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Aula 45 - A Linguagem Matemática

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44
A U L A
Observe o texto abaixo. Ele foi extraído de
um livro de geometria chinŒs. Veja se, mesmo sem saber chinŒs, vocŒ
consegue entender o tema do texto, ou seja, sobre o que o texto fala. O que
estÆ sendo demonstrado?
44
A U L A
A linguagem
matemÆtica
Para pensar
44
A U L A Ao procurar num dicionÆrio a palavra linguagemlinguagemlinguagemlinguagemlinguagem, vocŒ encontra vÆrias
definiçıes. Veja duas delas, encontradas no Novo DicionÆrio AurØlio daNovo DicionÆrio AurØlio daNovo DicionÆrio AurØlio daNovo DicionÆrio AurØlio daNovo DicionÆrio AurØlio da
Língua PortuguesaLíngua PortuguesaLíngua PortuguesaLíngua PortuguesaLíngua Portuguesa:
linguagem.linguagem.linguagem.linguagem.linguagem. 1. 1. 1. 1. 1. O uso da palavra articulada ou escrita como meio de
expressªo ou da comunicaçªo entre pessoas. 2.2.2.2.2. O vocabulÆrio especí-
fico usado numa ciŒncia, numa arte, numa profissªo etc.
Como vocŒ pode ver, a linguagem Ø uma forma de expressar determi-
nada idØia. Na vida prÆtica, existem diferentes maneiras de comunicar as
idØias: pela linguagem falada, pela escrita, pela musical etc.
A MatemÆtica tambØm criou uma forma de comunicaçªo. Ela se utiliza
de uma linguagem universal para transmitir suas idØias de maneira simples,
curta e precisa.
l Simples e curtaSimples e curtaSimples e curtaSimples e curtaSimples e curta porque com apenas alguns símbolos ela pode expressar
frases que, se escritas na linguagem corrente, usariam maior quantidade de
símbolos. Por exemplo, a frase:
Dois somado com trŒs Ø igual a cinco,Dois somado com trŒs Ø igual a cinco,Dois somado com trŒs Ø igual a cinco,Dois somado com trŒs Ø igual a cinco,Dois somado com trŒs Ø igual a cinco,
se escrita na linguagem matemÆtica, usa apenas cinco símbolos, que
podem ser compreendidos por qualquer pessoa familiarizada com os
símbolos matemÆticos:
2 + 3 = 52 + 3 = 52 + 3 = 52 + 3 = 52 + 3 = 5
l PrecisaPrecisaPrecisaPrecisaPrecisa porque deve indicar uma idØia com precisªo, com exatidªo, isto Ø,
sem falhas.
O uso de letras na MatemÆtica
AlØm dos algarismos e dos sinais de operaçªo (+, -, ·, ¸ : , , etc), a
linguagem matemÆtica tambØm utiliza letras em sua comunicaçªo. Veja alguns
exemplos:
EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Considere as multiplicaçıes do mœmero 1 por outros nœmeros:
1 . 0 = 01 . 0 = 01 . 0 = 01 . 0 = 01 . 0 = 0
1 . 1 = 11 . 1 = 11 . 1 = 11 . 1 = 11 . 1 = 1
1 . 2 = 21 . 2 = 21 . 2 = 21 . 2 = 21 . 2 = 2
1 . 3 = 31 . 3 = 31 . 3 = 31 . 3 = 31 . 3 = 3
VocŒ jÆ deve ter percebido que o nœmero 1 multiplicado por um nœmeroo nœmero 1 multiplicado por um nœmeroo nœmero 1 multiplicado por um nœmeroo nœmero 1 multiplicado por um nœmeroo nœmero 1 multiplicado por um nœmero
qualquer sempre resulta nesse nœmeroqualquer sempre resulta nesse nœmeroqualquer sempre resulta nesse nœmeroqualquer sempre resulta nesse nœmeroqualquer sempre resulta nesse nœmero. Daí, podemos usar uma letra para
representar esse fato:
11111 ..... x = x x = x x = x x = x x = x
onde a letra xxxxx estÆ representando um nœmero qualquerum nœmero qualquerum nœmero qualquerum nœmero qualquerum nœmero qualquer.
Nossa aula
44
A U L A
As propriedades da adiçªo ou da multiplicaçªo tambØm podem ser expressas
por letras. É o caso, por exemplo, da propriedade distributiva da multipli-propriedade distributiva da multipli-propriedade distributiva da multipli-propriedade distributiva da multipli-propriedade distributiva da multipli-
caçªo sobre a adiçªocaçªo sobre a adiçªocaçªo sobre a adiçªocaçªo sobre a adiçªocaçªo sobre a adiçªo, que vocŒ jÆ aprendeu e que pode ser representada
por:
a a a a a ····· (b + c) = a (b + c) = a (b + c) = a (b + c) = a (b + c) = a ····· b + a b + a b + a b + a b + a ····· c c c c c
onde as letras aaaaa, b b b b b e c c c c c representam nœmeros quaisquer.
Vejamos agora uma outra situaçªo. Observe:
0 + 0 = 0 . 00 + 0 = 0 . 00 + 0 = 0 . 00 + 0 = 0 . 00 + 0 = 0 . 0
2 + 2 = 2 . 22 + 2 = 2 . 22 + 2 = 2 . 22 + 2 = 2 . 22 + 2 = 2 . 2
SerÆ que esses exemplos sªo suficientes para afirmar que x + x = x ..... x?
Basta escolher um exemplo bem simples para verificar que nªonªonªonªonªo: 1 + 1 nªo
Ø igual a 1 ..... 1.
Portanto, como esse fato nªo Ø vÆlido para qualquer nœmero, nªo podemos
escrever que x + x = x ····· x.
O uso de letras na geometria
As letras tambØm podem ser usadas para indicar algumas “fórmulas” da
geometria. Por exemplo:
l A Ærea de um quadrado pode ser expressa por l ²† , onde l representa o lado
desse quadrado.
l A Ærea de um retângulo pode ser expressa por a · ba · ba · ba · ba · b, onde aaaaa e bbbbb representam
as dimensıes do retângulo. O perímetro do retângulo pode ser expresso
por 2a + 2b2a + 2b2a + 2b2a + 2b2a + 2b ou 2 (a + b) 2 (a + b) 2 (a + b) 2 (a + b) 2 (a + b).
l A soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer pode ser
expressa por (n (n (n (n (n - 2) · 180” 2) · 180” 2) · 180” 2) · 180” 2) · 180”. Volte à Aula 43 e veja o que significam a letra
nnnnn e a expressªo n n n n n - 2 2 2 2 2.
lado = = = = = l
área = = = = = l . . . . . l = = = = = l ²
l
l
Considere dois nœmeros quaisquer cuja soma seja igual a 5.Esse fato
pode ser representado por:
 a + b = 5
onde a e b representam os nœmeros que somados dªo 5.
EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3
EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
44
A U L A A linguagem matemÆtica e a resoluçªo de problemas
A linguagem matemÆtica tornou-se, hoje em dia, um instrumento impor-
tante para resolver problemas. Com ela podemos traduzir os dados do problema
que estªo em linguagem corrente, ou seja, podemos equacionarequacionarequacionarequacionarequacionar o problema.
Nos exemplos seguintes, hÆ uma tabela com o problema em linguagem corrente
e sua traduçªo para a linguagem matemÆtica. Veja:
EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
A metade de um nœmero Ø igual a 6.
Qual Ø esse nœmero ? x = ?
A soluçªo desse problema Ø a soluçªo da equaçªo matemÆtica x
2
= 6 . No
momento, nªonªonªonªonªo vamos aprender a resolver equaçıes. Nosso objetivo,
agora, Ø apenas saber o que Ø o que Ø o que Ø o que Ø o que Ø e para que servepara que servepara que servepara que servepara que serve a linguagem matemÆ-
tica.
Uma pessoa tinha uma determinada x
quantia de dinheiro.
No primeiro mŒs gastou 100 reais. x - 100
No segundo mŒs gastou metade do
que sobrou,
ficando com 80 reais. 80
Qual era a quantia inicial? x = ?
Para descobrir o valor de xxxxx, basta resolver a œltima equaçªo. Mas, como jÆ
dissemos, esse nªo Ø o nosso objetivo no momento.
x
2
= 6
 EMEMEMEMEM LINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEM CORRENTECORRENTECORRENTECORRENTECORRENTE EMEMEMEMEM LINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEM MATEM`TICAMATEM`TICAMATEM`TICAMATEM`TICAMATEM`TICA
EMEMEMEMEM LINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEM CORRENTECORRENTECORRENTECORRENTECORRENTE EMEMEMEMEM LINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEM MATEM`TICAMATEM`TICAMATEM`TICAMATEM`TICAMATEM`TICA
x = 100 +
x -100
2
+ 80
{ { {
gastou no
1” mŒs
gastou no
2” mŒs
sobrou
x -100
2
EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
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A U L AExercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Escreva as seguintes frases em linguagem matemÆtica:
a)a)a)a)a) O dobro de um nœmero.
b)b)b)b)b) O triplo de um nœmero.
c)c)c)c)c) Um nœmero menos sete.
d)d)d)d)d) Metade de um nœmero, mais um.
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Como vocŒ escreveria em linguagem matemÆtica as frases seguintes?
a)a)a)a)a) A ordem dos fatores nªo altera o produto.
b)b)b)b)b) A ordem das parcelasnªo altera a soma.
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Considere um retângulo cujo perímetro Ø 20 cm.
a)a)a)a)a) Escreva, em linguagem matemÆtica, uma expressªo para representar
esse fato.
b)b)b)b)b) DŒ alguns exemplos para as medidas das dimensıes desse retângulo.
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Complete a frase:
Sempre que o desconto Ø de 50%, pagamos apenas metade do preço. Se o
preço Ø xxxxx, pagamos ........................
Exercícios

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