Prova 2 de Séries e EDO.

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UFPB - CCEN - Departamento de Matemática
SÉRIES & EDO prof. MPMatos
EXAME No 2 SÉRIES DE POTÊNCIAS E SÉRIES DE FOURIER
GABARITO - PROVA 1
01 INTERVALO DE CONVERGÊNCIA Considere a função g (x) =
1X
n=0
(x� 2)2n+1p
n2 + 1
.
a Determine o domínio máximo da função g; isto é, o intervalo de convergência da série.
b Calcule o valor da expressão g0 (2) + g00 (2) + g(9) (2) + g(20) (2) :
SOLUÇÃO
a Temos
L = lim
����an+1an
���� = lim
������ (x� 2)
2n+3q
(n+ 1)2 + 1
�
p
n2 + 1
(x� 2)2n+1
������ = jx� 2j2 � lim
������
p
n2 + 1q
(n+ 1)2 + 1
������
= jx� 2j2 � lim
s
n2 + 1
(n+ 1)2 + 1
= jx� 2j2 � lim
r
n2 + 1
n2 + 2n+ 2
= jx� 2j2 �
r
lim
n2 + 1
n2 + 2n+ 2
= jx� 2j2 :
A partir do Teste da Razão, concluímos que a série coverge absolutamente no intervalo jx� 2j < 1, isto é,
se 1 < x < 3 e diverge se x > 3 ou x < 1. Nas extremidades x = 1 e x = 3 a série se reduz a
extremidade x = 1 :
1X
n=0
�1p
n2 + 1
(divergente)
extremidade x = 3 :
1X
n=0
1p
n2 + 1
(divergente)
CONCLUSÃO A série converge absolutamente no intervalo 1 < x < 3 e diverge se x � 3 ou x � 1. O
domínio da função é, portanto, D (g) = (1; 3) :
b Observando a série que de…ne a função g, vemos que os termos de ordem par são nulos e, sendo
assim, g00 (2) = 0 e g(20) (2) = 0. As derivadas de ordem ímpar são calculadas a partir da relação
c2n+1 =
g(2n+1) (2)
(2n+ 1)!
, 1p
n2 + 1
=
g(2n+1) (2)
(2n+ 1)!
, g(2n+1) (2) = (2n+ 1)!p
n2 + 1
:
Considerando n = 0 e n = 4, obtemos, respectivamente, g0 (2) = 1 e g(9) (2) =
9!p
17
. Logo,
g0 (2) + g00 (2) + g(9) (2) + g(20) (2) = 1 + 0 +
9!p
17
+ 0 = 1 +
9!p
17
:
02 DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO Considere a função f (x) =
1X
n=0
(n+ 1)xn; � 1 < x < 1.
a Se �1 < x < 1; mostre que
Z x
0
f (t) dt =
x
1� x:
b Por derivação, deduza que f (x) =
1
(1� x)2 :
c Agora, mostre que
X1
n=1
nxn =
x
(1� x)2 :
d Finalmente, calcule a soma da série
X1
n=1
(�1)n n2n
3n
:
SOLUÇÃO
a Integrando termo a termo a série de f (x) e usando a soma da série geométrica, encontramos:Z x
0
f (t) dt =
1X
n=0
xn+1 = x
1X
n=0
xn =
x
1� x: (2.1)
b Derivando (2.1), usando o Teorema Fundamental do Cálculo1, obtemos:
f (x) =
d
dx
Z x
0
f (t) dt =
d
dx
�
x
1� x
�
=
1
(1� x)2 : (2.2)
c De (2.2), resulta que:
xf (x) =
x
(1� x)2 () x
1X
n=0
(n+ 1)xn =
x
(1� x)2 ()
1X
n=1
nxn =
x
(1� x)2 (2.3)
d Considerando em (2.3) x = �2=3, obtemos:
1X
n=1
(�1)n n2n
3n
=
�2=3
[1� (�2=3)]2 = �18=75
03 DESENVOLVIMENTO DE FOURIER Considere a função f : [0; �]! R, de…nida por:
f (x) =
������ x
2; se 0 � x < �=2
1; se �=2 � x � �
a Esboce no intervalo [�2�; 3�] o grá…co da extensão par 2�-periódica efP de f:
b Determine os quatros primeiros termos da série de Fourier da extensão encontrada em (a).
c Se F (x) representa a soma da série no ponto x, calcule o valor de F (3�=2)?
SOLUÇÃO
a Na …gura abaixo ilustramos o grá…co, no intervalo [�2�; 3�] ; da extensão par 2�-periódica efP de
f . O primeiro passo é estender a função f ao intervalo simétrico [��; �] ; para em seguida considerar a
extensão periódica. O grá…co da extensão ímpar efI está ilustrado na última página.
1Teorema Fundamental do Cálculo: se f [a; b]! R é contínua, então d
dx
R x
a
f (t) dt = f (x) ; a � x � b:
2
b Como estamos tratando com a extensão par, então os coe…cientes bn; n = 1; 2; 3; 4; : : : ; são todos
nulos e a série de Fourier de efP é uma série de cossenos, isto é,
a0
2
+
1X
n=1
an cos (nx)
e os quatro primeiros termos são, portanto,
a0
2
; a1 cosx; a2 cos 2x e a3 cos 3x: Temos
a0 =
2
�
Z �
0
f (x) dx =
2
�
"Z �=2
0
x2dx+
Z �
�=2
dx
#
=
2
�
�
�3
24
+
�
2
�
= 1 + �2=12:
an =
2
�
Z �
0
f (x) cos (nx) dx =
2
�
"Z �=2
0
x2 cos (nx) dx+
Z �
�=2
cos (nx) dx
#
=
2
�
�
x2 sen (nx)
n
+
2
n
�
sen (nx)
n2
� x cos (nx)
n
���=2
0
+
2
�
�
sen (nx)
n
��
�=2
:
Considerando sucessivamente n = 1; 2; 3, obtemos da última relação:
a1 =
2
�
�
x2 senx
1
+
2
1
�senx
1
� x cosx
1
���=2
0
+
2
�
hsenx
1
i�
�=2
=
�
2
� 6
�
:
a2 =
2
�
�
x2 sen 2x
2
+
2
2
�
sen 2x
4
� x cos 2x
2
���=2
0
+
2
�
�
sen 2x
2
��
�=2
= �1
2
:
a3 =
2
�
�
x2 sen 3x
3
+
2
3
�
sen 3x
9
� x cos 3x
3
���=2
0
+
2
�
�
sen 3x
3
��
�=2
=
22
27�
� �
6
:
Os quatro primeiro termos da série são:
A0 =
1
2
�
1 +
�2
12
�
; A1 =
�
�
2
� 6
�
�
cosx; A3 = �1
2
cos 2x e A4 =
�
22
27�
� �
6
�
cos 3x:
c Observando o grá…co, vemos que a extensão efP é descontínua no ponto x = 3�=2 e, sendo assim,
temos:
F (3�=2) = 12
h efP �x+�+ efP �x��i = 12 h1 + �24 i = 12 + �28 :
3
FIM
GRÁFICO DA EXTENSÃO ÍMPAR
4
GABARITO - PROVA 2
01 INTERVALO DE CONVERGÊNCIA Considere a função g (x) =
1X
n=1
(�1)n xn�1
n (n+ 1)
.
a Determine o domínio máximo da função g; isto é, o intervalo de convergência da série.
b Calcule o valor da expressão g (0) + g0 (0) + g(6) (0) + g(9) (0) :
SOLUÇÃO
a Temos
L = lim
����an+1an
���� = lim
����� (�1)n+1 xn(n+ 1) (n+ 2) � n (n+ 1)(�1)n xn�1
����� = jxj lim
���� n (n+ 1)(n+ 1) (n+ 2)
���� = jxj lim n2 + nn2 + 3n+ 2 = jxj :
A partir do Teste da Razão, concluímos que a série coverge absolutamente no intervalo jxj < 1, isto é, se
�1 < x < 1 e diverge se x > 1 ou x < �1. Nas extremidades x = �1 e x = 1 a série se reduz a
extremidade x = 1 :
1X
n=0
(�1)n
n2 + n
(absolutamente convergente)
extremidade x = �1 :
1X
n=0
(�1)2n�1
n2 + n
(absolutamente convergente)
CONCLUSÃO A série converge absolutamente no intervalo �1 � x � 1 e diverge se x > 1 ou x < �1. O
domínio da função é, portanto, D (g) = [�1; 1] :
b Observando a série que de…ne a função g, vemos que as derivadas são calculadas a partir da relação
cn�1 =
g(n�1) (0)
(n� 1)! ,
(�1)n
n (n+ 1)
=
g(n�1) (0)
(n� 1)! , g
(n�1) (0) =
(�1)n (n� 1)!
n (n+ 1)
:
Considerando sucessivamente n = 1; 2; 7 e 10, obtemos, respectivamente, g (0) = �1=2; g0 (0) =
1=6; g(6) (0) = �90=7 e g(9) (0) = (9!) =110. Logo,
g (0) + g0 (0) + g(6) (0) + g(9) (0) = �1
2
+
1
6
� 90
7
+
9!
110
= �277
21
+
9!
110
:
02 DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO Seja f a função real de…nida por
f (x) =
x+ 2
1� 2x; x 6= 1=2:
a Represente f em série de potências de x+ 2 e determine onde a representação é válida:
b Se ��=2 < � < �=6, calcule o valor da soma
1X
n=0
2n (2 + sen �)n+1
5n+1
:
5
c Por derivação, obtenha uma série de potências para g (x) =
5
(1� 2x)2 :
d Use o resultado encontrado em (c) e calcule a soma da série
1X
n=0
(n+ 1) 4n
5n
:
SOLUÇÃO
a Identi…quemos f (x) com a soma de uma série geométrica de razão r = 25 (x+ 2). De fato:
x+ 2
1� 2x =
x+ 2
1� 2 (x+ 2� 2) =
x+ 2
5� 2 (x+ 2) =
x+ 2
5
"
1
1� 25 (x+ 2)
#
=
=
x+ 2
5
1X
n=0
�
2
5
�n
(x+ 2)n =
1X
n=0
2n (x+ 2)n+1
5n+1
e a série é convergente somente quando
��2
5 (x+ 2)
�� < 1, isto é, �92 < x < 12 :
b Se ��=2 < � < �=6, então x = sen � jaz no intervalo de convergência, tendo em vista que �1 <
sen � < 1=2 e, portanto,
x+ 2
1� 2x =
1X
n=0
2n (x+ 2)n+1
5n+1
(fazer x = sin �)
) 2 + sen �
1� 2 sen � =
1X
n=0
2n (sen � + 2)n+1
5n+1
c Derivando a série obtida em (a), encontramos:
d
dx
�
x+ 2
1� 2x
�
=
1X
n=0
2n (n+ 1) (x+ 2)n
5n+1
) 5
(1� 2x)2 =
1X
n=0
2n (n+ 1) (x+ 2)n
5n+1
; (2.4)
representação válida no intervalo �92 < x <
1
2 :
d Considerando em (2.4) x = 0, encontramos:
1X
n=0
4n (n+ 1)
5n
= 25
03 DESENVOLVIMENTO DE FOURIER Considere a função f : [��; 0]! R, de…nida por:
f (x) =
������ �x; se � �=2 � x < 02; se � � � x < ��=2:
a Esboce, no intervalo [�3�; 2�] ; o grá…co da extensão ímpar 2�-periódica efI de f .
b Determine os quatros primeiros termos da série de Fourier da extensão encontrada em (a).
c Se F (x) representa a soma da série no ponto x, calcule o valor de F (�5�=2)?
SOLUÇÃO
6
a Na …gura abaixo ilustramos o grá…co, no intervalo [�3�; 2�] ; da extensão ímpar 2�-periódica efI de
f . O primeiro passo é estender a função f ao intervalo simétrico [��; �] ; para em seguida considerar a
extensão periódica. O
b Como estamos tratando com a extensão ímpar, então os coe…cientes an; n = 0; 1; 2; 3; 4; : : : ; são
todos nulos e a série de Fourier de efI é uma série de senos, isto é,
1X
n=1
bn sen (nx)
e os quatro primeiros termos são, portanto, B1 = b1 senx; B2 = b2 sen 2x; B3 = b3 sen 3x e B4 = b4 cos 4x:
Temos
bn =
2
�
Z 0
��
f (x) sen (nx) dx =
2
�
"Z ��=2
��
2 sen (nx) dx+
Z 0
��=2
x sen (nx) dx
#
=
2
�
�
�2cos (nx)
n
���=2
��
+
2
�
hsennx
n2
� x cosnx
n
i0
��=2
=
2
�
��2 cos (n�=2)
n
+
2 cos (n�)
n
�
+
2
�
�
sen (n�=2)
n2
+
(�=2) cos (n�=2)
n
�
:
Considerando sucessivamente n = 1; 2; 3; 4, obtemos da última relação:
b1 =
2
�
��2 cos (�=2)
1
+
2 cos 2�
1
�
+
2
�
�
sen (�=2)
12
+
(�=2) cos (�=2)
1
�
= � 3
�
:
b2 =
2
�
��2 cos�
2
+
2 cos (2�)
2
�
+
2
�
�
sen�
4
+
(�=2) cos�
2
�
=
4
�
� 1
2
:
b3 =
2
�
��2 cos (3�=2)
3
+
2 cos (3�)
3
�
+
2
�
�
sen (3�=2)
9
+
(�=2) cos (3�=2)
3
�
= � 14
9�
:
b4 =
2
�
��2 cos 2�
4
+
2 cos 4�
4
�
+
2
�
�
sen 2�
16
+
(�=2) cos 2�
4
�
=
1
4
:
7
Os quatro primeiro termos da série são:
B1 = � 3
�
senx; B2 =
�
4
�
� 1
2
�
sen(2x); B3 = � 14
9�
sen (3x) e B4 =
1
4
sen (4x) :
c Observando o grá…co, vemos que a extensão efI é descontínua no ponto x = �5�=2 e, sendo assim,
temos:
F (�5�=2) = 12
h efI �x+�+ efI �x��i = 12 h�2 + 2i = 1 + �4 :
FIM
GRÁFICO DA EXTENSÃO PAR
8
	Prova 1
	Prova 2