Lista Semana 9 Fixação

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Fixac¸a˜o – Semana 9
Temas abordados : Concavidade; Esboc¸o de gra´ficos
Sec¸o˜es do livro: 4.4; 4.5
1) Para cada uma das func¸o˜es abaixo determine: pontos cr´ıticos, ma´ximos e mı´nimos locais,
intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexa˜o, intervalos onde f e´ coˆncava
para cima e para baixo, ass´ıntotas verticais e horizontais. Em seguida fac¸a um esboc¸o do
gra´fico de f .
(a) f(x) = x+
3
x
(b) f(x) =
x3 − 2
x
(c) f(x) =
16− x2
(x− 2)2 (d) f(x) = arctan x− x
(e) f(x) = 2 x− tanx, x ∈ (−pi
2
,
pi
2
) (f) f(x) = x+ senx, x ∈ (0, 2pi)
(g) f(x) = x arctanx (h) f(x) =
1
senx+ cosx
(i) f(x) =
arcsenx√
1− x2 (j) f(x) = x arccosx
RESPOSTAS
1) (a) pontos cr´ıticos: x = −√3 (ma´ximo local); x = √3 (mı´nimo local)
crescente em (−∞,−√3) ∪ (√3,+∞)
decrescente em (−√3, 0) ∪ (0,√3)
concavidade volta para cima em: (0,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−∞, 0)
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntotas verticais: x = 0
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(b) pontos cr´ıticos: x = −1 (mı´nimo local)
crescente em: (−1, 0) ∪ (0,+∞)
decrescente em: (−∞,−1)
concavidade volta para cima em: (−∞, 0) ∪ (21/3,+∞)
concavidade volta para baixo em: (0, 21/3)
pontos de inflexa˜o: x = 21/3
ass´ıntotas verticais: x = 0
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(c) pontos cr´ıticos: x = 8 (mı´nimo local)
crescente em: (−∞, 2) ∪ (8,+∞)
decrescente em: (2, 8)
concavidade volta para cima em: (−∞, 2) ∪ (2, 11)
concavidade volta para baixo em: (11,+∞)
pontos de inflexa˜o: x = 11
ass´ıntotas verticais: x = 2
ass´ıntotas horizontais: y = −1
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 9 - Pa´gina 1 de 3
(d) pontos cr´ıticos: x = 0 (na˜o e´ extremo local)
crescente em: nunca
decrescente em: (−∞,+∞)
concavidade volta para cima em: (−∞, 0)
concavidade volta para baixo em: (0,+∞)
pontos de inflexa˜o: x = 0
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(e) pontos cr´ıticos: x = −pi
4
(mı´nimo local); x = pi
4
(ma´ximo local)
crescente em: (−pi
4
, pi
4
)
decrescente em: (−pi
2
, −pi
4
) ∪ (pi
4
, pi
2
)
concavidade volta para cima em: (−pi
2
, 0)
concavidade volta para baixo em: (0, −pi
2
)
pontos de inflexa˜o: x = 0
ass´ıntotas verticais: x = −pi
2
e x = pi
2
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(f) pontos cr´ıticos: x = pi (na˜o e´ extremo local)
crescente em: (0, 2pi)
decrescente em: nunca
concavidade volta para cima em: (pi, 2pi)
concavidade volta para baixo em: (0, pi)
pontos de inflexa˜o: x = pi
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(g) pontos cr´ıticos: x = 0 (mı´nimo local)
crescente em: (0,+∞)
decrescente em: (−∞, 0)
concavidade volta para cima em: (−∞,+∞)
concavidade volta para baixo em: nunca
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(h) pontos cr´ıticos: x = pi
4
+ 2 kpi, para k ∈ Z (mı´nimo local) ; x = −3pi
4
+ 2 kpi, para
k ∈ Z (ma´ximo local)
crescente em: (−5pi
4
+ 2 kpi, −3pi
4
+ 2 kpi) ∪ (pi
4
+ 2 kpi, 3pi
4
+ 2 kpi), k ∈ Z
decrescente em: (−3pi
4
+ 2 kpi, −pi
4
+ 2 kpi) ∪ (−pi
4
+ 2 kpi, pi
4
+ 2 kpi), k ∈ Z
concavidade volta para cima em: (−pi
4
+ 2 kpi, 3pi
4
+ 2 kpi), k ∈ Z
concavidade volta para baixo em: (−5pi
4
+ 2 kpi, −pi
4
+ 2 kpi), k ∈ Z
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntotas verticais: x = 3pi
4
+ kpi, para k ∈ Z
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(i) pontos cr´ıticos: na˜o existem
crescente em: (−1, 1)
decrescente em: nunca
concavidade volta para cima em: (0, 1)
concavidade volta para baixo em: (−1, 0)
pontos de inflexa˜o: x = 0
ass´ıntotas verticais: x = 1 e x = −1
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
(j) pontos cr´ıticos: o ponto x = x0 ∈ (−1, 1), raiz de arccos(x) = x
sqrt1− x2
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 9 - Pa´gina 2 de 3
crescente em: (−1, x0)
decrescente em: (x0, 1)
concavidade volta para cima em: nunca
concavidade volta para baixo em: (−1, 1)
pontos de inflexa˜o: na˜o existem
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 9 - Pa´gina 3 de 3