c3lista2-2014.2

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A´rea 2 – CCEN – UFPE – 2014.2
CA´LCULO 3 - Turmas T2 e T7
Lista 2 da primeira unidade
EXERCI´CIO RESOLVIDO. Considere a curva obtida pela intersec¸a˜o do cone z2 =
x2 + y2 com o plano z = 1 + y. Seja C o arco desta curva compreendido entre os pontos
P1 = (0,−1/2, 1/2) e P2 = (1, 0, 1). Calcule
∫
C
x ds.
1. Um fio tem a forma de um trecho de he´lice, parametrizado por r(t) = (cos t, sen t, t)
para 0 ≤ t ≤ 2pi. Se o valor da densidade (em gramas/cm) em cada ponto do fio e´ igual
ao quadrado da distaˆncia (em cm) do ponto a` origem (0, 0, 0), calcule a massa do fio.
2. O centro´ide de uma curva e´ o seu centro de massa no caso em que a densidade e´ cons-
tante; note que o centro´ide independe do valor desta densidade constante, sendo portanto
uma caracter´ıstica geome´trica da curva. Se C e´ o trecho de he´lice da questa˜o 2 acima, que
corresponde a um“volta”na he´lice, use sua intuic¸a˜o para dizer qual deve ser o centro´ide
de C. Confirme sua resposta calculando o centro´ide por meio de integrais de linha.
3. Um fio tem o formato de um quarto de c´ırculo de raio R: x2 + y2 = R2, x ≥ 0, y ≥ 0.
Se a func¸a˜o densidade e´ ρ(x, y) = x+ y, calcule o centro de massa (x, y) do fio. Fac¸a um
desenho da curva e marque aproximadamente a posic¸a˜o do centro de massa.