c3lista10-2014.2

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A´rea 2 – CCEN – UFPE – 2014.2
CA´LCULO 3 - Turmas T2 e T7
Lista 4 da segunda unidade
1. Seja F o campo vetorial em R3 definido por F(x, y, z) = (x2 + z, 0, z + 1). Seja E
o so´lido delimitado pelo parabolo´ide z = 1− x2 − y2 e o plano xy. Oriente a fronteira S
de E positivamente (fac¸a uma figura ilustrando a superf´ıcie e sua orientac¸a˜o). Verifique
diretamente o teorema da divergeˆncia neste caso, calculando
∫∫
S
F ·n dS de duas formas:
pela definic¸a˜o e usando a fo´rmula do teorema da divergeˆncia. Resposta: pi/2.
2. Use o teorema da divergeˆncia para calcular novamente, em menos de um minuto, o
fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (x, y, z) atrave´s da superf´ıcie S do ex.3 da lista 3 (S
e´ obtida tampando o cilindro S1 dado por x
2 + y2 = 4, 0 ≤ z ≤ 1 com discos S2 e S3;
orientamos S com o campo normal unita´rio n apontando para fora).
3. Sejam X1 a parte do parabolo´ide el´ıptico z = 1 − x29 − y
2
4
acima do plano xy e X2 a
parte do elipso´ide x
2
9
+ y
2
4
+ z2 = 1 acima do plano xy; tome em ambas as superf´ıcies a
orientac¸a˜o “para cima”. Se F e´ um campo vetorial C1 arbitra´rio definido no R3, explique
em detalhe por que o fluxo do rotacional de F atrave´s de X1 e´ igual ao fluxo do rotacional
de F atrave´s de X2.
4. Seja F o campo vetorial em R3 definido por
F(x, y, z) = (y + z2)i + (x+ 3z2)j + (1 + 3x+ cos(z3))k.
(a) Existe algum subconjunto aberto A de R3 tal que F seja conservativo em A?
(b) Seja S a regia˜o triangular com ve´rtices (1, 0, 0), (0, 1
2
, 0), (0, 0, 1). Parametrize S; de-
termine o domı´nio D de sua parametrizac¸a˜o r : D → R3.
(c) Oriente S com campo normal apontando “para cima” (isto e´, com coordenada z po-
sitiva). Se C e´ a fronteira de S, qual e´ a orientac¸a˜o positiva de C? Justifique e ilustre as
orientac¸o˜es de C e S por uma figura.
(d) Calcule
∫
C
F · dr (orientando C como indicado no item anterior).