Apostila de Física Experimental

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Apostila de Física Experimental – Prof. Paulo César de Souza 
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Apostila 
de 
Física 
Experimental 
 
Prof. Dr. Paulo César de Souza
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Índice 
 
1 Introdução à medida ................................................................................... 3 
1.1 Instrumentos de Medida....................................................................... 4 
1.1.1 Princípios de funcionamento do Nônio ou Vernier[1] .................... 6 
1.2 Algarismos significativos e arredondamentos .................................... 11 
1.2.1 Arredondamentos ....................................................................... 12 
1.3 Exercícios .......................................................................................... 13 
2 Representação Gráfica ............................................................................. 15 
2.1 Escala ................................................................................................ 15 
2.1.1 Regras práticas de construção de um gráfico............................. 18 
2.2 Análise Gráfica................................................................................... 20 
2.3 Linearização....................................................................................... 21 
2.3.1 Linearização de polinômios ........................................................ 22 
2.3.2 Linearização de funções especiais ............................................. 23 
3 Erros.......................................................................................................... 27 
3.1 Distribuição Discreta de Probabilidade .............................................. 28 
3.2 Valor Médio........................................................................................ 31 
3.3 Distribuição Binomial.......................................................................... 32 
3.3.1 Análise do lançamento de uma moeda....................................... 34 
3.4 Distribuição de Poisson...................................................................... 38 
3.5 Variáveis contínuas............................................................................ 39 
3.5.1 Densidade de Probabilidade Gaussiana e Intervalo de Confiança. 40 
3.6 Espaço amostral de variável contínua ............................................... 41 
3.6.1 Valor médio e desvio padrão ...................................................... 42 
4 Método dos Mínimos Quadrados .............................................................. 45 
5 Como fazer um bom relatório.................................................................... 46 
6 Bibliografia ................................................................................................ 50 
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1 Introdução à medida 
O papel da ciência está na acumulação de conhecimentos e o uso 
estruturado de conhecimento para prover uma melhor compreensão da 
natureza. Assim, com o uso de uma linguagem própria é um método – o 
método científico – o homem pode. 
Segundo o dicionário Aurélio temos a seguinte definição de medida: 
“Ato ou processo de comparar uma grandeza com outra com o objetivo de 
associar à primeira um numero característico do seu valor em face da grandeza 
com a qual foi comparada; medição.” 
 
 
 
 
 
 
Importante: Uma medida visa à descrição quantitativa de fenômenos físicos. 
 
Grandezas mais comuns: 
• Comprimento 
• Massa 
• Área 
• Volume 
• Temperatura 
• Tempo 
 
São expressas como: = Escalar × Unidade de medida 
 
Exemplos: 
 
(a) Comprimento 
Medida 
Grandeza 
(Entidade suscetível de 
medida) 
Informação 
Tomada de decisão 
Padrão 
 
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Figura 1-1 Medida de um objeto de comprimento L com uma 
régua metálica. 
 
 
L= 5,8 cm 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Intervalo de tempo ∆t = 0,5 h = 30 min = 1800 s 
 
(c) Rapidez 72 km/h = 20 m/sxv
t
∆
= =
∆
 
 
Observação: Os processos (a) e (b) são realizados com medidas diretas e (c) 
por indiretas. 
 
1.1 Instrumentos de Medida 
 
Um instrumento de medida é um agente mecânico na execução de 
qualquer trabalho cujo fim é a medição. Necessariamente qualquer instrumento 
necessita de um padrão de referência para sua devida calibração. Tome-se, 
por exemplo, uma régua que você compra em lojas. Essa régua vem com 
riscos devidamente espaçados de acordo com o padrão existente na fábrica. 
E
scala
r
 
Unidade 
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Para termos uma medida de 1 metro confiável necessita-se de padrões 
excelentes – isto é um problema tecnológico. No caso da medida de 
comprimento usa-se o metro cuja recente definição é a extensão percorrida 
pela luz no vácuo em 1/299.792.458 segundos. Nesse caso o uso de fontes de 
luz lasers é essencial à caracterização do padrão e da medida. Em resumo 
temos: 
� Padrões confiáveis com a utilização de alta tecnologia (experimentos 
complexos) 
� Padrões secundários obtidos através de padrões primários previamente 
aferidos. 
Dessa forma, uma régua comprada numa loja possui intrinsecamente uma 
incerteza instrumental ou até mesmo um instrumento de qualidade adquirido 
em departamentos especializados. O problema da falta de exatidão é crucial 
em qualquer ciência experimental, citamos alguns: 
� Resolução é a aptidão de um instrumento em distinguir valores muito 
próximos da grandeza a ser medida. 
� Limiar ou limiar de sensibilidade é a menor variação de um estimulo 
que provoca uma variação perceptível na resposta de um instrumento de 
medir. 
� Estabilidade é a aptidão de um instrumento de medição conservar seus 
padrões metrológicos. 
� Justeza é a aptidão de um instrumento em apresentar medidas isentas 
de erros sistemáticos. 
� Fidelidade é a aptidão de um instrumento, sob condições definidas de 
utilização, a respostas próximas a um mesmo estímulo. 
 
As medidas são realizadas com instrumentos adequados a cada situação. A 
necessidade em se medir uma dada grandeza vai depender em geral de muitos 
parâmetros, e.g. precisão e exatidão do instrumento utilizado. Os instrumentos 
mais comuns de medida são: 
• Régua milimetrada 
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• Paquímetro 
• Micrômetro ou pálmer 
• Relógios mecânicos, elétricos, eletrônicos ou atômicos 
• Balança de mola (dinamômetro), de travessão ou eletrônica. 
Os itens (1) ao (3) são medidas de comprimento, (4) de espaço de tempo e 
(5) de massa. 
1.1.1 Princípios de funcionamento do Nônio ou Vernier[1] 
Imagine a seguinte situação: você realiza a medida de um objeto com uma 
régua milimetrada e o resultado é um número não inteiro de divisões. O que 
fazer para a determinação da parte fracionária? A resposta a esse problema é 
o uso do Nônio*. Esse dispositivo permite efetuar a leitura dessa parte 
fracionária (menor divisão da escala principal) através de uma escala auxiliar 
anexada a escala principal. Esse é o princípio de funcionamento do 
paquímetro. 
 
 
Figura 1-2 Representação da escalaprincipal (verde) com o Nônio (azul) adaptado a 
mesma. 
 
 Um exemplo é apresentado na Figura 1-2 com a presença de duas 
escalas principal e secundária (chamada aqui de Nônio ou Vernier) com zeros 
coincidentes. A escala principal possui 10N = divisões e a escala do Vernier 
 
*
 Forma latinizada de Nunes, inventor do aparelho. 
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corresponde a 1 9N − = divisões da escala principal. Assim, cada divisão do 
Nônio é mais curta que 1
N
 da escala principal, em nosso caso 1
10
 (conforme é 
assinalado na figura anterior), ou seja, a parte ou divisão que ficou para as 
escalas serem iguais foi diluída negativamente na escala do Vernier. Na Figura 
1-2 podemos observar que a 1a divisão do Nônio é 1
10
 mais curta que a 1ª 
divisão da escala principal. A 2ª divisão do Nônio está 2
10
 da 2ª divisão da 
escala principal e a 3ª divisão do Nônio está 3
10
 da 3ª divisão da escala 
principal. Isso se repete até que a 10ª marca do Nônio coincida com a 9ª marca 
da escala principal e, obviamente, a distância entre as décimas marcas será 
10
10
. 
 Uma escala construída dessa forma, i.e. Vernier, quando a movemos 
para a direita faz com que haja sempre uma coincidência entre as marcas de 
ambas as escalas. Quando realizamos uma medida de um objeto o “zero” do 
Nônio irá marcar a quantidade inteira de divisões deslocadas da escala 
principal e a parte fracionária da medida será de acordo com a coincidência da 
escala do Vernier com a escala principal. 
Na Figura 1-3a podemos observar que o deslocamento fracionário da 
escala principal foi de 17
10
× , i.e. onde a 7ª marca do Nônio coincidiu com uma 
marca da escala principal. Entretanto, na Figura 1-3b o deslocamento do Nônio 
foi de 2 divisões da escala principal adicionado uma parte fracionária de 
18
10
× ,conforme a coincidência assinalada. Assim, observamos que o Nônio 
nos dá uma precisão de 1
10
 da escala principal. 
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Figura 1-3 Exemplos de leitura com um Nônio de 10N = divisões. Na parte superior o 
Nônio se deslocou uma fração da 1ª divisão da escala principal e essa fração foi de 7
10
. 
Já na parte inferior o deslocamento do Vernier foi 2 divisões da escala principal e uma 
fração cuja leitura no Nônio foi de 8
10
, ou seja, a leitura final é de 2,8 divisões da escala 
principal. 
 
 Na Tabela 1-1 podemos observar os parâmetros da medida feita na 
Figura 1-3b. Note que nessa tabela a 8ª marca do vernier coincide exatamente 
com a 10ª marca na escala principal, ou seja, a parte fracionária da media é 
0,8. 
Tabela 1-1 Os valores e erros associados à medida mostrada na Figura 1-3b. 
Marca do Nônio 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Leitura da escala principal 2,8 3,7 4,6 5,5 6,4 7,3 8,2 9,1 10 10,9 11,8 
Erro a marca mais próxima 0,2 0,3 0,4 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0,1 0,2 
Marca mais próxima da escala 
principal 
3 4 5 ? 6 7 8 9 10 11 12 
 
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No caso geral a precisão P do Nônio é dada pela seguinte equação: 
 
 
DP
N
= (1.1) 
onde D é a menor divisão da escala principal e N o número de divisões do 
Nônio ou Vernier. 
 
Numa leitura cujo “zero” do Vernier se deslocou 0L divisões inteiras da 
régua principal mais um número n de frações de divisões do Vernier, o valor 
total será: 
 0L L nP= + (1.2) 
 Na Tabela 1-2 apresentamos alguns tipos de Nônio existentes no 
mercado: 
 
Tabela 1-2 Parâmetros de alguns Verniers existentes. 
N 
Número de 
divisões do Vernier 
C (mm) 
Comprimento total do 
Vernier 
D (mm) 
Comprimento da menor 
divisão da escala principal 
d (mm) 
Comprimento da 
menor divisão do 
Vernier 
P (mm) 
Precisão do 
dispositivo 
10 9 1 9
10 
0,1 
10 19 1 19
10 
0,1 
20 39 1 39
20 
0,05 
50 49 1 39
50 
0,02 
 
 Na tabela anterior a menor leitura possível com um Nônio de 50 divisões 
é de 0,02 mmP = . Entretanto, isso na pratica é difícil de se obter devido à 
dilatação térmica do material e uma eventual folga durante a medida. Dessa 
forma o grande número de divisões do Nônio pode ser um problema na 
determinação das marcas que há coincidência. 
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 O estudante pode recortar o exemplo de Nônio apresentado na Figura 
1-4 para praticar a leitura do paquímetro. 
 
 
 
Figura 1-4 Exemplo de Nônio para recortar e praticar. 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
,05
m
m
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1.2 Algarismos significativos e arredondamentos 
 
Algarismos significativos são os algarismos que indicam, com significado 
físico, a medida de uma grandeza. Não faz sentido que a medida venha 
afetada de uma aproximação maior do que aquela que é permitida pelo valor 
do limite superior do erro. 
Se fizermos uma medida da largura de uma mesa com uma régua 
graduada, cuja menor divisão da escala é 1 mm e o resultado vir apresentado 
pelo número, 97,65 cmL = . Neste caso, nem todos os algarismos deste 
número merecem o mesmo grau de confiança. Assim, os algarismos 9,7 e 6 
são algarismos lidos na escala da régua (exatos) enquanto que o 5 só por 
estimativa poderá aparecer. Ele refere-se a meio milímetro, divisão que não 
existe na escala dessa régua. 
 Numa medida adota-se a seguinte regra: 
1) O número não-nulo a esquerda é o mais significativo; 
2) O número a direita é o menos significativo, zero inclusive; 
3) Todos os números entre o menos e o mais significativo devem ser 
tomados como relevantes. 
Exemplos: 
0,4230 ou 4,230x10-1 
 
 
 
 
 
Os cálculos com medidas feitas em instrumentos com diferentes 
incertezas devem ser efetuados da seguinte forma: 
Sempre o resultado deve ser expresso com a precisão do aparelho de menor 
fidelidade: 
Algarismos significativos 
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exemplo: 
a) Soma de dois comprimentos: 
12,5 mm + 0,75 mm = 13,25 mm → 13,2 mm. 
 
 
 
 
 
 b) No cálculo de área: 
 12,5 mm x 0,75 mm = 9,375 mm2 → 9,4 mm2. 
 
1.2.1 Arredondamentos 
Corriqueiramente temos que realizar operações de arredondamento. Seja 
na soma ou subtração de mesmas quantidades o número de algarismos 
significativos deve ser mantido. Mas, quando há excessos de algarismos adota-
se a regra a seguir[2]: 
... , ...
excessosignificativos
W YX ABCD���������� 
Os algarismos ...ABCD devem ser eliminados e o algarismo X deve ser 
acrescido de uma unidade ou não. Os arredondamentos devem ser feitos como 
a seguir: 
a) As frações de 0,000... a 0,499... são eliminadas e o algarismo X 
permanece inalterado. 
b) As frações de 0,500... a 0,999... são eliminadas e o algarismo X deve 
ser mudado para 1X + . 
c) Se a fração a ser eliminada é exatamente 0,50000..., então o resultado 
no algarismo X deve ser par após o arredondamento. 
Medida com régua 
de incerteza ±0,5 mmMedida com 
paquímetro de 
incerteza ±0,05 mm 
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Alguns exemplos: 
2,43 → 2,4 5,6500 → 5,6 
3,688 →3,7 5,7500 → 5,8 
 
1.3 Exercícios 
1) Uma vez decidido o que caracteriza 
o tamanho do besouro, qual das 
alternativas abaixo melhor caracteriza 
a medida do tamanho do besouro[3]? 
a) Entre 0 e 1 cm 
b) Entre 1 e 2 cm 
c) Entre 1,5 e 1,6 cm 
d) Entre 1,54 e 1,56 cm 
e) Entre 1,546 e 1,547 cm 
 
2) Qual o diâmetro da moeda na figura 
ao lado[3]? 
a) Entre 0 e 2 cm 
b) Entre 1 e 2 cm 
c) Entre 1,9 e 2,0 cm 
d) Entre 1,92 e 1,94 cm 
e) Entre 1,935 e 1,945 cm 
 
3) Quantos algarismos significativos existem em cada um dos valores a seguir? 
(a)13,5 cm (b) 0,010 kg (c) 1,01x10-3 s (d) 4,123 g (e) 11,342 g/cm3 
(f) 2002,0 cm/s (g) 978,7 cm/s2 (h) 6,02x1023 (i) 3,14159 (j) 3x108 m/s 
 
4) Arredonde os valores abaixo, para apenas dois algarismos significativos: 
(a) 34,48 m (b) 1,281 m/s (c) 8,563x103 s (d) 4,35 cm3 (e) 9,97x10-6 g 
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(f) 0,0225 N (g) 2787 m (h) 0,04095 km (i) 143768900 (j) 2,54 cm 
 
5) Escreva os resultados das operações matemáticas a seguir, respeitando o 
uso de algarismos significativos: 
(a) 1,02x105kg ÷ 3,1m3 (b) 345m + 23,3m + 1,053m (c) 390,5g ÷ 22,4cm3 
(d) 1,89x102g - 2,32g (e) 10,0m ÷ 0,01s (f) 12g × 6,02x1023 
 
6) As figuras apresentadas abaixo representam um paquímetro em duas 
posições. Na primeira (1), o instrumento está fechado e na segunda (2), está 
aberto, medindo a dimensão L de um objeto. 
(a) Qual é a resolução do paquímetro? 
[1]
[2]
 
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2 Representação Gráfica 
 
Quando temos que manipular grande quantidade de informação é 
necessário o uso de gráficos. Isso se torna mandatário para a correta análise e 
compreensão das grandezas envolvidas. Note que uma grande quantidade de 
informação seja ele na forma de dados experimentais ou em qualquer outra 
forma implica em conhecimento. Necessitamos analisar essa coleção de 
dados e, para isso, utilizamos a representação por gráficos. Assim, a relação 
entre quaisquer grandezas envolvidas pode ser facilmente detectada. 
 
2.1 Escala 
O primeiro passo a ser determinado na construção de um gráfico é a 
escala de representação dos dados. Toda escala possui um passo, ou seja, 
um segmento de reta delimitado entre dois traços perpendiculares ao 
segmento. 
 
 
Figura 2-1 Definição de passo e degrau num gráfico de representação de uma grandeza 
física, i.e. a massa. 
 
Na Figura 2-1 apresentamos a definição de passo que é a menor distância 
real entre duas marcas seqüentes no segmento de reta. Como visto na figura 
0 10 20 30 
m (g) 
passo = 1cm 
degrau = 5g 
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em questão existe uma grandeza física associada a escala, assim esses dois 
traços consecutivos dá-se o nome de degrau. Desta feita temos: 
 
passo 1 cm 1 cm
gdegrau 5 g 5
M = = = (1.3) 
 
 
 
Figura 2-2 Exemplo de gráfico linear e logarítmico. Note que no gráfico linear o passo e 
o degrau são facilmente determinados. Na escala logarítmica o degrau pode ser 
determinado facilmente, mas o passo segue geometricamente uma função do tipo log. 
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1 10 2 3 4 5 6 7 8 9 
Assim, a cada variação de distância no papel temos uma variação na grandeza 
física medida – a cada 1 cm tem-se 5 g. Na parte inferior da Figura 2-2 
apresentamos um gráfico do movimento de um móvel em função do tempo 
onde é assinalado os passos e degraus de cada eixo coordenado. 
 O passo de uma escala pode ser linear ou não. Os tipos mais comuns 
de escalas são a linear e logarítmica mostrados na Figura 2-2 nas partes 
inferior e superior, respectivamente. Observe que na escala logarítmica o 
degrau pode ser determinado facilmente,mas o passo segue geometricamente 
uma função do tipo log, veja Figura 2-3. 
 
 
Para facilitar a construção gráfica a leitura dos valores numa escala 
logarítmica é direta ao invés dos seus logaritmos, conforme Figura 2-3. Veja 
que uma unidade corresponde ao intervalo entre duas potências sucessivas de 
dez† (log10[10n]-log10[10n-1]=n-n+1=1). 
 Na Figura 2-4 podemos averiguar com mais detalhe como as escalas se 
relacionam entre si. No eixo das ordenadas temos uma escala linear cujo 
espaçamento é linear nas divisões apresentadas inclusive nos números 
delimitando cada ordenada, e.g. 0,8 0,7 0,1− = . No eixo das abscissas os 
espaçamentos seguem uma função logarítmica (geometricamente) e os 
números que delimitam cada divisão não. Observe que cada ponto do gráfico o 
número apresentado na abscissa tem seu logaritmo correspondente na 
ordenada. 
 
 
†
 Pela simplicidade os gráficos log utilizam a potência 10. Mas você pode inventar a sua. 
 
 
 
Figura 2-3 Exemplo de uma escala log. Observe que os espaçamentos seguem uma 
função log. A escala começa em 1, pois log(1) = 0. Observe que a distância entre dois 
números no eixo é proporcional à diferença dos seus logaritmos. 
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Abscissa 
(Log) 
Ordenada 
(Linear) 
 
0,9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
-0,1 
0,0 
0,1 
0,2 
0,3 
0,4 
0,5 
0,6 
0,7 
0,8 
0,9 
1,0 
1,1 
Es
ca
la
 
Li
n
ea
r
Escala Logarítimica
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
0 
0,30103 
0,47712 
0,60206 
0,69897 
0,77815 
0,8451 
0,90309 
0,95424 
1 
Figura 2-4 Comparação entre as escalas linear e logarítmica (base 10). Ao lado temos 
uma tabela de comparação dos valores na escala logarítmica (abscissa) e linear 
(ordenada). Observe que na escala linear os resultados assinalados são resultados da 
aplicação da função log nos números da escala logarítmica. 
 
2.1.1 Regras práticas de construção de um gráfico 
Cada um dos eixos deve conter o nome (ou símbolo) da variável 
representada, a escala de leitura e a unidade correspondente. Escolha uma 
escala conveniente para a qual o gráfico represente bem o intervalo medido 
para cada variável. A regra prática para esta definição é dividir a faixa de 
variação de cada variável pelo número de divisões principais disponíveis é: 
 Arredondar para o múltiplo mais próximo 1, 2 ou 5.
U
x
C
∆
= →
∆
 (1.4) 
aqui U∆ é a variação de unidades dos dados e C∆ é a variação na escala 
disponível. Toma-se então um arredondamento a valor superior e de fácil 
leitura. Estes valores de fácil leitura são: 1, 2 ou 5 unidades ou qualquer 
múltiplo ou submúltiplo de 10 delas. Por exemplo, no papel milimetrado, se a 
faixa de variação dos dados for de 35 unidades e o número de cm disponíveis 
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for de 10 cm, chegamos ao valor ideal de 5 unidades para cada divisão do 
gráfico, pois Múltiplo mais próximo35 3,5 5
10
= → . 
 Apresentamos abaixoum exemplo de um gráfico: 
-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
Ve
lo
ci
da
de
 
(km
/h
)
Tempo (s)
 
Figura 2-5 Velocidade de um automóvel acelerando. Aqui ∆∆∆∆C= 10 cm e ∆∆∆∆U= 35 s, portanto 
Múltiplo mais próximo3,5 5U
C
∆
= →
∆
. 
 
Na Tabela 2-1 estão dispostos os pontos experimentais apresentados no 
gráfico na Figura 2-5. Observe que na coluna das velocidades há uma 
incerteza em cada medida. E essa incerteza é apresentada no gráfico anterior 
como uma barra vertical indicando valores acima e abaixo do valor da 
velocidade. 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 2-1 Velocidade (v) medida em função do 
tempo (t), para um automóvel acelerando. 
t(s) v(km/h) 
0 42 ± 7 
5 67 ± 7 
10 101 ± 7 
15 134 ± 7 
20 161 ± 7 
25 183 ± 7 
30 196 ± 7 
35 200 ± 7 
 
 
2.2 Análise Gráfica 
O gráfico cartesiano é composto de duas retas ortogonais ou 
perpendiculares. O ponto de intersecção das retas ou semi-retas é o ponto de 
origem do gráfico que nem sempre se identifica com a origem das escalas. A 
escala horizontal é chamada de eixo das abscissas e a vertical de eixo das 
ordenadas. Através de um par de coordenadas um ponto é estabelecido no 
gráfico. Esse ponto pode representar a medida de duas grandezas físicas. 
 Uma reta, conforme mostrado na Figura 2-6, é caracterizada pela 
relação linear entre um par de pontos no gráfico cartesiano, isto é 
 
 y a bx= + (1.5) 
a é o coeficiente linear e b é o coeficiente angular da equação. O coeficiente 
angular é numericamente igual a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo 
das abscissas: 
 
numericamente igual2 1
2 1
tan
y yyb
x x x
θ−∆= = →
∆ −
 (1.6) 
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e quando a abscissa se anula temos o coeficiente linear: 
 0x y a= → = (1.7) 
O coeficiente linear também pode ser obtido da equação (1.5) com um ponto 
qualquer da reta, e.g. (x1, y1): 
 1 1a y bx= − (1.8) 
 
 
 
Figura 2-6 Elementos no plano cartesiano necessários para a determinação de uma reta. 
 
2.3 Linearização 
Analisar uma grande quantidade de pontos experimentais é uma tarefa 
árdua e dispor esses pontos experimentais num gráfico facilita a compreensão 
da situação. 
∆y=y2-y1 
∆x=x2-x1 
x1 x2 
y1 
y2 
θ 
Eixo y 
(Ordenada) 
Eixo x 
(Abscissa) 
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2.3.1 Linearização de polinômios 
É comprovado cientificamente que nosso cérebro facilmente identifica uma 
curva de uma reta; funções do tipo x2 e x4 não são perceptíveis. 
Para funções polinomiais do tipo: 
 ( ) By x Ax C= + (1.9) 
 
Resulta numa reta se fazemos a seguinte substituição de variáveis: 
 ( )Bz x y z Az C= → = + (1.10) 
Assim, fazendo-se o gráfico da função da equação (1.10) os coeficientes A e 
C são determinados prontamente. 
 
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
0
50
100
150
200
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
0
50
100
150
200
h 
(cm
)
z (s2)
θ
 
h(c
m
)
 t(s)
 
Figura 2-7 Gráfico linearizado de um objeto em queda livre com a mudança de variável 
z=t2. No gráfico interior podemos observar o gráfico dos pontos originais. 
 
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Tabela 2-2 Altura (h) em 
função do tempo (t) para 
um objeto em queda livre. 
t(s) h(cm) z=t2 (s2) 
0,01 200 0,0001 
0,225 173 0,051 
0,319 151 0,102 
0,390 124 0,152 
0,450 99 0,203 
0,504 76 0,254 
0,552 48 0,305 
0,596 26 0,355 
0,637 1 0,406 
 
Na Tabela 2-2 apresentamos os pontos experimentais da Figura 2-7. A 
partir desse gráfico podemos determinar os coeficientes da reta, isto é 
2
2
-4,9 10 cm
s
A = × e 22,0 10C cm= × . 
 
2.3.2 Linearização de funções especiais 
Se a função for do tipo xy C eβ= ⋅ (‡) é facilmente linearizada pela função ln, 
i.e. a função logaritmo natural ou neperiano: 
 ( )ln ln lnxy C e C xβ β= ⋅ = + (1.11) 
 
Um outro tipo de função pode ser By A x= ⋅ que pode ser linearizada pela 
aplicação da função log: 
 ( )log log log logBy A x A B x= ⋅ = + ⋅ (1.12) 
Após a aplicação da função ln ou log nas funções acima os pontos passam 
a descrever uma reta. 
 
‡
 O numero transcendental e equivale a: 2,7182818284590452353602874713527...e = 
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Na equação (1.11) os dados do eixo das ordenadas descrevem uma 
função ln e o eixo das abscissas descrevem uma função linear em x. Se 
colocamos os pontos dessa função num papel do tipo mono-log teremos uma 
reta. 
 
Tabela 2-3 Exemplo de valores de uma função 
exponencial. 
x(cm) T/T0 ln (T/T0) 
0,0 1,0 0 
0,4 0,801 
−0,222 
1 0,606 
−0,501 
1,4 0,473 
−0,749 
2,0 0,341 
−1,076 
4,0 0,127 
−2,064 
4,4 0,102 
−2,280 
7,5 0,0165 
−4,104 
 
Na Tabela 2-3, apresentamos os dados para um decaimento 
exponencial, e na mesma tabela já incluímos os valores do logaritmo da 
ordenada. 
 
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0,01
0,1
1
T/
T 0
x (cm)
 
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-4
-3
-2
-1
0
∆x=-7,4
ln
(T
/T
0)
x (cm)
∆ln(T/T0)=4
 
Figura 2-8 Gráfico dos dados da Tabela 2-3 da transmissão normalizada. A esquerda a 
transmissão T/T0 (segunda coluna) é graficada diretamente na escala mono-log e a 
direita temos o gráfico linearizado ln (T/T0) (terceira coluna) em papel milimetrado. 
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Graficando-se os dados desta tabela (Figura 2-8) podemos verificar a 
linearização da curva, indicando que a exponencial é uma boa aproximação 
para estes pontos. Os parâmetros β e ln C são dados, respectivamente, pelo 
coeficiente angular e pelo termo constante da reta. Do gráfico (a direita), 
obtemos: 
β = −0, 54 cm−1 e C = 1. (1.13) 
Podemos obter os mesmos valores diretamente do gráfico da Figura 2-8 
(esquerda) lembrando que o papel é log na base 10. Para que possamos obter 
o mesmo resultado tomamos (por exemplo) dois pontos (1º. e o ultimo), então o 
coeficiente angular β´ nessa escala será: 
 
-1log1 log 0,0165
´ 0,2377...cm
7,5 0
β −= ≅ −
−
 (1.14) 
Essa discrepância com o valor apresentado na equação (1.13) é devido ao log 
ser na base 10, portanto: 
 
-1´ 0,54 cm
log e
ββ = = (1.15) 
 
 Na Tabela 2-4 temos os pontos apresentados no gráfico da Figura 2-8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 2-4 Comprimento (L) 
e período (T) do pêndulo. 
L(cm) ±0,1 T(s) ±0,01 
10,0 0,72 
40,0 1,13 
70,0 1,75 
100,0 1,95 
130,0 2,42 
160,0 2,46 
190,0 2,82 
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 Um exemplo muito ilustrativo na obtenção do coeficiente de atenuação 
de um gráfico exponencial é mostrado na Figura 2-9. Nesse gráfico temos 
todos os passos para a obtenção desse coeficiente e sua correçãodevida a 
escala logarítmica ser na base 10. Uma outra forma de encontrar o resultado 
da expressão log logfY Y− é medir Y∆ e L (medida de uma década) com uma 
régua, a razão Y
L
∆
 é o resultado quisto, conforme mostrado na Figura 2-9. 
 
 
Figura 2-9 Gráfico exemplo de obtenção do coeficiente b de atenuação da função 
bXY A e= ⋅ . Note que o coeficiente deve ser corrigido conforme equação (1.15). O 
resultado logb e⋅ pode ser obtido através da razão Y
L X
∆
⋅ ∆
com as medidas de Y∆ e L 
obtidas através de uma régua. 
 
 
 
1
20 
30 
4
50 
100 
200 
30
0 10 20 30 40 50 60 70 t (s) 
T (oC) 
f iX X X∆ = −
f iY Y Y∆ = −
bXY A e= ⋅
-1
-1
log log
log
log 20 log100
71 10
0,012 s
0,027s
f i
f i
Y YYb e
X X X
b
−∆
⋅ = =
∆ −
−
=
−
≅ −
∴ ≅ −
A=160º
L 
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3 Erros 
 
Um resultado experimental só adquire confiabilidade quando é repetido 
várias vezes por diferentes métodos e técnicas. Essa afirmação decorre da 
impossibilidade de se conhecer a priori os erros experimentais que estão 
associados a uma dada experiência, ou seja, incerteza. 
Os erros experimentais são divididos em: 
• Sistemáticos (Figura 3-1) 
o Instrumental – Falta de calibração do instrumento de medida; 
o Teoria – Uso de fórmulas teóricas aproximadas ou de constantes 
físicas; 
o Ambiental – Efeito do ambiente como pressão, temperatura, etc. 
o Observacional – Falhas ou limitações do observador; 
• Aleatórios ou randômicos (Figura 3-1) 
o Originam-se de variações aleatórias no valor da medida de uma 
grandeza e não podem ser controlados. 
• Grosseiros 
o Leitura enganada e/ou negligência (“esquecer a bolacha no prato 
da balança”) 
 
 
Figura 3-1 Exemplo de erros aleatórios (a) e sistemáticos (b). 
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A definição de erro em ciência experimental é algo muitas vezes confuso, 
pois quando falamos em erro devemos saber o quanto estamos errados. A 
palavra que é mais adequada correntemente deve ser a incerteza. Seja uma 
grandeza y medida: 
 experimentalerro verdadeiroy yη = − (1.16) 
De acordo com a equação (1.16) não conhecemos verdadeiroy (valor verdadeiro da 
grandeza) e erroη . A definição da expressão anterior define o conceito de erro. 
O que se é possível saber a respeito de verdadeiroy e erroη são em termos 
probabilísticos. Assim, em física experimental trabalhamos com os seguintes 
conceitos: 
 
valor provável
valor provável
verdadeiro p
erro p
y y
η η
→
→
 (1.17) 
Dessa forma, tem-se uma incerteza no valor real de verdadeiroy . Definimos então 
a incerteza como: 
 experimentalp py yη = − (1.18) 
 É interessante notar que conhecer o valor verdadeiro de uma grandeza 
exige o conhecimento desta por diferentes métodos e técnicas. 
 
3.1 Distribuição Discreta de Probabilidade 
Uma variável discreta só pode assumir certos valores conhecidos 
previamente. Imagine um dado. Sempre quando há um lançamento os valores 
só poderão ser “1”, “2”, “3”, “4”, “5” ou “6”§. Pela intuição sabemos previamente 
que quaisquer um dos seis valores ou eventos são equiprováveis, caso 
contrário o dado é viciado. Entendemos que o processo é aleatório quando os 
resultados do processo de lançamento podem ter qualquer valor. Note que num 
processo aleatório na se tem controle de todas as variáveis ou influências 
 
§
 Esses valores denotam o espaço amostral do lançamento dos dados. 
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sobre o processo físico em si. Na Figura 3-2 temos o exemplo de um processo 
aleatório: o lançamento de dados. No lançamento com as mãos todas as 
condições iniciais de lançamento não são possíveis de se obter. Ou seja, o 
resultado não é reprodutível. 
 
Figura 3-2 Exemplo de um evento após o lançamento de um dado. 
 
 No caso da Figura 3-2 temos um processo aleatório y cujo resultado 
pode ser um número finito m de possibilidades, no caso do dado 6m = , ou 
seja, 6 eventos possíveis. 
 
1 2 3 1
 eventos possíveis
... m m
m
y y y y y
−����������� (1.19) 
 
A freqüência de ocorrência de um dado evento é definida como o número 
de vezes ( )iN y que ocorre iy quando o processo y é repetido N vezes: 
 ( )
1
m
i
i
N y N
=
=∑ (1.20) 
A freqüência relativa do evento iy é definida como: 
 ( ) ( )ii N yF y N= (1.21) 
 Quando temos um processo hipotético que podemos repeti-lo um 
número infinito de vezes a freqüência relativa torna-se a probabilidade de 
ocorrência do evento em questão: 
1,2,3,4,5,6 
1 ou 2 3,4,5,6 
 
 
 
Evento 
individual 
Evento 
Agrupado 
Evento A Evento B 
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 ( ) ( ) ( )lim limii iN N
N y
P y F y
N→∞ →∞
= = (1.22) 
Das equações acima obtemos: 
 ( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 1
m m m
i i i
i i i
F y N y P y
N
= = =
= = → =∑ ∑ ∑ (1.23) 
 Quando todos os eventos possíveis são equiprováveis, i.e. 
( ) ( ) ( )1 2 ... mP y P y P y p= = = = , a probabilidade de cada evento ocorrer será: 
 
1p
m
= (1.24) 
 Conforme as definições acima o lançamento de dados pode ser aplicado 
sem nenhum problema. Por exemplo, se quisermos saber a probabilidade do 
dado apresentar o evento y5=“5” num número de lançamentos quaisquer temos 
a Tabela 3-1. 
 
Tabela 3-1 Exemplo de vários lançamentos, onde o evento y5=“5” do dado é o evento de 
interesse ( 5y ). 
N 101 102 103 104 105 106 
( )5N y 3 12 163 1.698 16.605 166.753 
( )5F y 0,3 0,12 0,163 0,1698 0,16605 0,166753 
1 1 0,1666... probabilidade teórica
6
p
m
= = = → 
 
Na Tabela 3-1 observa-se que há uma convergência para a freqüência e, se 
extrapolamos para um número infinito de lançamentos os nossos “testes”, 
alcançamos a probabilidade para o evento em questão. O exemplo da tabela 
anterior pode ser aplicado sem problemas ao lançamento de uma moeda, 
nesse caso a probabilidade será 1
2
p = . 
 
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3.2 Valor Médio 
Para N repetições de um processo aleatório da variável discreta y , o valor 
médio é definido como: 
 
1
1 N
k
k
y y
N
=
= ∑ (1.25) 
 
 Se para cada resultado possível iy ocorreu ( )iN y vezes, o valor médio 
será: 
 
( )
( )1
1
m
i i m
i
i i
i
y N y
y y F y
N
=
=
⋅
= = ⋅
∑
∑ (1.26) 
Na equação (1.26) m representa o número possível de eventos da variável 
discreta y . Agora se N → ∞ temos assim o valor médio verdadeiro ( µ ): 
 ( )
1
lim
m
i iN i
y y P yµ
→∞
=
= = ⋅∑ (1.27) 
A assertiva da equação (1.27) só é válida se na avaliação da grandeza y só 
existirem erros aleatórios. Vale ressaltar que nem todos os processos são 
possíveis determinar ( )iP y exatamente, então o valor de µ é geralmente 
indeterminado. 
 Quando se tem uma distribuição de probabilidade que rege um processo 
de medida de uma grandeza é interessante se definir a variância como: 
 ( ) ( )22
1
m
i i
i
y P yσ µ
=
≡ − ⋅∑ (1.28) 
O desvio padrãoσ da distribuição de probabilidade é definido a seguir: 
 ( ) ( )22
1
m
i i
i
y P yσ σ µ
=
≡ + = + − ⋅∑ (1.29) 
As definições das equações (1.28) e (1.29) implicam na indeterminação de da 
variância e consequentemente do desvio padrão. 
 
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3.3 Distribuição Binomial 
Na teoria de probabilidade e estatística, a distribuição binomial fornece a 
distribuição de probabilidade do número de sucessos numa seqüência de 
N experimentos independentes resultando sim/não, em cada sucesso a 
probabilidade é p . O resultado do sucesso/fracasso num experimento é 
também chamado de experimento de Bernoulli ou uma distribuição de 
Bernoulli. Conhecer uma distribuição é muito útil na previsão de possíveis 
eventos ocorrerem. 
 Veja a seguinte situação: se tomarmos seis moedas iguais e as 
lançamos, o número de “caras” apresentando numa única jogada será a nossa 
variável independente. Um exemplo é apresentado na Tabela 3-2 onde há 64 
possibilidades das moedas caírem. 
 
Tabela 3-2 Possibilidades de jogada de seis moedas apresentando “cara”. O evento 
apresentando “cara” = “H” e “coroa” = “T”. 
Número de “caras” 
aparecendo 
Número de possibilidades 
que isto pode acontecer 
Padrões 
0 1 TTTTTT 
1 6 HTTTTT 
THTTTT 
TTHTTT 
TTTHTT 
TTTTHT 
TTTTTH 
2 15 Tarefa a partir daqui! 
3 20 
4 15 
5 6 
6 1 HHHHHH 
Total de possibilidades 64 
 
Chegamos à conclusão que a Tabela 3-2 que qualquer uma das 64 
possibilidades pode acontecer num lançamento simples (levando-se em conta 
que em cada lançamento as moedas são bem “chacoalhadas”, e.g. colocadas 
dentro de um copo e agitadas). 
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 Se as seis moedas são agitadas e jogadas 64 vezes temos então os 
resultados esperados na Tabela 3-3. As freqüências apresentadas nessa 
tabela são baseadas nas probabilidades teóricas e não necessariamente 
aparecerá após 64 jogadas, mas na média após um grande número de 
lançamentos tende para esses valores. Assim, se 6400 jogadas forem feitas 
esperamos 100 ocorrências de 0 “cara”, 600 de 1 “cara”, etc. 
 
Tabela 3-3 Resultados esperados após 64 lançamentos de 6 moedas apresentando 
“cara”. 
Número 
de 
“caras” 
Freqüência esperada de 
ocorrência após 64 
lançamentos 
Freqüência relativa de ocorrência 
(probabilidades) num grande 
número de lançamentos 
0 1 1/64 = 1,56% 
1 6 6/64 = 9,38% 
2 15 15/64 = 23,44% 
3 20 20/64 = 31,25% 
4 15 15/64 = 23,44% 
5 6 6/64 = 9,38% 
6 1 1/64 = 1,56% 
 
 Na Figura 3-5 apresentamos um histograma dos dados referenciados da 
Tabela 3-3. 
0
10
20
30
0 1 2 3 4 5 6
0
5
10
15
20
Fr
eq
u
ên
ci
a 
es
pe
ra
da
 
de
 
o
co
rr
ên
ci
a 
ap
ós
 
64
 
jog
ad
a
s
Número de "cara" por jogada
Pr
o
ba
bi
lid
ad
e 
de
 
o
co
rr
ên
ci
a
 
(%
)
 
Figura 3-3 Histograma dos dados apresentados na Tabela 3-3. Os pontos marcam as 
probabilidades teóricas de se obter “cara” por jogada de seis moedas. 
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Exercício: 
Coloque sei moedas iguais num copo. Agite-as bem e as jogue numa superfície 
plana, e.g. uma mesa. Escreva o número de “caras” em cada lançamento. 
Repita o processo 63 vezes para um total de 64 vezes. Faça um histograma da 
freqüência versus o número de “caras” aparecendo e compare com o caso 
ideal (Figura 3-3). Se as freqüências relativas fossem previsíveis inteiramente 
de experimentos tais como este, nós chamaríamos as probabilidades a 
posteriori (após o fato) ou empírica? Se as suposições teóricas se ajustam aos 
fatos físicos, esperar-se-ia que as probabilidades experimentais a posteriori 
aproximassem mais e mais dos valores conhecidos a priori (no caso das 
tentativas aumentassem em direção ao infinito como limite). 
 
3.3.1 Análise do lançamento de uma moeda 
Após o lançamento de uma moeda a probabilidade de um sucesso é 
50%, ou seja 1 1
2
p
m
= = ( 2m = número de eventos possíveis), para qualquer 
situação escolhida (veja Figura 3-4). 
 
 
Figura 3-4 Processo de lançamento de uma moeda. 
 
Se tivermos n moedas o número de possibilidade para cada uma é 2, 
então o número total de possibilidades será: 
Possibilidades = 2 2 2... 2 2n× × × =
 (1.30) 
Lançamento 
Cara 50% 
(Evento A) 
Coroa 50% 
(Evento B) 
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Observe que uma situação cujo lançamento resulte em todas as moedas 
apresentando “cara” (evento A) será 1
2
n
 
 
 
. Agora analise o caso quando 
temos: 
 
 
Figura 3-5 Situação de um possível lançamento de n moedas 
simultaneamente ou n vezes uma moeda. O evento A representa as 
“caras” aparecendo y vezes e o evento B representa as “coroas” 
obtidas ( n y− vezes). 
 
y é o número de moedas que apresentam cara (“sucesso”) e ( )n y− é o 
número de vezes que temos coroa (“fracasso”). A probabilidade do evento A 
ocorrer em cada processo simples é p e ( )1 p− no evento B. A probabilidade 
da situação em particular mostrada na Figura 3-5 será: 
 ( )0 1 n yyP p p −= ⋅ − (1.31) 
y representa o número de vezes que aparece o evento A e ( )n y− o número de 
vezes que apareceu o evento B. Note que este resultado é bem particular e 
que qualquer troca de A com B é uma possibilidade válida, logo o número de 
possibilidades válidas será: 
 ( ),
!
! !
y
n n y
nC C
y n y
= =
−
 (1.32) 
y vezes (n-y) vezes 
A A B B ... ... A A B B 
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A equação (1.32) representa o número de combinações** possíveis de y 
objetos idênticos (moedas apresentando “cara”) com n posições. Portanto, a 
equação (1.31) pode ser generalizada para obtermos a distribuição binomial: 
 ( ) ( )
!( , , ) 1
! !
n yynP y n p p p
y n y
−
= ⋅ ⋅ −
−
 (1.33) 
Aplicando a equação (1.33) para a Tabela 3-3 temos: 
 
1 1 1(0,6, ) 0,015620 (3,6, ) 0,312500 (6,6, ) 0,01562
2 2 2
1 1(1,6, ) 0,093750 (4,6, ) 0, 234375
2 2
1 1(2,6, ) 0,234375 (5,6, ) 0,093750
2 2
P P P
P P
P P
= = =
= =
= =
 (1.34) 
Como era de se esperar obtivemos os mesmos valores, por que? 
 O valor médio verdadeiro da variável y pode ser calculado através da 
equação (1.27) resultando em††: 
 ( ) ( )0
! 1
! !
n
n yy
y
ny p p np
y n y
µ −
=
= ⋅ ⋅ − =
−
∑ (1.35) 
E da mesma forma podemos obter a variância e o desvio padrão: 
 
( )
( )
2 1
1
np p
np p
σ
σ
= −
= −
 (1.36) 
Aplicando as equações (1.35) e (1.36) aplicando ao problema mostrado na 
Figura 3-3 temos: 
 
2
16 3
2
1,5
1,225
npµ
σ
σ
= = ⋅ =
=
≅
 (1.37) 
 
**
 Um exemplo: Uma prova de 15 questões o aluno pode resolver 10. Quantas maneiras isto 
poderá ser feito? C15,10=3.003 maneiras. 
††
 Fazemos a seguinte substituição 1iy y i= = − e 1m n= + . 
 
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 Veja o seguinte exemplo: Um dado é jogado 100n = vezese o resultado 
“3” é o evento de interesse, i.e. A. Para cada jogada a probabilidade de se 
obter o evento desejado é 1
6
p = . Através da distribuição binomial podemos 
saber como será a probabilidade de cada resultado, ou seja, nas 100 vezes 
aparecer A ou 99 vezes, e assim por diante. A probabilidade do problema será: 
 ( ) ( )
1 100! 1 5
, 100,
6 ! 100 ! 6 6
y n y
P y P y n p
y y
−
     
= = = =     
−     
 (1.38) 
 
 
Figura 3-6 Distribuição binomial para 1
6
p = e 100n = . y é o número de eventos 
possíveis com probabilidade ( )P y ocorrer. O valor médio é 16,666...npµ = = e o 
desvio padrão da distribuição é 4,1σ ≅ . Nesse gráfico temos a função gaussiana G(y) 
que utilizada para variáveis contínuas. 
 
Na Figura 3-6 apresentamos o gráfico do número de ocorrências y possíveis 
(abscissa) e a sua probabilidade ( )P y (ordenada). Note que o resultado mais 
µ
 
σ
 
0 20 40 60 80 100
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
P y( )
G y( )
y
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provável está próximo de 20 ocorrências do evento desejado, i.e. “3”, em 100 
jogadas. 
 
3.4 Distribuição de Poisson 
A distribuição de Poisson representa uma aproximação da distribuição 
binomial, quando o número médio de eventos é muito menor do que o total 
possível. Isso acontece, por exemplo, no decaimento espontâneo de átomos 
por unidade de tempo numa amostra radiativa. Numa amostra podemos ter da 
ordem 1020 átomos e a sua desintegração por unidade de unidade de tempo é 
muitas ordens menor. Outras aplicações possíveis são: taxa de mortalidade 
infantil numa dada população, número de erros de impressão num livro, etc. 
Assim, temos a seguinte situação: 1n� e 1p� . Utilizar a equação (1.33) 
nesse caso é inconveniente. Utilizamos então a distribuição de Poisson: 
 ( ) 
!
y
P y e np
y
µ
µ
µ µ σ µ−= = = (1.39) 
µ é o valor médio da distribuição e σ é o desvio padrão. A equação (1.39) é 
obtida através da distribuição binomial tomada da aproximação de Stirling[2] 
( 1ln ! ln ln 2
2
n n n n npi≅ − + ) e da aproximação ( )
2 3
ln 1
2 3
x x
x x+ ≅ − + para 1x � . 
Em resumo temos: se temos uma grande coleção de objetos idênticos com 
uma pequena probabilidade de certo evento acontecer temos então uma 
distribuição de Poisson. 
 Tome como exemplo uma fonte de radioatividade tal como o 137Cs que 
tem uma meia vida‡‡ de 27 anos. A probabilidade por unidade de tempo de um 
simples núcleo decair é 10 12 0,026ln 8,2 10
27
p s
ano
− −
 
= = = × 
 
. Note que é uma 
pequena probabilidade, mas se temos uma amostra com 1µg=1015 núcleos a 
observação média de decaimentos por segundo será 58,2 10npµ = = × 
 
‡‡
 Consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Half-life 
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decaimento/segundo e desvio padrão 922σ ≅ decaimentos por segundo. Um 
outro exemplo de aplicação é o decaimento radioativo do 238U emitindo 
partículas α, por exemplo. 
Em situações práticas nem sempre podemos determinar o valor médio 
verdadeiro, i.e. µ . Geralmente, utilizamos o resultado de uma observação 
experimental como é o caso de decaimentos radioativos. Por exemplo, seja 
uma observação 0y (contagens/segundo) registrada por um contador Geiger-
Müller, nesse caso 1µ � , então temos: 
 0 0 y yµ σ≅ ∴ ≅ (1.40) 
A equação (1.40) é perfeitamente válida e pode-se mostrar que a probabilidade 
do valor médio verdadeiro estar contido no intervalo 0 0y yσ µ σ− < < + é de 
aproximadamente 68,3%[2]. 
 
3.5 Variáveis contínuas 
Até aqui vimos que o processo aleatório que estudados era uma variável 
discreta. É comum encontrar vários processos aleatórios cuja variável aleatória 
pode ter resultar num número muito grande de possibilidades. Dessa forma, 
precisamos estender vários critérios apresentados anteriormente. 
Devido as variáveis contínuas terem um amplo espectro em torno de um 
valor em particular a probabilidade passa a ter um sentido intervalar e deve ser 
definida através de uma função densidade de probabilidade: 
 ( ) ( )dP y H y dy= (1.41) 
 aqui ( )H y é a função densidade de probabilidade. E ( )dP y é a probabilidade 
num intervalo diferencial dy da probabilidade da variável aleatória y ser 
encontrada. Com a definição acima o valor médio verdadeiro da variável 
aleatória contínua y passa a ser: 
 ( )y H y dyµ
+∞
−∞
= ⋅∫ (1.42) 
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E de maneira semelhante a variância: 
 ( ) ( )22 y H y dyσ µ
+∞
−∞
= − ⋅∫ (1.43) 
 
3.5.1 Densidade de Probabilidade Gaussiana e Intervalo de 
Confiança 
Quando o valor médio verdadeiro 1µ � e 1y� a distribuição de Poisson 
torna-se a distribuição de Gauss: 
 ( )
21
21
2
y
G y e
µ
σ
σ pi
− 
−  
 
= (1.44) 
 µ e σ são parâmetros independentes. A principal característica dessa função 
densidade de probabilidade é ser simétrica em relação a µ . É interessante 
notar que a função gaussiana é uma boa aproximação para a função de 
Poisson mesmo quando 1µ � e 1y� . Na Figura 3-6 a função gaussiana é 
apresentada juntamente com a função binomial mostrando a sua semelhança. 
Também, pode-se mostrar que a probabilidade de ocorrer y µ σ− < é de 
68,3%. 
 
 
Figura 3-7 Nessa figura podemos observar que o azul escuro abrange 
~68,3% do conjunto de medidas em torno ( 1 σ± ⋅ ) do valor médio 
verdadeiro µ ; enquanto que o azul médio tem ~95,5 ( 2 σ± ⋅ ) e o azul mais 
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claro toma ~99,9% de todas as medidas, ou seja 3 σ± ⋅ . 
 
 A distribuição de probabilidades gaussiana, como apresentado na Figura 
3-7, mostra o intervalo de confiança de uma medida. Assim, uma medida y 
qualquer tem a probabilidade de ~68,3% estar contida no intervalo y µ σ− < , 
~95,5% em 2y µ σ− < e ~99,7% presente no intervalo 3y µ σ− < . 
 Conforme vimos no parágrafo anterior há um intervalo que garante que a 
medida esteja dentro de um dado intervalo de confiança. Podemos assim 
exprimir uma medida física em termos de um intervalo de confiança. 
Geralmente a medida pode ser expressa em termos da incerteza limite L , ou 
seja a máxima incerteza que a medida pode apresentar. Assim, de acordo com 
a Figura 3-7 a incerteza limite pode ser dada por: 
 3L σ= (1.45) 
Aqui a incerteza nos afirma que ~99,7% da medida está contida no intervalo. 
Se o intervalo não for muito confiável adotamos: 
 2L σ= (1.46) 
Com probabilidade de certeza em torno de ~95,4%. E finalmente: 
 L σ= (1.47) 
Com ~68,3% de certeza. 
 Por exemplo, uma régua metálica com incerteza limite de 1 L mm= pode 
ter um incerteza instrumental de 1 0,3
3 3
L
mm mmσ = = � . 
 
3.6 Espaço amostral de variável contínua 
Quando temos uma variável aleatória deveríamos fazer infinitas medidas 
(espaço amostral) para se determinar com exatidão a função distribuição de 
probabilidade que governa o evento em questão e assim obter a população 
mãe. O que se faz geralmente é tomar um número finito de medidas, i.e. 
amostra, e tomar esse conjunto de medidas representativo em relação ao 
conjunto infinito de medidas. 
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3.6.1 Valor médio e desvio padrão 
Suponha um conjunto de n medidas idênticas, i.e. uma amostra, feito por 
um mesmo experimentador (mesmos instrumentos e condições ambientais). 
Devido aos erros estatísticos temos: 
 1 2 3 1, , ,n ny y y y y−… (1.48) 
O valor médio será: 
 
1
n
i
i
y
y
n
=
=
∑
 (1.49) 
Como vimos anteriormente: 
 lim
n
yµ
→∞
= (1.50) 
A equação (1.50) só é valida se a variável y for puramente aleatória. 
 
 
Figura 3-8 Discriminação entre valor médio ( y ), valor médio verdadeiro ( µ ) e valor 
verdadeiro ( vy ). 
 
Numa variável y nos deparamos com a situação mostrada na Figura 3-8. 
Como é impossível conhecer o valor médio verdadeiro só podemos conhecer o 
valor médio y (conforme a equação (1.49)) e o valor médio verdadeiro µ é 
uma indeterminação, assim como é o valor verdadeiro vy e a variância 2σ . 
Então a única forma de estudar o problema é fazermos estimativas a respeito 
y 
µ
 
y
 
vy 
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dos valores µ e 2σ . Por exemplo, a melhor estimativa que temos para o valor 
médio verdadeiro µ é a média y das n medidas realizadas pelo 
experimentador, assim: 
 yµ ≅ (1.51) 
A aproximação da equação (1.51) torna-se mais confiável quando aumentamos 
o número de medidas. Isso é devido a nossa falta de conhecimento da 
distribuição de probabilidade que governa o processo da variável, ou seja, 
deveríamos fazer um numero infinito de observações e determinar a população 
mãe. Assim, o nosso conhecimento a respeito da população mãe só pode ser 
obtido através de uma amostra finita de medidas. 
 A variância da população mãe é definida[4] por: 
 ( )22
1
1lim
n
v ii i
y
n
σ µ
→∞
=
= −∑ (1.52) 
Como só podemos obter uma “amostra” com n elementos da população mãe 
definimos a variância da amostra como: 
 ( )22
1
1 n
i
i
y
n
σ µ
=
= −∑ (1.53) 
É claro que 2 2vσ σ≅ . 
 Se temos vários k conjuntos obtidos da mesma população mãe com n 
amostras cada conjunto, a média do j ésimo conjunto será jy . A variância dos 
valores médio desses k conjuntos será: 
 ( )22
1
1 k
m j
j
y
k
σ µ
=
= −∑ (1.54) 
Admitindo-se que a variância de cada conjunto sejam similares pode-se afirmar 
que 
 
2
2
 ou m m
n n
σ σ
σ σ= = (1.55) 
 Com o uso da equação (1.55) e usando o fato que ( )2 2my µ σ− ≈ temos a 
variância da amostra dada por: 
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 ( )22
1
1
1
n
i
i
y
n
σ µ
=
≅ −
−
∑ (1.56) 
Assim a equação (1.56) é a melhor estima experimental da variância da 
população mãe. 
 
pela equação dado por e um conjunto finito de medidas é definido comom O 
desvio padrão 
 
 
 
 
 
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4 Método dos Mínimos Quadrados 
 
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5 Como fazer um bom relatório 
 
O relatório científico é um documento que descreve com clareza um 
procedimento experimental. E como tal deve ser escrito com todo o cuidado – 
erros de português são cruciais. A falta de clareza no texto prejudica toda a 
avaliação do trabalho/experimento. É importante observar que o objetivo dos 
roteiros experimentais é estimular o aluno a pensar em alguns detalhes 
fisicamente relevantes para o experimento. Elas devem ser abordadas nos 
itens pertinentes dentro do relatório. 
Você deve estar perguntando-se quanto tempo deve ser gasto na 
elaboração de um relatório? A resposta a essa pergunta pode variar muito, veja 
como: 
Caso (a): uma agência de publicidade poderia tomar 80% do tempo! 
Haja vista que eles levaram apenas dois meses na realização da pesquisa. 
Caso (b): um aluno acha que 5% é algo razoável, pois mais tempo pode 
ser gasto com as atividades de pesquisas. 
Caso (c): um experimentalista pode tomar como razoável em torno de 
20%. 
Em qualquer dos três casos fica evidente que quando lemos um relatório 
científico fica evidente um dos três casos. 
Elementos de um relatório: 
I. Título da experiência 
o Esta coleção importante de palavras identifica seu relatório. O 
título é a porta de entrada de leitura do trabalho e como tal 
não pode ser menosprezado. Um título não pode ser muito 
sintético e nem muito restritivo, mas deve revelar o propósito 
do estudo e características especiais. 
II. Resumo (Abstract) 
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o É uma parte importante do relatório, pois sintetiza todo o 
trabalho realizado. O leitor ao lê-lo deve saber o que se trata 
a pesquisa. O resumo é parte excludente do texto, ou seja, 
pode-se tirar do corpo do relatório sem perda de informação. 
III. Introdução e Objetivo da experiência 
o Na introdução deve-se discutir o problema de uma forma 
satisfatória ao escopo do relatório. A necessidade de uma 
revisão bibliográfica é essencial para uma melhor clareza e 
abordagem do problema. 
o Relacione os objetivos a serem alcançados da em cada 
experiência, ou seja, que grandezas devem ser 
determinadas? Que leis devem ser verificadas? Que 
fenômenos devem ser estudados? Evite copiar o roteiro! 
IV. Material utilizado 
o Faça uma relação do material utilizado para a montagem da 
experiência explicitando as características dos mesmos. 
V. Esquema experimental 
o Faça um bom desenho ou insira uma foto da experiência – 
isso vale mais que mil palavras. Não se esqueça de identificar 
os principais equipamentos em seu esquema. 
VI. Procedimento experimental 
o Descreva, de modo sucinto e sem copiar o procedimento do 
roteiro, os procedimentos realizados durante a experiência, e 
também durante o tratamento dos dados. Use os tempos 
verbais corretos, i.e. um relatório deve ser impessoal. 
Descreva como foi montada a experiência, quais conexões 
foram feitas e por quê. Não se esqueça de fazer as 
observações especiais que influenciaram suas medidas. 
VII. Aquisição e tratamento de dados 
o Nessa seção você de apresentar seus dados, analisá-los e 
discutir as incertezas experimentais. 
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o Fórmulas devem ser seguidas de comentários sucintos, 
explicando sua origem física. Não se esqueça de identificar 
cada uma das variáveis usadas em seu relatório. Muitas 
fórmulas podem tornar o texto árido e difícil de se ler; é 
aconselhável colocá-las somente quando é parte essencial. 
o Tabelas devem conter sempre títulos descritivos, símbolo e 
unidades das grandezas medidas e/ou calculadas. 
o Gráficos também devem conter títulos descritivos. Não se 
esqueça de especificar as grandezas e respectivas unidades 
nos eixos dos gráficos. Nunca coloque nos eixos os números 
correspondentes aos valores medidos! Em vez disso, use 
sempre valores igualmente espaçados, para ajudar a leitura 
dos pontos. Esteja sempre atento para utilizar a escala 
adequada, i.e. linear ou logarítmica. Quando você tiver que 
ajustar uma reta aos seus dados experimentais, você não 
deve traçá-la a olho nu! Sugerimos o uso do método dos 
mínimosquadrados, a fim de obter a reta mais adequada aos 
seus dados. Explicite seus cálculos em uma tabela, 
permitindo que os cálculos sejam facilmente conferidos. Vale 
lembrar que um bom gráfico é agradável as vistas, mas um 
ruim é um insulto ao leitor! 
VIII. Resultados e conclusões 
o Descreva suas observações e resultados obtidos, e faça uma 
análise destes resultados, não esquecendo de considerar as 
possíveis fontes de erros e as aproximações relativas ao caso 
ideal. Lembre-se que todas as suas conclusões devem estar 
baseadas nos seus dados experimentais, caso contrário não 
devem ser consideradas como conclusões de sua atividade 
experimental. É importante qualificar pontos experimentais 
duvidosos (“não jogue sujeira debaixo do tapete”). 
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o Essa parte do relatório é importantíssima, pois irá revelar sua 
visão da experiência – é o seu tempero! 
IX. Referências 
o Algumas pessoas não dão muita importância a esse tópico e 
dão uma falsa impressão ao leitor que todas as coisas 
apresentadas no relatório são idéias próprias. Você deve ter a 
consciência que a sua descoberta ou conclusão é produto de 
ciência. Ciência não se brota espontaneamente, se 
compartilha. 
o Quando você utiliza desse recurso você está dizendo ao leitor 
que você leu os trabalhos anteriores na área, e que você está 
considerando esse fato em seus resultados. 
X. Apêndice 
o É uma parte que pode ser excluída do texto, mas pode ser 
um grande auxílio ao leitor na melhor compreensão de alguns 
aspectos teóricos, por exemplo. 
 
 
 
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6 Bibliografia 
 
[1] R. A. T. Carvalho, M.C.; Figueiredo, M. T.; Bonagamba, T.J., IFSC, São 
Carlos, 1992. 
[2] J. H. Vuolo, Fundamentos da Teoria de Erros, Edgar Blücher, São 
Paulo, 1992. 
[3] M. H. Tabacniks, Instituto de Física da Universidade de São Paulo, São 
Paulo, 2003. 
[4] R. B. Barthem, UFRJ, Rio de Janeiro, 1996.