semana_03f

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Fixac¸a˜o – Semana 2
Temas abordados : Continuidade
Sec¸o˜es do livro: 2.4; 2.5
1) Explique o que significa dizer que uma func¸a˜o f e´ cont´ınua no ponto x = x0.
2) Sabe-se que limx→2 f(x) = 5 e f esta´ definida em R. Todas as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o
falsas. Desenhe um contra-exemplo para cada uma delas.
(a) f(x) > 0 para x ∈ (1, 3) (b) f(2) = 5 (c) f(2) e´ positivo
3) Para cada uma das func¸o˜es f abaixo, verifique se existe uma func¸a˜o cont´ınua F : R→ R
tal que F (x) = f(x) para todo x ∈ Dom(f). Em caso afirmativo, determine F (x), em
caso negativo, explique porque tal func¸a˜o na˜o pode existir.
(a) f(x) =
|x|
x
(b) f(x) =
x2 − 4
x− 2
4) Decida se a func¸a˜o g(x) =

√
x− 1
x− 1 se x 6= 1,
1/2 se x = 1,
e´ cont´ınua em x = 1.
5) Determine a ∈ R tal que a func¸a˜o f(x) =
{
1 + ax se x ≤ 0,
x4 + 2a se x > 0,
seja cont´ınua em x = 0.
6) Determine a, b ∈ R tal que a func¸a˜o f(x) =
 −
√
2− x se x < 1,
ax + b se 1 ≤ x < 2,
|x2 − 7x + 12| se x ≥ 2, ,
seja
cont´ınua.
7) Para cada func¸a˜o abaixo determine um intervalo de comprimento 1 que possua pelo
menos uma ra´ız da func¸a˜o.
(a) f(x) = x3 + x− 1 (b) g(x) = x3 + 3x− 5
RESPOSTAS
1) A func¸a˜o f e´ cont´ınua no ponto x = x0 se lim
x→x0
f(x) = f(x0). Desse modo, o ponto x0 tem que estar no
domı´nio de f , o limite nesse ponto deve existir e coincidir com o valor da func¸a˜o no ponto.
2)
3) (a) Na˜o, pois na˜o existe o limite lim
x→0
f(x). Esse u´ltimo na˜o existe porque os limites laterais, apesar de
existirem, sa˜o diferentes.
(b) F (x) = x + 2
4) Sim, pois lim
x→1
g(x) = lim
x→1
√
x− 1
(
√
x− 1)(√x + 1) =
1
2
= f(1).
5) a = 1/2
6) a = 3, b = −4
7) (a) f(0) = −1 < 0 < 1 = f(1). Como f e´ cont´ınua em [0, 1] segue do TVI que existe c ∈ [0, 1] tal que
f(c) = 0
(b) [1, 2]
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 2 - Pa´gina 1 de 1