Exercícios de Fixação_01

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Fixac¸a˜o – Semana 1
Temas abordados : Func¸o˜es
Sec¸o˜es do livro: 1.1; 1.2; 1.5; 1.6
1) Sejam x, y ∈ R tais que x = y e considere a seguinte sequeˆncia de passos
x2 = yx
x2 − y2 = yx− y2
(x− y)(x+ y) = y(x− y)
x+ y = y
2y = y
2 = 1.
Uma vez que 2 6= 1, em alguma das passagens acima existe um erro. Identifique essa
passagem e explique qual foi o erro cometido.
2) A func¸a˜o mo´dulo e´ definida, para todo x ∈ R, como sendo
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0.
Marcando o ponto x na reta real, o mo´dulo de x e´ exatamente a distaˆncia desse ponto ate´
o ponto 0. Utilizando a definic¸a˜o acima descreva o conjunto dos valores x que satisfazem
as seguintes igualdades.
(a) |2x+ 5| = 4
(b) |x− 3| = |2x+ 1|
3) Repita o exerc´ıcio acima considerando agora as seguintes desigualdades
(a) |3x− 8| < 4
(b) |x+ 3| ≥ 2
4) Determine o domı´nio de cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) =
3x+ 4
x2 − x− 2 (b) g(x) =
|x2 − 1|
3
√
x+ 1
(c) h(x) =
√|x| − x
(d) r(x) =
x√|x| − 1 (e) p(x) =√1−√1− x2
5) Em cada um dos itens abaixo, encontre a equac¸a˜o da reta que satisfaz as exigeˆncias
apresentadas.
(a) passa pelos pontos (3, 4) e (−2, 5)
(b) passa pelo ponto (−1, 3) e tem inclinac¸a˜o igual a −1
(c) passa pelo ponto (5,−1) e e´ paralela a` reta 2x+ 5y = 15
(d) passa pelo ponto (0, 1) e e´ perpendicular a` reta 8x− 13y = 13
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6) Considere a func¸a˜o linear f(x) = 2x + 1 e δ > 0 um nu´mero dado. Verifique que, se
|x− 1| < δ, enta˜o |f(x)− f(1)| < 2δ.
7) Considere a func¸a˜o linear f(x) = −3x + 4 e ε > 0 um nu´mero dado. Verifique que
|f(x)− f(0)| < ε, sempre que |x− 0| < ε/3.
8) Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine os intervalos no qual a func¸a˜o dada e´
positiva e aqueles onde ela e´ negativa.
(a) s(t) = (2t− 3)(t+ 1)(2− t)
(b) m(y) =
y(1− 2y)
y + 1
9) Considerando f(x) = 2x2 − 8 e g(x) = 2/(x− 7), determine o domı´nio e a expressa˜o de
cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) (f + g)(x) (b) (f · g)(x) (c)
(
f
g
)
(x)
(d)
(
g
f
)
(x) (e) (f ◦ g)(x) = f(g(x)) (f) (g ◦ f)(x) = g(f(x))
10) Considerando f(x) = (4− x)/x, determine a expressa˜o de cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) f
(
1
x
)
− 1
f(x)
(b) f(x2)− f(x)2 (c) f(f(x))
11) Dadas f(x) =
{ −x se x < 0
x2 se x ≥ 0 e g(x) =
{
1/x se x < 0√
x se x ≥ 0 , determine
(a) (f ◦ g)(x) (b) (g ◦ f)(x)
12) Denotando por x e y os lados de um retaˆngulo cujo per´ımetro e´ igual a 100, determine o
domı´nio e a expressa˜o da func¸a˜o d(x) que fornece o comprimento da diagonal do retaˆngulo
em func¸a˜o de x.
13) A partir de uma cartolina medindo 14× 22 vamos construir uma caixa sem tampa como
segue: recortamos quadrados de lado x em cada um dos ve´rtices da cartolina e dobramos
as abas. Determine a expressa˜o e o domı´nio da func¸a˜o V (x) que fornece o volume da
caixa em func¸a˜o de x.
14) Sejam x, y e z os lados de um triaˆngulo retaˆngulo, onde x e´ a hipotenusa. Suponha que
o triaˆngulo tem per´ımetro igual a 6. Determine a expressa˜o da func¸a˜o A(x) que fornece
a a´rea do triaˆngulo em func¸a˜o de x.
Dica: eleve os dois lados da igualdade y + z = 6− x ao quadrado.
15) Um grama de gelo, inicialmente a −40oC, e´ posto em uma fonte de calor. Neste expe-
rimento, observa-se a menor quantidade de calor absorvido Q(T ), em calorias, para que
a amostra atinja temperatura T , em oC. Sabe-se que a cada 1 cal, o gelo aumenta sua
temperatura em 2oC. Quando atinge 0oC, sa˜o necessa´rias mais 80 cal para o derretimento
total (que ocorre sob temperatura constante). Depois de liquefeita, a a´gua necessita de
1 cal para aumentar sua temperatura em 1oC.
(a) Calcule Q(−40), Q(−38), Q(0), Q(1) e Q(2).
(b) Determine a expressa˜o de Q(T ), para T ∈ [−40, 80].
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RESPOSTAS
1) Na quarta passagem o termo (x− y) na˜o pode ser ”cancelado”por ser igual a zero.
2) (a) x ∈ {−9
2
,−1
2
}
(b) x ∈ {−4, 2
3
}
3) (a) x ∈ (4
3
, 4) (b) x ∈ (−∞,−5] ∪ [−1,+∞)
4) (a) R \ {−1, 2} (b) R \ {−1} (c) R (d) (−∞,−1) ∪ (1,+∞) (e) [−1, 1]
5) (a) y = −1
5
x+ 23
5
(b) y = −x+ 2 (c) y = −2
5
x+ 1 (d) y = −13
8
x+ 1
6) |f(x)− f(1)| = |(2x+ 1)− (2 · 1 + 1)| = |2x− 2| = 2|x− 1| < 2δ
7) |f(x)− f(0)| = |(−3x+ 4)− (−3 · 0 + 4)| = | − 3x| = 3|x| < 3 · ε
3
= ε
8) (a) positiva em (−∞,−1) ∪ (3
2
, 2
)
, negativa em
(−1, 3
2
) ∪ (2,+∞)
(b) positiva em (−∞,−1) ∪ (0, 1
2
)
, negativa em (−1, 0) ∪ (1
2
,+∞)
9) (a) 2x2 − 8 + 2
(x− 7), para x 6= 7
(b)
4x2 − 16)
(x− 7) , para x 6= 7
(c) (x2 − 4)(x− 7), para x ∈ R
(d)
1
(x− 7)(x2 − 4), para x 6∈ {−2, 2, 7}
(e)
8
(x− 7)2 − 8, para x 6= 7
(f)
2
2x2 − 15, para x 6= ±
√
15/2
10) (a)
−4(x2 − 4x+ 1)
4− x
(b)
−2(x2 − 4x+ 6)
x2
(c)
5x− 4
4− x
11) (a) (f ◦ g)(x) =
{ −1/x se x < 0
x se x ≥ 0
(b) (g ◦ f)(x) =
{ √−x se x < 0
x se x ≥ 0
12) d(x) =
√
x2 + (50− x)2, x ∈ (0, 50)
13) V (x) = x(22− 2x)(14− 2x), x ∈ (0, 7)
14) A(x) = 9− 3x
15) (a) Q(−40) = 0, Q(−38) = 1, Q(0) = 20, Q(1) = 101, Q(2) = 102
(b) Q(T ) =
{
(T/2) + 20 se T ∈ [−40, 0]
T + 100 se T ∈ (0, 80]
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