c3lista1-2014.2

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A´rea 2 – CCEN – UFPE – 2014.2
CA´LCULO 3 - Turmas T2 e T7
Lista 1 da primeira unidade
1. Parametrize as seguintes curvas:
(i) O segmento de reta delimitado pelos pontos (1, 2,−1) e (2, 3, 5).
(ii) A elipse
(x− 3)2
4
+ y2 = 1.
(iii) A curva espacial obtida pela intersec¸a˜o do cilindro circular x2 +y2 = 4 com o cilindro
parabo´lico z = x2.
2. Se o movimento de uma part´ıcula e´ descrito pela curva parametrizada que voceˆ ob-
teve na resposta ao item (iii) da questa˜o acima, determine o vetor velocidade no instante
em que a part´ıcula passa pelo ponto (
√
2,
√
2, 2). A seguir, determine as equac¸o˜es pa-
rame´tricas da reta tangente a` curva espacial no ponto (
√
2,
√
2, 2).
3. (a) Considere a curva plana com parametrizac¸a˜o
r(t) = (et cos t, et sen t), −2pi ≤ t ≤ 2pi.
(i) Fac¸a um esboc¸o da curva. (ii) Calcule o comprimento desta curva. (iii) Calcule o
comprimento do arco da curva compreendido entre os pontos r(0) = (1, 0) e r(t).
(b) Esboce a curva espacial com parametrizac¸a˜o (et cos t, et sen t, t), para −2pi ≤ t ≤ 2pi.
EXERCI´CIO RESOLVIDO. (Este exerc´ıcio sera´ resolvido em aula.)
Considere a curva C obtida pela intersec¸a˜o do cone z2 = x2 + y2 com o plano z = 1 + y.
(a) Deˆ exemplo de parametrizac¸a˜o r para C (r deve ter como imagem toda a curva C).
(b) Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta tangente a` curva C no ponto (1, 0, 1).
(c) Parametrize o arco da curva C compreendido entre os pontos P1 = (0,−1/2, 1/2) e
P2 = (1, 0, 1).