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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo 1 Lista de Fixac¸a˜o – Semana 1 Temas abordados : Func¸o˜es Sec¸o˜es do livro: 1.1; 1.2; 1.5; 1.6 1) Sejam x, y ∈ R tais que x = y e considere a seguinte sequeˆncia de passos x2 = yx x2 − y2 = yx− y2 (x− y)(x+ y) = y(x− y) x+ y = y 2y = y 2 = 1. Uma vez que 2 6= 1, em alguma das passagens acima existe um erro. Identifique essa passagem e explique qual foi o erro cometido. 2) A func¸a˜o mo´dulo e´ definida, para todo x ∈ R, como sendo |x| = { x se x ≥ 0 −x se x < 0. Marcando o ponto x na reta real, o mo´dulo de x e´ exatamente a distaˆncia desse ponto ate´ o ponto 0. Utilizando a definic¸a˜o acima descreva o conjunto dos valores x que satisfazem as seguintes igualdades. (a) |2x+ 5| = 4 (b) |x− 3| = |2x+ 1| 3) Repita o exerc´ıcio acima considerando agora as seguintes desigualdades (a) |3x− 8| < 4 (b) |x+ 3| ≥ 2 4) Determine o domı´nio de cada uma das func¸o˜es abaixo. (a) f(x) = 3x+ 4 x2 − x− 2 (b) g(x) = |x2 − 1| 3 √ x+ 1 (c) h(x) = √|x| − x (d) r(x) = x√|x| − 1 (e) p(x) =√1−√1− x2 5) Em cada um dos itens abaixo, encontre a equac¸a˜o da reta que satisfaz as exigeˆncias apresentadas. (a) passa pelos pontos (3, 4) e (−2, 5) (b) passa pelo ponto (−1, 3) e tem inclinac¸a˜o igual a −1 (c) passa pelo ponto (5,−1) e e´ paralela a` reta 2x+ 5y = 15 (d) passa pelo ponto (0, 1) e e´ perpendicular a` reta 8x− 13y = 13 Lista de Fixac¸a˜o da Semana 1 - Pa´gina 1 de 3 6) Considere a func¸a˜o linear f(x) = 2x + 1 e δ > 0 um nu´mero dado. Verifique que, se |x− 1| < δ, enta˜o |f(x)− f(1)| < 2δ. 7) Considere a func¸a˜o linear f(x) = −3x + 4 e ε > 0 um nu´mero dado. Verifique que |f(x)− f(0)| < ε, sempre que |x− 0| < ε/3. 8) Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine os intervalos no qual a func¸a˜o dada e´ positiva e aqueles onde ela e´ negativa. (a) s(t) = (2t− 3)(t+ 1)(2− t) (b) m(y) = y(1− 2y) y + 1 9) Considerando f(x) = 2x2 − 8 e g(x) = 2/(x− 7), determine o domı´nio e a expressa˜o de cada uma das func¸o˜es abaixo. (a) (f + g)(x) (b) (f · g)(x) (c) ( f g ) (x) (d) ( g f ) (x) (e) (f ◦ g)(x) = f(g(x)) (f) (g ◦ f)(x) = g(f(x)) 10) Considerando f(x) = (4− x)/x, determine a expressa˜o de cada uma das func¸o˜es abaixo. (a) f ( 1 x ) − 1 f(x) (b) f(x2)− f(x)2 (c) f(f(x)) 11) Dadas f(x) = { −x se x < 0 x2 se x ≥ 0 e g(x) = { 1/x se x < 0√ x se x ≥ 0 , determine (a) (f ◦ g)(x) (b) (g ◦ f)(x) 12) Denotando por x e y os lados de um retaˆngulo cujo per´ımetro e´ igual a 100, determine o domı´nio e a expressa˜o da func¸a˜o d(x) que fornece o comprimento da diagonal do retaˆngulo em func¸a˜o de x. 13) A partir de uma cartolina medindo 14× 22 vamos construir uma caixa sem tampa como segue: recortamos quadrados de lado x em cada um dos ve´rtices da cartolina e dobramos as abas. Determine a expressa˜o e o domı´nio da func¸a˜o V (x) que fornece o volume da caixa em func¸a˜o de x. 14) Sejam x, y e z os lados de um triaˆngulo retaˆngulo, onde x e´ a hipotenusa. Suponha que o triaˆngulo tem per´ımetro igual a 6. Determine a expressa˜o da func¸a˜o A(x) que fornece a a´rea do triaˆngulo em func¸a˜o de x. Dica: eleve os dois lados da igualdade y + z = 6− x ao quadrado. 15) Um grama de gelo, inicialmente a −40oC, e´ posto em uma fonte de calor. Neste expe- rimento, observa-se a menor quantidade de calor absorvido Q(T ), em calorias, para que a amostra atinja temperatura T , em oC. Sabe-se que a cada 1 cal, o gelo aumenta sua temperatura em 2oC. Quando atinge 0oC, sa˜o necessa´rias mais 80 cal para o derretimento total (que ocorre sob temperatura constante). Depois de liquefeita, a a´gua necessita de 1 cal para aumentar sua temperatura em 1oC. (a) Calcule Q(−40), Q(−38), Q(0), Q(1) e Q(2). (b) Determine a expressa˜o de Q(T ), para T ∈ [−40, 80]. Lista de Fixac¸a˜o da Semana 1 - Pa´gina 2 de 3 RESPOSTAS 1) Na quarta passagem o termo (x− y) na˜o pode ser ”cancelado”por ser igual a zero. 2) (a) x ∈ {−9 2 ,−1 2 } (b) x ∈ {−4, 2 3 } 3) (a) x ∈ (4 3 , 4) (b) x ∈ (−∞,−5] ∪ [−1,+∞) 4) (a) R \ {−1, 2} (b) R \ {−1} (c) R (d) (−∞,−1) ∪ (1,+∞) (e) [−1, 1] 5) (a) y = −1 5 x+ 23 5 (b) y = −x+ 2 (c) y = −2 5 x+ 1 (d) y = −13 8 x+ 1 6) |f(x)− f(1)| = |(2x+ 1)− (2 · 1 + 1)| = |2x− 2| = 2|x− 1| < 2δ 7) |f(x)− f(0)| = |(−3x+ 4)− (−3 · 0 + 4)| = | − 3x| = 3|x| < 3 · ε 3 = ε 8) (a) positiva em (−∞,−1) ∪ (3 2 , 2 ) , negativa em (−1, 3 2 ) ∪ (2,+∞) (b) positiva em (−∞,−1) ∪ (0, 1 2 ) , negativa em (−1, 0) ∪ (1 2 ,+∞) 9) (a) 2x2 − 8 + 2 (x− 7), para x 6= 7 (b) 4x2 − 16) (x− 7) , para x 6= 7 (c) (x2 − 4)(x− 7), para x ∈ R (d) 1 (x− 7)(x2 − 4), para x 6∈ {−2, 2, 7} (e) 8 (x− 7)2 − 8, para x 6= 7 (f) 2 2x2 − 15, para x 6= ± √ 15/2 10) (a) −4(x2 − 4x+ 1) 4− x (b) −2(x2 − 4x+ 6) x2 (c) 5x− 4 4− x 11) (a) (f ◦ g)(x) = { −1/x se x < 0 x se x ≥ 0 (b) (g ◦ f)(x) = { √−x se x < 0 x se x ≥ 0 12) d(x) = √ x2 + (50− x)2, x ∈ (0, 50) 13) V (x) = x(22− 2x)(14− 2x), x ∈ (0, 7) 14) A(x) = 9− 3x 15) (a) Q(−40) = 0, Q(−38) = 1, Q(0) = 20, Q(1) = 101, Q(2) = 102 (b) Q(T ) = { (T/2) + 20 se T ∈ [−40, 0] T + 100 se T ∈ (0, 80] Lista de Fixac¸a˜o da Semana 1 - Pa´gina 3 de 3
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