1ª Prova 2011 - Sequências e Séries - Prof Marivaldo Matos

Prévia do material em texto

UFPB - CCEN - Departamento de Matemática
SÉRIES & EDO prof. MPMatos
EXAME No 1 SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS
GABARITO - PROVA A
01 CALCULANDO LIMITES Em cada caso, calcule o limite da sequência (an).
a an = n
p
2n + 3n +
p
n sen (2=n) b an =
5n
(2n)!
:
SOLUÇÃO
a lim an = lim (2n + 3n)
1=n = lim f3n [(2=3)n + 1]g1=n = 3 lim [(2=3)n + 1]1=n = 3:
b Usando o Teste da Razão:
L = lim
���an+1
an
��� = lim � 5n+1
(2n+ 2)!
� (2n)!
5n
�
= lim
�
5
(2n+ 2) (2n+ 1)
�
= 0:
Como L < 1, segue do Teste da Razão que lim an = 0:
02 VERDADEIRO (V) OU FALSO (F) Assinale V ou F, justi…cando as a…rmações falsas.
a (V) Se (an) é alternada e convergente, então lim an = 0.
b (F) Se o valor da soma 1 + 1=x+ 1=x2 + 1=x3 + � � � é 4, então x = 3=4:
(justi…cativa) A soma 1 + 1=x + 1=x2 + 1=x3 + � � � é a série geométrica
1P
n=1
(1=x)n�1 de razão 1=x, cujo
valor é
1
1� 1=x . Logo,
4 =
1
1� 1=x ) x = 4=3:
c (F) Se (an) é convergente e (bn) é limitada, então (anbn) converge.
(justi…cativa) Considere as sequências an = 1 (convergente, com limite 1) e bn = (�1)n (limitada). A
sequência produto (an � bn) é a sequência (�1)n alternada e divergente.
d (V) O valor da soma da série da série
1X
n=1
(�1)n
n
não ultrapassa �0:57.
e (F) Se
1X
n=1
an converge condicionalmente, então
1X
n=1
(an � janj) converge.
(justi…cativa) Se a série
1P
n=1
(an � janj) fosse econvergente, então a série
1P
n=1
janj também seria, já que
janj = an � (an � janj) e, assim, teríamos convergência absoluta e não condicional da série
1P
n=1
an:
03 CALCULANDO UMA SOMA INFINITA Considere a série de encaixe
1X
n=3
3
n2 � 3n+ 2 .
a Escreva a série na forma padrão
1X
n=3
(bn � bn+1) e encontre uma expressão para a soma parcial Sn:
b Calcule a soma da série.
SOLUÇÃO
a Inicialmente, observe que
1X
n=3
3
n2 � 3n+ 2 =
1X
n=3
�
3
n� 2 �
3
n� 1
�
=
1X
n=3
(bn � bn+1) : (aqui bn = 3
n� 2 ; n � 3:)
b Para n � 3, temos Sn = (b3 � b4) + (b4 � b5) + (b5 � b6) + � � � (bn � bn+1) = b3� bn+1e, considerando
que bn+1 =
3
n� 1 ! 0, encontramos
1X
n=3
3
n2 � 3n+ 2 = limSn = b3 = 3:
A soma pode ser calculada de outra maneira, reindexando a série com k = n� 2. Temos
1X
n=3
3
n2 � 3n+ 2 =
1X
n=3
�
3
n� 2 �
3
n� 1
�
=
1X
k=1
�
3
k
� 3
k + 1
�
= b1 � lim
k!1
bk = 3: (aqui bk = 3=k:)
04 TESTANDO A CONVERGÊNCIA Use o critério indicado e investigue a convergência das séries:
a
1X
n=1
n+
p
n
n4 + n2 + 1
(Critério da Comparação Direta)
c
1X
n=1
lnn
n2
(Critério da Comparação no Limite)
c
1X
n=1
�
3n
2n+ 1
�
(Critério do n-ésimo Termo)
SOLUÇÃO
a (convergente) Basta observar que
an =
n+
p
n
n4 + n2 + 1
� n+ n
n4 + n2 + 1
� 2n
n4
=
2
n3
= bn: (
X 2
n3
é uma p-série convergente)
b (convergente) Considerando a sequência de prova bn = 1=n3=2, obtemos:
lim
an
bn
= lim
lnn
n1=2
= (usar L’ôpital) = lim
1
n
1
2
p
n
= lim
2p
n
= 0: (
X 1
n3=2
é uma p-série convergente)
b (divergente) O termo geral da série é an =
3n
2n+ 1
e, portanto,
2
lim an = lim
3n
2n+ 1
= (usar L’ôpital) = lim
3
2
: (lim an 6= 0)
X
an é divergente)
FIM
3
UFPB - CCEN - Departamento de Matemática
SÉRIES & EDO prof. MPMatos
EXAME No 1 SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS
GABARITO - PROVA B
01 QUESTÕES DO TIPO MÚLTIPLA ESCOLHA Escolha apenas uma alternativa.
A Se an = n sen (1=n) e bn = 2 +
(�1)n
n
, o valor da expressão lim an + lim bn é:
a ( ) �3 b (X) 3 c ( ) 0 d ( ) 1 e ( ) 2.
B As séries
1P
n=1
sen2 (1=n) e
1P
n=1
n sen (1=n) são respectivamente:
a ( ) Divergente e Convergente.
b ( ) Divergente e Divergente.
c ( ) Convergente e Convergente.
d (X) Convergente e Divergente.
C Se
1P
n=1
an e
1P
n=1
bn são séries de termos positivos e lim
n!1
an
bn
=1, então:
a ( ) As séries são ambas divergentes;
b ( ) Se
1P
n=1
an é convergente, então
1P
n=1
bn é convergente;
c ( ) Se
1P
n=1
bn é divergente, então
1P
n=1
an é divergente;
d (X) As alternativas (b) e (c) estão corretas.
D Se a série
1P
n=1
an converge absolutamente, então:
a (X)
1P
n=1
(an + janj) e
1P
n=1
(an � janj) são convergentes.
b ( )
1P
n=1
(an + janj) e
1P
n=1
(an � janj) são divergentes.
c ( )
1P
n=1
(an + janj) converge e
1P
n=1
(an � janj) diverge.
d ( )
1P
n=1
(an + janj) diverge e
1P
n=1
(an � janj) converge.
E Se 1 + 1=x+ 1=x2 + 1=x3 + � � � = 2, então o valor de x é:
a (X) 2 b ( ) 3 c ( ) 1=2 d ( ) 1=3 e ( ) 2=3.
02 CONSTRUINDO EXEMPLOS Em cada caso, dê um exemplo para ilustrar a situação.
a Uma sequência alternada e convergente.
b Uma sequência alternada e divergente.
c Duas séries convergentes
1P
n=1
an e
1P
n=1
bn; tais que
1P
n=1
(anbn) seja divergente.
d Uma sequência convergente (an) e outra limitada (bn) ; tais que (anbn) seja divergente.
e Duas séries divergentes
1P
n=1
an e
1P
n=1
bn; tais que
1P
n=1
(an + bn) seja convergente.
SOLUÇÃO
a A sequência an =
(�1)n
n
é alternada e convergente. Seu limite é zero.
b A sequência an = (�1)n é alternada e divergente. Note que a subsequência par tem limite 1 e a
subsequência ímpar tem limite �1.
c Considere as sequências an = 1 (convergente, com limite 1) e bn = (�1)n (limitada). A sequên-
cia produto (an � bn) é a sequência (�1)n alternada e divergente (a subsequência par tem limite 1 e a
subsequência ímpar tem limite �1).
d Se an =
(�1)np
n
e bn =
(�1)np
n
, então as séries
P
an e
P
bn são convergentes, como consequência do
critério de Leibniz e, contudo, a série "produto"
P
(an � bn) é a série harmônica
P 1
n
divergente.
03 CALCULANDO UMA SOMA INFINITA Seja S a soma da série
1P
n=1
nxn; sendo 0 < x < 1.
a Usando o Teste da Razão para sequências, mostre que lim
�
nxn+1
�
= 0:
b Mostre que Sn � xSn = x
�
1 + x2 + x3 + � � �+ xn�1�� nxn+1 e obtenha uma expressão para Sn:
c Calcule o valor da soma, como limite da sequência parcial Sn:
SOLUÇÃO
a Considerando bn = nxn+1, temos lim
����bn+1bn
���� = lim ����nxn+1nxn
���� = jxj < 1 e, portanto, lim bn = 0.
b O termo geral da série é an = nxn e, sendo assim,
Sn = a1 + a2 + � � �+ an = x+ 2x2 + 3x3 + � � �+ nxn e
xSn = x
2 + 2x3 + 3x4 + � � �+ (n� 1)xn + nxn+1:
Logo,
Sn � xSn = x+ x2 + x3 + � � �+ xn � nxn+1
= x
�
1 + x+ x2 + � � �+ xn�1�� nxn+1
e daí resulta
Sn =
x
1� x
�
1 + x+ x2 + � � �+ xn�1�� nxn+1
1� x
=
x
1� x
�
1� xn
1� x
�
� nx
n+1
1� x :
c Considerando que xn ! 0 e nxn+1 ! 0, tomamos o limite na última igualdade, com n ! 1, e
obtemos 1X
n=1
nxn = limSn =
x
(1� x)2 :
04 TESTANDO A CONVERGÊNCIA Use o critério indicado e investigue a convergência das séries.
a
1X
n=1
n
n4 + n2 � 1 (Critério da Comparação Direta)
b
1X
n=1
"
3n
2n+ 1
+
(�1)n+1
n
#
(Critério do n-ésimo Termo)
SOLUÇÃO
a (convergente) Temos
an =
n
n4 + n2 � 1 �
n
n4
=
1
n3
= bn: (
X 1
n3
é uma p-série convergente)
b (divergente) Temos
lim an = lim
"
3n
2n+ 1
+
(�1)n+1
n
#
= lim
3n
2n+ 1
+ lim
(�1)n+1
n
= 3=2: (lim an 6= 0)
X
an é divergente)
FIM
6
	Prova A
	Prova B