semana_01_com_02_semgab

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸a˜o – Semana 1
Temas abordados : Limites no ponto (conceito intuitivo e formal)
Sec¸o˜es do livro: 2.1; 2.2; 2.3
1) A figura abaixo ilustra um recipiente formado por dois cilindros circulares retos justapos-
tos de altura 10m e raios respectivamente 12m e 6m. Suponha que, a partir do instante
t = 0, o recipiente comece a ser abastecido a uma vaza˜o constante de modo que o n´ıvel
da a´gua s(t) no recipiente e´ dada por
s(t) =
{
2t, para 0 ≤ t ≤ 5
8t− 30, para 5 < t ≤ 6
onde a altura e´ dada em metros e o tempo e´ dado em segundos.
(a) Esboce o gra´fico da func¸a˜o s(t).
(b) Determine, caso existam, os instantes
τ ∈ [0, 6] nos quais s(τ) = 15.
(c) Determine a imagem da func¸a˜o s.
r1
1
1
r2
2) Considere a func¸a˜o f : (0,∞) → R dada por f(x) = 1/√x. Pode-se mostrar que a
inclinac¸a˜o da reta La, que e´ tangente ao gra´fico de f(x) no ponto Pa = (a, f(a)), e´ dada
por
−1
2a
√
a
. A figura abaixo ilustra o gra´fico da func¸a˜o, a reta La e os pontos Qa e Ra
em que a reta intercepta os eixos coordenados. Julgue a veracidade dos itens a seguir,
justificando suas respostas.
(a) A reta La tem equac¸a˜o y =
−x
2a
√
a
+
3
2
√
a
.
(b) Tem-se que Ra = (2a, 0).
(c) A a´rea do triaˆngulo ∆OPaRa e´ igual a 1
2
2af(a).
(d) A a´rea do triaˆngulo ∆O PaQa e´ igual a 1
2
3
2
√
a
a.
(e) Para todo a > 0, a a´rea do triaˆngulo ∆OPaQa e´ o
dobro da a´rea do triaˆngulo ∆O PaRa.
 Qa
 Ra
 Pa
O
Lista de Aplicac¸a˜o da Semana 1 - Pa´gina 1 de 4
3) Suponha que na fabricac¸a˜o de CD’s sejam usados discos pla´sticos de raio r0 cm e a´rea
igual a A(r0) = pir
2
0 cm
2. Devido a erros no processo de fabricac¸a˜o, o disco produzido
tem raio r = r0 + h cm e a´rea A(r) = pi(r0 + h)
2 cm2, em que |r − r0| = |h| e´ o erro
no raio do disco. Como a qualidade de gravac¸a˜o do CD depende da precisa˜o da a´rea do
disco, o erro |h| deve ser pequeno. Suponha que o erro |h| seja sempre menor que 1 cm,
de modo que |h2| ≤ |h|.
(a) Determine constantes a e b tais que A(r0 + h)− A(r0) = a h+ b h2.
(b) Usando que |h| e´ sempre menor do que 1, determine uma constante K > 0 tal que
|A(r0 + h)− A(r0)| ≤ K |h|.
(c) Obtenha δ > 0 com a propriedade de que o erro na a´rea seja inferior a 1 cm2 sempre
que o erro erro no raio e´ menor que δ.
(d) Dada uma margem de toleraˆncia ε > 0, determine uma margem de seguranc¸a δ > 0
tal que |A(r0 + h)− A(r0)| < ε, sempre que 0 < |h| < δ.
4) Suponha que um comprimido tenha a forma de um cilindro circular reto de raio da base
igual a 4 mm, altura h > 0, e deva ter volume igual a 20 mm3. Como o processo de
fabricac¸a˜o esta´ sujeito a erros, a altura h deve ser razoavelmente precisa, uma vez que
dela depende a dosagem de medicamento que e´ ingerida pelo paciente.
(a) Determine, em func¸a˜o de h, o volume V (h) do com-
primido.
(b) Determine o valor h0 para que o volume do compri-
mido seja igual a V (h0) = V0 = 20 mm
3.
h
4 mm
(c) Determine, em mm, o erro ma´ximo tolerado na altura h de maneira que |V (h)− 20|
seja inferior a 1/10.
(d) Dado ε > 0, encontre δ > 0 tal que o erro |V (h) − 20| no volume do comprimido
seja menor do que ε sempre que o erro na altura |h− h0| seja menor do que δ.
5) Uma companhia de turismo cobra uma taxa de servic¸o fixa de R$ 50,00 para pacotes
tur´ısticos de valor menor ou igual a R$ 1.000,00. Para pacotes de valor superior a
R$ 1.000,00 e menor ou igual a R$ 5.000,00, a companhia cobra uma taxa fixa de R$ 30,00
acrescida de 2% do valor do pacote. Para os demais pacotes, a taxa fixa e´ de R$ c, acres-
cida de 1% do valor do pacote. Indicando por T (x) o valor total da taxa de servic¸o
cobrada por um pacote tur´ıstico no valor de x reais, julgue os itens abaixo, justificando
suas respostas.
(a) O gra´fico da func¸a˜o T (x) conte´m o ponto (3000, 90).
(b) Para c = 100, na˜o e´ poss´ıvel encontrar um pacote tur´ıstico de valor R$x0 de modo
que se tenha T (x0) = 140.
(c) limx→1000+ T (x) = 50.
(d) Na˜o existe o limite limx→1000 T (x).
(e) limx→5000+ T (x) na˜o depende de c.
(f) c = 80 se, e somente se, limx→5000 T (x) = T (5000).
Lista de Aplicac¸a˜o da Semana 1 - Pa´gina 2 de 4
6) Um ga´s e´ mantido a uma temperatura constante em um pista˜o. A` medida que o pista˜o
e´ comprimido, o volume do ga´s decresce com a func¸a˜o V (P ) = 200/P litros, ate´ atingir
a pressa˜o cr´ıtica de 100 torr quando ele se liquidifica, havendo nesse momento uma
variac¸a˜o brusca de volume. Em seguida, o seu volume passa a ser dado pela func¸a˜o
V (P ) = −0, 01P + 2 ate´ que seja atingida a nova pressa˜o cr´ıtica de 150 torr, a partir da
qual o volume permanece constante e igual a 0,5 litros.
(a) Determine a expressa˜o de V (P ).
(b) Calcule os limites laterais lim
P→P−0
V (P ) e lim
P→P+0
V (P ) para P0 = 100. Em seguida,
decida sobre a existeˆncia do limite lim
P→P0
V (P )
(c) Repita o item acima para P0 = 150.
(d) O que acontece com o volume V (P ) para valores P pro´ximos de zero?
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Gabarito
1. (a)
(b) τ = 45/8
(c) Im(s) = [0, 18]
2. Itens corretos: (a), (d)
3. (a) a = 2pir0; b = pi.
(b) K ≥ (2pir0 + pi).
(c) δ < 1/K.
(d) δ < ε/K.
4. (a) V (h) = 42pih
(b) h0 = 20/(4
2pi)
(c) 1/(10× 42pi)
(d) δ ≤ ε/(42pi)
5. Itens corretos: (a), (b), (c), (f)
6. (a)
V (P ) =

200/P, se 0 < P ≤ 100,
−0, 01P + 2, se 100 < P ≤ 150,
0, 5, se 150 < P.
(b) limP→100− P (V ) = 2, limP→100+ P (V ) = 1. Na˜o existe o limite.
(c) limP→150− P (V ) = 1/2, limP→150+ P (V ) = 1/2. O limite existe e vale 1/2
(d) se torna cada vez maior
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