,04155 
 
 Portanto, a pressão está decrescendo com a taxa de 0,042 kPa/s