semana_07_dif

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸a˜o – Semana 7
Temas abordados : Diferenciais
Sec¸o˜es do livro: 3.11
1) Determine as diferenciais de cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) y = x3/2 (b) g(y) = 2y
√
1 + y2
(c) E(t) =
t2 + 1
t− 1 (d) f(s) = arctan
(
s2
2
+ 1
)
(e) g(θ) = sec(θ2 − 1) (f) f(x) = 2x+ tan(2x+ 3)
(g) h(t) = (t+ 1)t
2
2) Encontre as aproximac¸o˜es diferenciais das func¸o˜es abaixo nos pontos indicados. Deter-
mine o erro de aproximac¸a˜o |∆f − df | em cada caso.
(a) f(x) = x2 + 2x, x0 = 1 e dx = 0.1 (b) f(x) = 2x
2 + 4x− 3, x0 = 1 e dx = 0.01
(c) f(x) =
√
4 + 1200x, x0 = 0 e dx = 0.01 (d) f(x) = x
4 − x2 + 1, x0 = 1 e dx = 0.1
3) Use diferenciais para obter uma aproximac¸a˜o para 1.0000001100.
4) Suponha que para uma dada func¸a˜o deriva´vel, g(2) = −4 e que g′(x) = √x2 + 5. Use
diferenciais para estimar g(1.95) e g(2.05).
5) (a) Com qual precisa˜o aproximada a aresta de um cubo deve ser medida para que seja
razoavelmente seguro calcular a a´rea de sua superf´ıcie dentro de uma margem de
erro de 1%?
(b) Suponha que voceˆ esteja a 60 m da base de um edif´ıcio e mec¸a o aˆngulo de elevac¸a˜o
ate´ o topo deste como sendo de 5pi/12. Qua˜o exata deve ser sua medic¸a˜o deste
aˆngulo para que o erro percentual na estimativa da altura do edif´ıcio seja inferior a
4%?
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 7 - Pa´gina 1 de 2
RESPOSTAS
1.
(a) dy = 3/2x2dx (b) dg =
2 + 4y2√
1 + y2
dy
(c) dE =
t2 − 2t− 1
(t− 1)2 dt (d) df =
4s
4 + (s2 + 2)2
ds
(e) dg = 2θsec(θ2 − 1)tan(θ2 − 1)dθ (f) df = [2 + 2sec2(2x+ 3)]dx
(g) dh = t(t+ 1)t
2−1(2(t+ 1)ln(t+ 1) + t)dt
2.
(a) 3 + 4dx,E = 0.01 (b) 3 + 8dx, 2× 10−4
(c) 2 + 300dx,E = 1 (d) 1 + 2dx,E = 0.0541
3. 1.00001
4. g(1.95) ≈ −4.15 e g(2.05) ≈ −3.85
5. (a) Menor do que 0.5% (b) Menor do que 0.76%.
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 7 - Pa´gina 2 de 2