semana_11f_1_2014

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Fixac¸a˜o – Semana 10
Temas abordados : Funes logaritmo e exponencial; Regra de L’Hopital
Sec¸o˜es do livro: 4.4; 4.5
1) Mostre que a func¸a˜o f(x) = (ln x)/x tem um ma´ximo absoluto em x = e. Usando agora
o fato de que f(e) > f(pi) e que a func¸a˜o x 7→ ex e´ crescente, conclua que pie < epi.
2) Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine os pontos cr´ıticos, classifique-os como
ma´ximos ou mı´nimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde f e´ cres-
cente e decrescente.
(a) f(x) = e−x − e−2x (b) f(x) = (x2 − 3)ex
(c) f(x) = x− lnx (d) f(x) = x
lnx
3) Calcule os limites abaixo.
(a) lim
x→−∞
x2ex
(b) lim
x→0
cos2 x− 1
x2
(c) lim
x→0
ex − 1
x
(d) lim
x→0
ex − 1− x− x2
2
x2
(e) lim
x→0
ln(x+ 1)
x
(f) lim
x→0
ln(1 + x)− x− x2
2
− x3
6
x3
(g) lim
x→0
(1− x) 1x
(h) lim
x→0
(cosx)
1
x2
(i) lim
x→+∞
lnx
x
(j) lim
x→+∞
(x2 − 1)e−x2
(k) lim
x→+∞
x2 + 3e3x
e3x
(l) lim
x→+∞
ln(ln(x))
lnx
(m) lim
x→0+
x2 ln(x)
(n) lim
x→0
x
arctan(x)
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 10 - Pa´gina 1 de 3
4) Esboce o gra´fico de cada uma das func¸o˜es abaixo
(a) f(x) = e−x − e−2x (b) f(x) = xe−x
(c) f(x) = e−x
2
(d) f(x) = x2 ln(x)
RESPOSTAS
2) (a) pontos cr´ıticos: x = ln 2 (ma´ximo local)
crescente em: (−∞, ln 2)
decrescente em: (ln 2,+∞)
concavidade volta para cima em: (ln 4,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−∞, ln 4)
pontos de inflexa˜o: x = 2 ln 2 = ln 4
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: y = 0
(b) pontos cr´ıticos: x = 1 (ma´ximo local)
crescente em: (−∞, 1)
decrescente em: (1,+∞)
concavidade volta para cima em: (2,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−∞, 2)
pontos de inflexa˜o: x = 2
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: y = 0
(c) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local)
crescente em: (−∞, 0)
decrescente em: (0,+∞)
concavidade volta para cima em: (−∞,−1/√2) ∪ (1/√2,+∞)
concavidade volta para baixo em: (−1/√2, 1/√2)
pontos de inflexa˜o: x = −1/√2 e x = 1/√2
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: y = 0
(d) pontos cr´ıticos: x = e−1/2 (mı´nimo local)
crescente em: (e−1/2,+∞)
decrescente em: (0, e−1/2)
concavidade volta para cima em: (e−3/2,+∞)
concavidade volta para baixo em: (0, e−3/2)
pontos de inflexa˜o: x = e−3/2
ass´ıntotas verticais: na˜o existem
ass´ıntotas horizontais: na˜o existem
3) (a) 0
(b) −1
(c) 1
(d) 0
(e) 1
(f) na˜o existe
(g) 1/e
(h) 1/
√
e
(i) 0
(j) 0
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 10 - Pa´gina 2 de 3
(k) 3
(l) 0
(m) 0
(n) 1
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 10 - Pa´gina 3 de 3