3ª Lista - Cálculo 3 - Prof Edson

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PA R T E 1 – Á R E A E I N T E G R A I S D E S U P E R F Í C I E 
 
Nos exercícios 0 1 → 07 , ca lcule a área da super fície 
S
 
01 . 
S
 é a super fície do parabolóide 
22 yxz 
, si tuada abaixo do plano 
1z
. 
02 . 
S
 é a super fície descr i ta por 
   vuvuvu  5,,,
, 
922  vu
. 
03 . 
S
 é a porção do plano 
422  zyx
 que está no pr imeiro octan te. 
04 . 
S
 é a super fície do ci l indro 
22 xz 
, cor tada pelos planos 
xyxy 2,2 
 e 
22x
. 
05 . 
S
 é a parte da esfera 
1222  zyx
, in terna ao cone 
22 yxz 
. 
06 . 
S
 é a super fí cie plana cuja fron tei r a cor responde a o t r iângulo de vér t ices nos pon tos 
)0,3,0(,)0,0,2(
 e 
)2,0,0(
. 
07 . 
S
 é descr i ta pela equação paramétr ica 
),,(),( 22 vuvuvu 
 , 
91 22  vu
. 
 
Nos exercícios 0 8 → 12 , ca lcule 

S
sdzyxF ),,(
 
 
 
08 . 
yxzyxF ),,(
, 
S
 a porção do plano 
632  zyx
 si tuada no pr imeiro octan te. 
09 . 
222),,( zyxzyxF 
, 
S
 a porção do plano 
4 yz
 in ter ior ao ci l indro 
422  yx
. 
10 . 
2),,( xzyxF 
, 
S
 o hemisfér io super ior de 
2222 azyx 
. 
11 . 
22),,( yxzzyxF 
, 
S
 a porção da es fera 
9222  zyx
, compreendida en tre os 
planos 
1z
 e 
2z
. 
12 . 
2),,( zzyxF 
, 
S
 a porção do ci l indro 
422  yx
, para 𝑦 ≥ 0, compreendida en tre os 
planos 
0z
 e 
3 xz
. 
 
 
PA R T E 2 – IN T E G R A I S D E L I N H A N O E S P A Ç O 
 
Nos exercícios 0 1 → 08 , ca lcule as in tegrais de l inha indicadas 
 
 
A reta no espaço 
Se 
),,( 1111 zyxP 
 e 
),,( 2222 zyxP 
 são pon tos dist in tos, 








)(
)(
)(
121
121
121
zztzz
yytyy
xxtxx
 
são as equações paramétr icas da r eta que passa por esses dois pon tos. 
01 . 
 
C
zdyzxydyxdx )(
, onde o caminho a ser percor r ido tem in ício em 
)0,0,0(
 e 
término em 
)4,2,1(
, cor respondendo ao segmento da r eta que esses pon tos definem . 
02 . 
 
C
zdxxdz 22
, C o caminho l igando o pon to 
)1,0,1(
 ao pon to 
)4,0,2(
 a t ravés de dois 
segmentos r et i l íneos: o pr imeiro paralelo ao eixo OX e o segundo paralelo ao eixo OZ. 
03 . 
 
C
zdxydzxdy
, onde o caminho C cor responde à in ter seção das super fí cies de 
equações 
yxz 
 e 
122  yx
, percor r ido uma vez no sen t ido posi t ivo, quando observado 
de um pon to acima do plano 
0z
. 
04 . 
 
C
zdzydxxdzx
, onde C é o caminho 
descr i to na figura ao lado, com in ício em 
)0,0,1(
 e término em 
)1,0,0(
, consist indo 
de um quar to de ci r cunferência e de dois 
segmentos r et i l íneos. 
05 . 
 

C
xd
zy
y
x
22
21
, sendo C a porção da curva do 
pr imeiro octan te, que cor responde à in ter seção do plano 
yx 
 com a super fíci e ci l índrica 
12 22  zy
, percor rida do pon to 
)1,0,0(
 ao pon to 
)0,
2
2
,
2
2
(
. 
06 . 

C
xe(
sen
xeydyzxxdzyz ()22()2 
cos
zdzyxz )32 2
, o caminho C 
cor respondendo ao t r a jeto r et i l íneo que l iga o pon to 
)0,1,1(
 ao pon to 
)
2
,0,0(

, nesta 
ordem. 
07 . 
 
C
zdyydxxdz
, sendo C o t r aço deixado pel o hemisfér io 
222 yxaz 
 no plano 
0z
. 
08 . 
 
C
z3(
sen
 32 ()() yydexxdx y
cos
zdz )
, onde C é a curva dada pelas equações 
x
 cos
y,
sen
1, z
, para 
 20
. 
09 . Calcule 
 
C
zdxydzxdy 222
, onde 
C
 é o tr iângulo de vér t ices nos pon tos 
)0,1,0(,)0,0,1(
 e 
)1,0,0(
. 
10 . Calcule 

C
rdF

, considerando 
C
 como o t r aço do parabolóide 
222 yxz 
 no plano 
2Z
 
e 
kzyjzxiyzyxF

23),,( 
. 
11 . Calcule 

C
rdF

, onde 
C
 é a curva gerada pela in ter seção do parabolóide 
224 yxz 
 
com o ci l indro 
122  yx
, sendo 
kjziyzyxF

32),,( 
. 
12 . Calcule 
 
C
zdzydyxdx 222
, sendo 
C
 o t raço do cone 
22 yxz 
 no plano 
1Z
. 
 
 
R E S P O S T A S 
PARTE - 1 
01. 
 155
6


 02. 
39
 03. 6 04. 
13
 05. 
)22( 
 06. 
22
 
07. 
)537(
6
2/32/3 

 08. 
145
 09. 
276
 10. 
4
3
2
a
 11. 
)55216(2 
 12. 
30
 
 
PARTE - 2 
01. 
6/23
 02. 
13
 03. 

 04. 
2/1
 05. 
4/1
 06. 
8/3
 
07. 𝜋𝑎2 08. 
0
 09.
1
 10. 
20
 11. 
2
 12. 
0
 
 
