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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE CFVV- LISTA 3

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1 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE CFVVOC – Prof. MACHADO – 2010/1 
LISTA 3 
 
1. A voltagem V em um circuito elétrico que satisfaz a lei V = I.R vai caindo lentamente à 
medida que a bateria descarrega. Ao mesmo tempo a resistência R vai aumentando à 
medida que o resistor esquenta. Use a regra da cadeia, ou seja, a equação: 
 
dt
dR
.
R
V
dt
dI
.
I
V
dt
dV
∂
∂
+
∂
∂
= 
 para descobrir como a corrente está variando no instante em que R = 600Ω, I = 0,04A, 
 =
dt
dR
0,5Ω/s e =
dt
dV
– 0,01V/s 
 
 
dt
dR
.
R
V
dt
dI
.
I
V
dt
dV
∂
∂
+
∂
∂
= 
dt
dR
.I
dt
dI
.R
dt
dV
+= 
 – 0,01 = 600 . 
dt
dI
 + 0,04 . 0,5 – 0,01 = 600 . 
dt
dI
 + 0,02 
 600 . 
dt
dI
 = – 0,03 
dt
dl
 = 
600
03,0
− 
dt
dl
 = – 0,00005 A/s 
 
2. A altura de um cone circular reto é 15 cm e está aumentando de 1 cm/s. O raio da base é 
 10 cm e está diminuindo de 0,5 cm/s. Qual a taxa de variação do volume em relação ao 
 tempo neste instante? 
 Dado: Vcone = 
3
1
π.R2.h 
 
 
 
Do enunciado, temos: h = 15 cm, 
dt
dh
 = 1cm/s, R = 10 cm, 
dt
dR
 = – 0,5 cm/s 
Aplicando a Regra da cadeia, temos: 
dt
dh
.
h
V
dt
dR
.
R
V
dt
dV
∂
∂
+
∂
∂
= = Rh
3
2
π . 
dt
dR
 + 
3
1 2Rπ . 
dt
dh
 = 
3
2
π.10.15.(– 0,5) + 
3
1
π.102.1 
dt
dV
 = –
3
150
π + 
3
100
π 
dt
dV
 =
3
50
− π cm3/s 
 
3. Determine a derivada direcional de f(x; y) = y. lnx, no ponto P(1; –3) e na direção do 
vetor 





−=
5
3
 ;
5
4
u . 
I) =
∂
∂
x
f
 y . 
x
1
 = 
x
y
 )3 ;1(
x
f
−
∂
∂
 = 
1
3−
 = –3 
II) =
∂
∂
y
f
 ln x )3 ;1(
x
f
−
∂
∂
 = ln 1 = 0 
III) )3 ;1(f −∇ = –3. i+ 0. j = (–3; 0) 
IV) |u | = 
22
5
3
5
4






+





− = 
25
9
25
16
+ = 
25
25
 = 1 = 1 (u é vetor unitário) 
V) =fDu )3 ;1(f −∇ .u = (–3; 0) . 





−
5
3
 ;
5
4
 = (–3) . 





−
5
4
 + 0 . 
5
3
 = 
5
12
 
 
+ 
V 
- 
I 
R 
2 
4. Determinar a derivada direcional da função f(x; y) = 
y
x
, no ponto P(6; –2) e na direção 
do vetor v = (– 4; 3) 
I) =
∂
∂
x
f
 D 





v
u
= 
2
xx
v
u.'vv.'u −
 = 
2y
x.0y.1 −
 = 
y
1
y
y
2
= )2;6(
x
f
−
∂
∂
 = 
2
1
−
 = 
2
1
− 
II) =
∂
∂
y
f
 D 





v
u
= 
2
yy
v
u.'vv.'u −
 = 
2y
x.1y.0 −
 = 
2y
x−
 )2;6(
x
f
−
∂
∂
 = 
2)2(
6
−
−
 = 
4
6−
 = 
2
3
− 
III) )2;6(f −∇ = –
2
1
. i – 
2
3
. j = 





−−
2
3
 ;
2
1
 
IV) versor de v : 
 | v | = 5259163)4( 22 ==+=+− 
 u = 
|v|
1
. v = 
5
1
 . (– 4; 3) = 





−
5
3
 ;
5
4
 
V) =fDu )2;6(f −∇ .u = 





−−
2
3
 ;
2
1
. 





−
5
3
 ;
5
4
= 





−
2
1
. 





−
5
4
+ 





−
2
3
.
5
3
 = 
10
4
–
10
9
=
10
5
− 
 
 5. Calcule a derivada direcional da função f(x; y) = x3 – 2x2y + xy2 – 1, no ponto P(1; 2) e 
 na direção do vetor j8i6v += . 
 I) =
∂
∂
x
f
 3x2 – 4xy + y2 )2 ;1(
x
f
∂
∂
 = 3.12 – 4.1.2 + 22 = 3 – 8 + 4 = –1 
 II) =
∂
∂
y
f
 – 2x2 + 2xy )2 ;1(
y
f
∂
∂
 = – 2.12 + 2.1.2 = – 2 + 4 = 2 
 III) )2 ;1(f∇ = –1. i – 2. j = (–1; 2) 
 IV) versor de v = (6; 8) 
 | v | = 10100643686 22 ==+=+ 
 u = 
|v|
1
. v = 
10
1
 . (6; 8) = 





5
4
 ;
5
3
 
 V) =fDu )2 ;1(f∇ .u = (–1; 2) . 





5
4
 ;
5
3
 = – 
5
3
 + 
5
8
 = 
5
5
 = 1 
 
6. Determine o volume do sólido dado pela função f(x; y) = 16 – x2 – 2y2 (parabolóide 
elíptico) limitado pela região R dada por: R = {(x; y) ε IR2 | 0 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 2} 
 
 
 
 
 
 V = ∫∫ −−
R
22 dA )y2x16( 
 
 
 
 Do Teorema de Guido Fubini (1907), temos: 
 
z 
x 
y 2 2 
0 
16 
3 
 V = ∫ ∫ 




−−
2
0
2
0
22 dydx )y2x16( = ∫ 






−−
2
0
2
0
2
3
dy )xy2
3
x
x16( 
 = ∫ 






−−−
2
0
2
3
dy )0()2.y2
3
2
2.16( = ∫ 



 −−
2
0
2 dy y4
3
8
32 = ∫ 



 −
2
0
2 dy y4
3
88
 
 = 
2
0
3
3
y
.4y
3
88
− = )0(
3
2
.42.
3
88 3
−







− = 
3
144
3
32
3
176
=− V = 48 u.v. 
 
7. Determine o volume do parabolóide z = x2 + y2, limitado por D = {(x,y) ε IR2 | 
 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1}. 
 
 V = ∫∫ +
D
22 dy dx )yx( = ∫ ∫ 




+
1
o
1
o
22 dydx )yx( 
 V = dy 
0
1
 x.y
 3
x
 
1
o
2
3
∫ + = ∫ 



 +
1
o
2 dy y
3
1
 
 V = 
0 
1
 3
y
y.
3
1 3
+ = 
3
1
3
1
+ = 
3
2
 u.v. 
 
 
 
 
 
8. Determine o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados 
e os gráficos das equações: z = x2 + y2 + 1 e 2x + y = 2. 
 
 Planos coordenados: x = 0, y = 0 e z = 0 x y 
0 2 
1 0 
 
 V = ∫∫ ++
D
22 dy dx )1yx( = ∫ ∫ 




++
−1
o
x22
o
22 dxdy )1yx( 
 
 V = dx 
0
x22
y 
3
y
y.x 
31
o
2 −++∫ 
 
 
 
 
 V = dx x22
3
)x22(
)x22.(x 
1
o
3
2∫ 





−+
−
+− = ∫ +−+−
1
o
23 dx )14x30x30x14(
3
1
 
 
 V = 
0
1
x14
 2
x
.30
3
x
.30
 4
x
.14
3
1 234








+−+− = 
6
11
 u.v. 
 
D 
1 
1 
x 
y 
z 
0 
2 
x 
1 
2 
y 
z 
0 
1 
D 
5 
4 
9. Determine a área da região limitada pelos gráficos de: 
 2y = 16 – x2 e x + 2y + 4 = 0 
 
 Solução: Para determinar os pontos interceptos dos gráficos, devemos resolver 
 o sistemas de equações formado por eles. Assim, substituindo (I) em (II), temos: 
 x + 16 – x2 + 4 = 0 x2 – x – 20 = 0 



=
−=
 5x
4x
 
 De (I), temos: y = 8 – 
2
x2
 e De (II), temos: y = –
2
x
 – 2 
 Substituindo em (II), termos: 
 Para x = – 4 y = –
2
4−
 – 2 = 2 – 2 = 0 P(– 4; 0)Para x = 5 y = –
2
5
 – 2 = –
2
9
 Q(5; – 2
9 ) 
 
 
 A = ∫ ∫−
−
−−
5 
4
2
x
8 
2
2
x
2
dx dy = dx 
2
2
x
2
x
8
 y 
2
5 
4 −−
−
∫− 
 A = dx 2
2
x
2
x
8 
5 
4
2
∫− 





++− 
 A = ∫− 





+−
5 
4
2
dx 
2
x
2
x
10 
 A = 10x – 
4 
5 
 
4
x
6
x 23
−
+ 
 
 A = 





++−−





+− 4
6
64
40
4
25
6
125
50 A = 
4
243
 u.a. ou A = 60,75 u.a. 
 
 
 15. Calcular a integral dupla ∫∫
R
33 dA yx , onde R = {(x; y) ε IR2| 0 ≤ x ≤ 1; x ≤ y ≤ 1} 
 Do Teorema do matemático Italiano Guido Fubini (1879 – 1943), temos: 
 
 ∫∫
R
33 dA .yx = ( )∫ ∫
1
0
1
x
33 dxdy yx = ∫ ∫ 



1
0
1
33 (x dxdy)y
x
 = ∫
=
=






1
0
1y
xy
4
3 dx 
4
y
.x 
 = ∫ 






−
1
0
4
3
4
3 dx 
4
x
.x
4
1
.x = ∫ 



 −
1
0
73 dx x.
4
1
x.
4
1
 = 
1
0
84
8
x
.
4
1
4
x
.
4
1








− = 
 =
1
0
84 x.
32
1
x.
16
1



 − = 01.
32
1
1.
16
1 84 −





− = 
32
1
16
1
− = 
32
12 −
 = 
32
1
 
 
 
 
16. Calcular o volume da figura representada no gráfico abaixo usando integral tripla. 
 (II) 
 x y 
 0 -2 
 -4 0 
y = – 2
2
x
− – 2
9 
5 
x 
y 
8 
P 
Q 
y = 8 – 
2
x2
 
–2 
–4 4 
5 
 
 R: 





≤≤
≤≤
≤≤
3z0
4y1
5x3
 V = dxdydz 
5 x
3 x
4 y
1 y
3z 
0z ∫∫∫
=
=
=
=
=
=
 
 = dydzx 
5x
3x
4 y
1 y
3z 
0z 






 =
=
=
=
=
= ∫∫ 
 = dydz)35( 
4 y
1 y
3z 
0z 






−∫∫
=
=
=
=
 
 = dydz2 
4 y
1 y
3z 
0z 






∫∫
=
=
=
=
 
 V = dzy2 
4y
1y
3z 
0z 
=
=
=
=∫ = dz)1.24.2( 
3z 
0z 
−∫
=
=
 = dz6 
3z 
0z ∫
=
=
 = 
3z
0z
 z6
=
=
 = 6 . 3 – 6 . 0 = 18 – 0 = 18 u.v. 
 
10. Determinar uma equação do plano tangente ao gráfico da função f(x; y) = 2x2 + y2, no 
 ponto P(1; 1). 
I) =
∂
∂
x
f
 4x )1 ; 1(
x
f
∂
∂
 = 4 . 1 = 4 
II) =
∂
∂
y
f
 2y )1 ; 1(
y
f
∂
∂
 = 2 . 1 = 2 
III) f(xo; yo) = f(1; 1) = 2 . 1
2 + 12 = 3 
IV) Equação do plano tangente: 
 z = ),()).(,()).(,( oooooooo yxfyyyx
y
f
xxyx
x
f
+−
∂
∂
+−
∂
∂
 
 z = )1 ; 1(f)1y).(1 ; 1(
y
f
)1x).(1 , 1(
x
f
+−
∂
∂
+−
∂
∂
 = 4 . (x – 1) + 2 . (y – 1) + 3 
 z = 4x – 4 + 2y – 2 + 3 z = 4x + 2y – 3 4x + 2y – z – 3 = 0 
 
11. Determinar uma equação do plano tangente ao gráfico da função f(x; y) = ln(2x + y), 
 no ponto P(–1; 3). 
 I) =
∂
∂
x
f
 D(ln u) = 
u
'u x = 
yx2
2
+
 )3 ; 1(
x
f
−
∂
∂
 = 
3)1.(2
2
+−
 = 
1
2
 = 2 
 II) =
∂
∂
y
f
 D(ln u) = 
u
'u y
 = 
yx2
1
+
 )3 ; 1(
y
f
−
∂
∂
 = 
3)1.(2
1
+−
 = 
1
1
 = 1 
III) f(xo; yo) = f(–1; 3) = ln [2.(–1) + 3] = ln(–2 + 3) = ln 1 = 0 
IV) Equação do plano tangente: 
 z = ),()).(,()).(,( oooooooo yxfyyyx
y
f
xxyx
x
f
+−
∂
∂
+−
∂
∂
 
 z = )3 ; 1(f)3y).(3 ; 1(
y
f
)1x).(3 , 1(
x
f
−+−−
∂
∂
++−
∂
∂
 = 2 . (x + 1) + 1 . (y – 3) + 0 
 z = 2x + 2 + y – 3 z = 2x + y – 1 2x + y – z – 1 = 0 
 
12. Determinar uma equação do plano tangente ao gráfico da função f(x; y) = sen(x + y), 
 no ponto P(1; –1). 
 I) =
∂
∂
x
f
 D(sen u) = u’x . cos u = 1.cos(x + y) ) 1 ;1(
x
f
−
∂
∂
 = cos(1 – 1) = cos 0 = 1 
3 
5 
1 
4 
3 
x y 
z 
0 
6 
 II) =
∂
∂
y
f
 D(sen u) = u’y . cos u = 1.cos(x + y) ) 1 ;1(
x
f
−
∂
∂
 = cos(1 – 1) = cos 0 = 1 
 III) f(xo; yo) = f(1; –1) = sen (1 – 1) = sen 0 = 0 
 IV) Equação do plano tangente: 
 z = ),()).(,()).(,( oooooooo yxfyyyx
y
f
xxyx
x
f
+−
∂
∂
+−
∂
∂
 
 z = )1 ; 1(f)1y).(1 ; 1(
y
f
)1x).(1 , 1(
x
f
−++−
∂
∂
+−−
∂
∂
 = 1 . (x – 1) + 1 . (y + 1) + 0 
 z = x – 1 + y + 1 z = x + y x + y – z = 0 
 
 13. Determinar uma equação do plano tangente ao gráfico da função f(x; y) = ex. cosy, no 
 ponto P(0; π). 
 I) =
∂
∂
x
f
 D(k. ex) = k . ex = ex . cosy ) ;0(
x
f
π
∂
∂
 = e0. cos π = 1 . (– 1) = – 1 
 II) =
∂
∂
y
f
 D(k. cos y) = k.(– sen y) = – ex. seny ) ;0(
x
f
π
∂
∂
= – e0.sen π = – 1.0 = 0 
 III) f(xo; yo) = f(0; π) = e
0 . cos π = 1 . (– 1) = – 1 
 IV) Equação do plano tangente: 
 z = ),()).(,()).(,( oooooooo yxfyyyx
y
f
xxyx
x
f
+−
∂
∂
+−
∂
∂
 
 z = ) ; 0(f)y).( ; 0(
y
f
)0x).( ; 0(
x
f
π+π−π
∂
∂
+−π
∂
∂
 = – 1 . (x – 0) + 0 . (y –π) + (–1) 
 z = – x + 0 – 1 z = – x – 1 x + z + 1 = 0 
 
14. Uma função f é dita homogênea de grau n se satisfaz a equação f(tx; ty) = nt . f(x; y) 
 para todo valor de t, onde n é um número inteiro. 
 I) verifique se f(x; y) = x2y + 2xy2 + 5y3 é homogênea e determine o seu grau. 
 f(tx; ty) = (tx)2.ty + 2.(tx).(ty)2 + 5.(ty)3 = t2x2.ty + 2.tx.t2y2 + 5.t3.y3 
 = t3x2y + 2t3xy2 + 5t3y3 = t3.(x2y + 2xy2 + 5y3) = t3. f(x; y) 
 Como f(tx; ty) = 3t . f(x; y), concluímos que f é homogênea de grau 3. 
 II) verificar se f(x; y) = 
yx
yx
+
−
 é homogênea e determinar o seu grau. 
 f(tx; ty) = 
tytx
tytx
+
−
= 
)yx(t
)yx(t
+
−
 = 0t . 
yx
yx
+
−
 = 0t . f(x; y) 
 Como f(tx; ty) = t 0 . f(x; y), concluímos que f é homogênea de grau zero. 
 
 III) verificar se f(x; y) = yx + é homogênea e determinar o seu grau. 
 f(tx; ty) = tytx + = t . x + t . y = t . ( yx + ) = t 2
1
.( yx + ) 
 f(tx; ty) = t 2
1
. f(x; y) 
 Como f(tx; ty) = t 2
1
. f(x; y), concluímos que f é homogênea de grau 1/2. 
 
 IV) verificar se f(x; y) = 3 22 yx + é homogênea e determine o seu grau. 
 f(tx; ty) = 3 22 )ty()tx( + = 3 2222 y.tx.t + = 3 222 )yx.(t + 
 = 3 2t . 3 22 yx + = 3
2
t . 3 22 yx + = 3
2
t . f(x; y) 
 Como f(tx; ty) = 3
2
t . f(x; y), concluímos que f é homogênea de grau 2/3.

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