c3lista8-2014.2

Prévia do material em texto

A´rea 2 – CCEN – UFPE – 2014.2
CA´LCULO 3 - Turmas T2 e T7
Lista 2 da segunda unidade
1. Determine uma parametrizac¸a˜o (em particular, especifique o domı´nio) para cada su-
perf´ıcie abaixo:
(a) A porc¸a˜o da esfera x2+y2+z2 = a2 no primeiro octante, acima do cone z =
√
x2 + y2.
(b) O elipso´ide x
2
a2
+ y
2
b2
+ z
2
c2
= 1. Sugesta˜o: note que se (x, y, z) pertence ao elipso´ide,
(x
a
, y
b
, z
c
) pertence a` esfera de raio 1.
2. Seja S a porc¸a˜o do parabolo´ide x = 5−y2−z2 contida no interior do cilindro y2+z2 = 4.
Se um recipiente tem a forma da superf´ıcie S e sua densidade superficial no ponto (x, y, z)
e´ δ(x, y, z) =
x√
1 + 4y2 + 4z2
, calcule a massa do recipiente.
3. Seja X a esfera x2 + y2 + z2 = a2. Calcule:
(a) A a´rea da calota de altura h em X.
(b)
∫∫
S
xyz dS, onde S e´ a porc¸a˜o de X descrita no exerc´ıcio 1(a).
(c)
∫∫
S
√
z + a dS, onde S e´ a parte de X entre os planos z = −a/2 e z = a/2.
(d) O centro´ide do hemisfe´rio superior da esfera X.
4. Calcule
∫∫
S
xy dS, onde S e´ a fronteira da regia˜o delimitada pelo cilindro x2 + z2 = 1
e pelos planos y = 0 e x+ y = 2 (fac¸a uma figura).