1ª Prova 2014 Sequências e Séries Prof Marivaldo Matos

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EXAME N. 1 - GABARITO - PROVA 1
01 FALSO OU VERDADEIRO Classi…que as a…rmações abaixo em falso (F) ou verdadeiro (V), jus-
ti…cando a resposta.
(a) (F) Se an =
1
2n� 7 ; então sup (an) + inf (an) = �1:
(b) (F) A sequência de termo geral an = (�1)n + (2n + 3n)1=n converge para 3:
(c) (V) Se an > 0; 8n; e lim
n!1
�
1
nan
�
= 0 então
1P
n=1
an diverge.
(d) (F) Se a sequência (�1)nan é convergente, então lim an = 0:
::::::::::::::::::
JUSTIFICATIVAS
(a) A sequência (an) converge para zero e seus primeiros termos são:
�1
5
; � 1
3
; �1 ; 1 ; 1
3
;
1
5
; : : : # 0:
Vemos que sup (an) = 1 e inf (an) = �1, de onde resulta que sup (an) + inf (an) = 0:
(b) Temos que
an = (�1)n + (2n + 3n)1=n = (�1)n + 3
��
2
3
�n
+ 1
�1=n
;
de onde segue que ��������
a2n = 1 + 3
h�
2
3
�2n
+ 1
i1=2n ! 1 + 3 = 4
a2n�1 = �1 + 3
h�
2
3
�2n
+ 1
i1=2n ! �1 + 3 = 2:
Como lim a2n 6= lim a2n�1, deduzimos que a sequência (an) é divergente.
(c) Olhando a hipótese lim
n!1
�
1
nan
�
= 0 sob a forma
lim
n!1
�
1=n
an
�
= 0
vemos que a sequência (an) torna-se, a partir de certa ordem, maior do que 1=n e como a série
P
1=n é
divergente, então a série
P
an também diverge, por comparação.
(d) A sequência an = (�1)n é divergente e, contudo, a sequência bn = (�1)n an converge para 1:
02 CALCULANDO SOMAS INFINITAS Em cada caso, calcule o valor da soma da série:
(a)
1X
n=3
22n�1 cos(n� + �3 )
6n�1
(b)
1X
n=2
�
1
n
p
2
� 1
n+1
p
2
�
:
::::::::::
SOLUÇÃO
(a) Trata-se de uma série geométrica e para colocá-la na forma padrão, usamos a relação
cos(n� + �3 ) = cos (n�) cos (�=3) =
1
2 (�1)n
e chegamos a:
1X
n=3
22n�1 cos(n� + �3 )
6n�1
=
1X
n=3
22n�2 (�1)n
6n�1
=
1X
n=3
4n�1 (�1)n
6n�1
(faça n� 2 = k)
=
1X
k=1
4k+1 (�1)k+2
6k+1
=
1X
k=1
42 � 4k�1 (�1)k�1 � (�1)
62 � 6k�1
= �16
36
1X
k=1
�
�4
6
�k�1
= �4
9
1X
k=1
�
�2
3
�k�1
= �4
9
� 1
1 + 23
=
�4
15
(b) Trata-se de uma série de encaixe e se designarmos bn =
1
n
p
2
, teremos
b2 = 1=
p
2 e lim bn = lim
�
2�1=n
�
= 1:
Assim, 1X
n=2
�
1
n
p
2
� 1
n+1
p
2
�
=
1X
n=2
(bn � bn+1) = b2 � lim bn = 1p
2
� 1.
03 TESTANDO A CONVERGÊNCIA Investigue a convergência ou divergência das séries:
(a)
1X
n=1
�
(�1)n
n3
+
�
1� 3
n
�n�
(b)
1X
n=1
(n!)2
(3n)!
(c)
1X
n=1
5
p
4n3
5
p
2n3 + 6n
(d)
1X
n=1
(�1)n5n
n2 + 2
:
::::::::::
SOLUÇÃO
(a) Série Divergente (Critério do n-ésimo Termo)
2
Conforme vimos em sala de aula,
lim
�
1� 3
n
�n
=
1
3
p
e
e lim
(�1)n
n3
= 0
e, sendo assim,
lim an = lim
�
(�1)n
n3
+
�
1� 3
n
�n�
= lim
(�1)n
n3
+ lim
�
1� 3
n
�n
= 0 + 1= 3
p
e = 1= 3
p
e 6= 0:
(b) Série Convergente (Critério da Razão)
Temos que an =
(n!)2
(3n)!
, de modo que
L = lim
����an+1an
���� = lim [(n+ 1)!]2(3n+ 3)! � (3n)!(n!)2 = lim
�
(n+ 1)! (n+ 1)!
n!n!
� (3n)!
(3n+ 3) (3n+ 2) (3n+ 1) (3n)!
�
= lim
"
(n+ 1)2
(3n+ 3) (3n+ 2) (3n+ 1)
#
= 0 < 1:
(c) Série Divergente (Critério do n-ésimo Termo)
Temos que an =
5
p
4n3
5
p
2n3 + 6n
e, portanto,
lim an = lim
n3=5 � 5p4
n3=5 � 5p2 + 6=n2 = lim
5
p
4
5
p
2 + 6=n2
=
5
p
4
5
p
2
6= 0:
Neste caso, a divergência da série pode, também, ser comprovada pelo Critério da Comparação.
(d) Série Convergente (Critério de Leibniz)
Seja bn =
5n
n2 + 2
e consideremos a função extensão f (x) =
5x
x2 + 2
. Temos:
� lim bn = lim 5n
n2 + 2
= 0:
� O decrescimento da sequência (bn) será estabelecido pelo sinal da derivada de f (x). Temos
f 0 (x) =
5
�
x2 + 2
�� 5x (2x)
(x2 + 2)2
=
�5x2 + 10
(x2 + 2)2
< 0; para x � 3:
Assim, a sequência (bn) torna-se decrescente a partir do terceiro termo. Trata-se de uma série alternada,
nas condições do Critério de Leibniz, sendo, portanto, convergente.
3