c3lista11-2014.2

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A´rea 2 – CCEN – UFPE – 2014.2
CA´LCULO 3 - Turmas T2 e T7
Lista 5 da segunda unidade
1. (Exemplo 1, sec¸a˜o 16.8, J. Stewart) Calcule
∫
C
F ·dr, onde F(x, y, z) = −y2i+xj+z2k
e C e´ a elipse obtida pela intersec¸a˜o do plano y + z = 2 com o cilindro x2 + y2 = 1,
orientada de modo a ter o sentido anti-hora´rio quando vista de cima. Fac¸a isto de duas
formas: (i) pela definic¸a˜o; (ii) usando o teorema de Stokes (sugesta˜o: considere a regia˜o
el´ıptica cuja fronteira e´ C). Resposta: pi.
2. Seja S a parte do parabolo´ide z = x2 + y2 situada abaixo do plano z = 2x + 2y + 2.
Oriente S com o campo normal unita´rio n apontando para baixo e oriente a fronteira C
de S positivamente. Fac¸a uma figura ilustrando S,C e as orientac¸o˜es dadas. Considere
o campo vetorial F(x, y, z) = (y, z, x). O fluxo do rotacional de F atrave´s de S pode ser
calculado usando um dos treˆs me´todos a seguir:
(i) Pela definic¸a˜o.
(ii) Usando o teorema de Stokes.
(iii) O teorema de Stokes mostra que se X e´ a regia˜o plana delimitada pela curva C (com
orientac¸a˜o para baixo) enta˜o
∫∫
S
rot F · dS = ∫∫
X
rot F · dS (por queˆ? justifique).
Escreva as expresso˜es correspondentes a (i), (ii), (iii) por meio de integrais. Obtenha o
fluxo de rot F atrave´s de S, calculando apenas uma destas integrais (a mais simples...).
Resposta: −12pi.
3. (Exerc´ıcio 19, sec¸a˜o 16.9, J. Stewart) Calcule o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) =
z2xi+(1
3
y3 +tg z)j+(x2z+y2)k atrave´s do hemisfe´rio superior da esfera x2 +y2 +z2 = 1,
orientado “para cima”. Note que e´ complicado calcular este fluxo diretamente. Sugesta˜o:
seja X a superf´ıcie fechada obtida “tampando” S com um disco S ′; calcule os fluxos de
F atrave´s de X e de S ′, e enta˜o obtenha o fluxo atrave´s de S. Resposta: 13pi/20.
Exerc´ıcios de revisa˜o sobre teorema de Stokes e teorema da divergeˆncia.
A. (Exerc´ıcio 4, sec¸a˜o 16.8) Calcule
∫∫
S
rot F · dS, onde
F(x, y, z) = (x+ arctg yz)i + y2z j + z k
e S e´ a parte do hemisfe´rio x =
√
9 − y2 − z2 que esta´ dentro do cilindro y2 + z2 = 4,
orientada de modo que a primeira componente do campo normal seja positiva. Resposta:
−4pi.
B. Use o teorema da divergeˆncia para calcular o fluxo
∫∫
S
F·n dS de F atrave´s da superf´ıcie
fechada S em cada um dos casos abaixo. Assuma que S esta´ orientada positivamente
(campo normal apontando “para fora”).
(a) (Exerc´ıcio 10, sec¸a˜o 16.9) F(x, y, z) = (3xy, y2, −x2y4), S e´ a superf´ıcie do tetraedro
com ve´rtices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Resposta: 5/24.
(b) (Exerc´ıcio 15, sec¸a˜o 16.9) F(x, y, z) = (yez
2
, y2, exy), S e´ a fronteira do so´lido E
delimitado pelo cilindro x2+y2 = 9 e pelos planos z = 0 e z = y−3. Resposta: −81pi/2.
(c) (Exemplo 2, sec¸a˜o 16.9) F(x, y, z) = (xy, y2 +exz
2
, sen (xy)), S e´ a fronteira do so´lido
E delimitado pelo cilindro parabo´lico z = 1 − x2 e pelos planos z = 0, y = 0, y + z = 2.
Resposta: 184/35.