8a. Apostila de Probabilidade 15 10 2018

Prévia do material em texto

UNEF/FAN
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICACA PARA BACHARELADO EM
ENGENHARIA
PROF. AMINTAS PAIVA AFONSO
 FEIRA DE SANTANA
 2018
ÍNDICE
	3
	PROBABILIDADE
3.1 Experimento Aleatório
3.2 Espaço Amostral
3.3 Eventos
3.4 Probabilidade
3.5 Eventos Complementares
3.6 Eventos Independentes
3.7 Eventos Mutuamente Exclusivos
3.8 Exercícios resolvidos
3.9 Atividades Complementares
3.10 Teorema de Bayes
	
3. PROBABILIDADE - Introdução
Embora o cálculo das probabilidades pertença ao campo da Matemática, sua inclusão neste conteúdo se justifica pelo fato de a maioria dos fenômenos de que trata a Estatística ser de natureza aleatória ou probabilística. Consequentemente, o conhecimento dos aspectos fundamentais do cálculo de probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística Indutiva ou Inferencial.
Procuramos resumir aqui os conhecimentos que julgamos necessários para termos um ponto de apoio em nossos primeiros passos no caminho da Estatística Inferencial. Esses passos serão apresentados no capítulo seguinte, que trata da conceituação da variável aleatória e das duas principais distribuições de probabilidades de variáveis discretas e contínuas.
 
3.1 Experimento Aleatório
Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso. Assim, da afirmação “é provável que o meu time ganhe a partida de hoje” pode resultar:
a. que, apesar do favoritismo, ele perca;
b. que, como pensamos, ele ganhe;
c. que empate.
Como vimos, o resultado final depende do acaso. Fenômenos como esses são chamados fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios.
Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
3.2 Espaço Amostral
A cada experimento, correspondem, em geral, vários resultados possíveis. Assim, ao lançarmos uma moeda, há dois resultados possíveis: ocorrer cara ou ocorrer coroa. Já ao lançarmos um dado há seis resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Ao conjunto desses resultados possíveis damos o nome de espaço amostral ou conjunto universo, representado por S.
Os dois experimentos citados anteriormente têm os seguintes espaços amostrais:
- lançamento de uma moeda: S = {Ca, Co};
- lançamento de um dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Do mesmo modo, como em dois lançamentos sucessivos de uma moeda podemos obter cara nos dois lançamentos, ou cara no primeiro e coroa no segundo, ou coroa no primeiro e cara no segundo, ou coroa nos dois lançamentos, o espaço amostral é:
S = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)}.
Cada um dos elementos de S que corresponde a um resultado recebe o nome de ponto amostral. Assim:
2 ( S ( 2 é um ponto amostral de S.
3.3 Eventos
Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório.
Assim, qualquer que seja E, se E ( S (E está contido em S), então E é um evento de S.
Se E = S, E é chamado evento certo.
Se E ( S e E é um conjunto unitário, E é chamado evento elementar.
Se E = (, E é chamado evento impossível.
Exemplo:
No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, temos:
A = {2, 4, 6} ( S; logo, A é um evento de S.
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ( S; logo, B é um evento certo de S (B = S).
C = {4} ( S; logo, C é um evento elementar de S;
D = ( ( S; logo, D é um evento impossível de S.
Um evento é sempre definido por uma sentença. Assim, os eventos acima podem ser definidos pelas sentenças:
“Obter um número par na face superior.”
“Obter um número menor ou igual a seis na face superior.”
“Obter o número 4 na face superior.”
“Obter um número maior que 6 na face superior.”
3.4 Probabilidade
Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que S é um conjunto equiprovável.
Chamamos de probabilidade de um evento A (A ( S) o número real P(A), tal que:
P(A) = n(A) / n(S)
Onde:
n(A) é o número de elementos de A;
n(S) é o número de elementos de S.
Exemplos:
a. Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara", temos:
S = {Ca, Co} ( n(S) = 2
A = {Ca} ( n(A) = 1
Logo: P(A) = 1/2
O resultado acima nos permite afirmar que, ao lançarmos uma moeda equilibrada, temos 50% de chance de que apareça cara na face superior.
b. Considerando o lançamento de um dado, vamos calcular:
- a probabilidade do evento A “obter um número par na face superior”.
Temos: 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ( n(S) = 6
A = {2, 4, 6} ( n(A) = 3
Logo: P(A) = 3/6 = 1/2
- a probabilidade do evento B “obter um número menor ou igual a 6 na face superior”.
Temos:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ( n(S) = 6
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ( n(B) = 6
Logo: P(B) = 6/6 = 1
- a probabilidade do evento C “obter um número um número 4 na face superior”.
Temos:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ( n(S) = 6
B = {4} ( n(C) = 1
Logo: P(C) = 1/6
- a probabilidade do evento D “obter um número maior que 6 na face superior”.
Temos:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ( n(S) = 6
B = { } = (( n(D) = 0
Logo: P(D) = 0/6 = 0
Pelos exemplos que acabamos de ver, podemos concluir que, sendo n(S) = n:
a. a probabilidade do evento certo é igual a 1: P(S) = 1
b. a probabilidade do evento impossível é igual a zero: P(() = 0
c. a probabilidade de um evento E qualquer (E ( S) é um número real P(E), tal que:
 0 ≤ P(E) ≤ 1
d. a probabilidade de um evento E qualquer E qualquer é, lembrando que n(E) = 1:
 P(E) = 1/n
3.5 Eventos Complementares
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação: p + q = 1 ( q = 1 - p
Assim, se a probabilidade de se realizar um evento é p = 1/5, a probabilidade de que ele não ocorra é: q = 1 – p ( q = 1 – 1/5 = 4/5
Sabemos que a probabilidade de tirar o 4 no lançamento de um dado é p = 1/6. Logo, a probabilidade de não tirar o 4 no lançamento de um dado é: q = 1 – 1/6 = 5/6
3.6 Eventos Independentes
Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não-realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.
Por exemplo, quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro.
Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos.
Assim, sendo p1 a probabilidade de realização do primeiro evento e p2 a probabilidade de realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada por: p = p1 x p2
Exemplo:
Lançamos dois dados. A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado é: p1 = 1/6
A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é: p2 = 1/6
Logo, a probabilidade de obtermos, simultaneamente, 1 no primeiro e 5 no segundo é:
p = 1/6 x 1/6 = 1/36 
3.7 Eventos Mutuamente Exclusivos
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s).
Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize: p = p1 + p2
Exemplo:
Lançamos um dado. A probabilidade de se tirar o 3 ou o 5 é:
p = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3,
pois, como vimos, os dois eventos são mutuamente exclusivos.
3.8 Exercícios 
1) Qual a probabilidade de sair o ás de ouros quando retiramos umacarta de um baralho de 52 cartas? 
2) Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? 
3) Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule:
	a. a probabilidade de essa peça ser defeituosa. 
	b. a probabilidade de essa peça não ser defeituosa. 
4) No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5.
 
5) De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus?
6) Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?
7) De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual a probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus?
8) Qual a probabilidade de sair uma figura quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? 
9) Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?
10) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número não-inferior a 5? 
11) São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de tirarmos uma dama e um rei, não necessariamente nessa ordem?
12) Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade de a soma ser 10 ou maior que 10.
	
3.9 Atividades Complementares
1) Determine a probabilidade de cada evento:
a. um número par aparece no lançamento de um dado. 
b. uma figura aparece ao se extrair uma carta de um baralho de 52 cartas. 
c. uma carta de ouros aparece ao se extrair uma carta de um baralho de 52 cartas.
d. uma só coroa aparece no lançamento de três moedas. 
2) Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3, ..., 49, 50. Determine a probabilidade de:
o número ser divisível por 5; 
o número terminar em 3; 
o número ser divisível por 6 ou por 8; 
o número ser divisível por 4 e por 6. 
3) Dois dados são lançados simultaneamente. Determine a probabilidade de:
a. a soma ser menor que 4; 
b. a soma ser 9; 
c. o primeiro resultado ser maior que o segundo; 
d. a soma ser menor ou igual a 5. 
4) Uma moeda é lançada duas vezes. Calcule a probabilidade de:
a. não ocorrer cara nenhuma vez; 
b. obter-se cara na primeira ou na segunda jogada. 
5) Um inteiro entre 3 e 11 será escolhido ao acaso.
a. qual a probabilidade de que este número seja ímpar? 
b. qual a probabilidade de que este número seja ímpar e divisível por 3? 
6) Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de que a carta retirada seja uma dama ou uma carta de copas? 
7) No lançamento de dois dados, qual é a probabilidade de se obter um par de pontos iguais? 
8) Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retiradas aleatoriamente 2 peças, calcule:
	a. a probabilidade de ambas serem defeituosas; 
	b. a probabilidade de ambas não serem defeituosas; 
	c. a probabilidade de ao menos uma ser defeituosa. 
9) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair o número 6 ou um número ímpar? 
10) Duas cartas são retiradas ao acaso de um baralho de 52 cartas. Calcule a probabilidade de se obterem:
a. dois valetes; 
b. um valete e uma dama. 
11) Um casal planeja ter três filhos. Determine a probabilidade de nascerem:
a. três homens; 
b. dois homens e uma mulher. 
12) Uma moeda é lançada três vezes. Calcule a probabilidade de obtermos:
a. três caras; 
b. duas caras e uma coroa; 
c. uma cara somente; 
d. nenhuma cara; 
e. pelo menos uma cara; 
f. no máximo uma cara. 
13) Um dado é lançado duas vezes. Calcule a probabilidade de:
a. sair um 6 no primeiro lançamento; 
b. sair um 6 no segundo lançamento; 
c. não sair 6 em nenhum lançamento; 
d. sair um 6 pelo menos. 
14) Uma urna contém 50 bolas idênticas. Sendo as bolas numeradas de 1 a 50, determine a probabilidade de, em uma extração ao acaso:
	a. obtermos a bola de número 27; 
	b. obtermos uma bola de número par; 
	c. obtermos uma bola de número maior que 20; 
	d. obtermos uma bola de número menor ou igual a 20. 
15) Uma loja dispõe de 12 geladeiras do mesmo tipo, das quais 4 apresentam defeitos.
a. Se um freguês vai comprar uma geladeira, qual a probabilidade de levar uma defeituosa? 
b. Se um freguês vai compras 2 geladeiras, qual é a probabilidade de levar 2 defeituosas? 
c. Se um freguês vai compras 2 geladeiras, qual é a probabilidade de levar pelo menos uma defeituosa? 
16) Um par de dados é atirado. Encontre a probabilidade de que a soma seja 10 ou maior que 10 se:
a. um 5 aparece no primeiro dado; 
b. um 5 aparece pelo menos em um dos dados. 
17) Lança-se um par de dados. Aparecendo dois números diferentes, encontre a probabilidade de que:
a. a soma seja 6; 
b. o 1 apareça; 
c. a soma seja 4 ou menor que 4. 
18) Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:
a. ela não tenha defeitos graves; 
b. ela não tenha defeitos; 
c. ela seja boa ou tenha defeitos graves. 
19) Considere o mesmo lote do problema anterior. Retiram-se 2 peças ao acaso. Calcule a probabilidade de que:
a. ambas sejam perfeitas; 
b. pelo menos uma seja perfeita; 
c. nenhuma tenha defeitos graves; 
d. nenhuma seja perfeita. 
3.10 Teorema de Bayes
Dar um palpite sobre que face da moeda vai cair para cima ou se vai chover amanhã sempre fez parte de nossas vidas. A origem da probabilidade matemática está ligada aos jogos de cartas e aos jogos de dados, no século 15, quando muitos matemáticos faziam cálculos sobre o número provável de vencedores e a quantidade a ser ganha nos jogos mais disputados. Uma das opções de cálculo mais usadas pelos estatísticos nas suas previsões hoje, porém, é a que foi desenvolvida no século 18 pelo reverendo inglês Thomas Bayes (1702-1761).
Filho e neto de clérigos, Bayes se formou em teologia e nunca exerceu oficialmente a carreira de matemático. Ele cuidava de uma igreja no interior da Inglaterra e havia publicado somente um artigo não assinado, mas era respeitado pela comunidade matemática em seu tempo. Assim, foi admitido na Royal Society de Londres, que congrega cientistas renomados do Reino Unido. Segundo os documentos da entidade, o reverendo possuía amplo conhecimento de geometria e dominava todas as áreas da matemática e filosofia da época.
A idéia de Bayes para o cálculo de probabilidades foi publicada postumamente pela Royal Society com o título "Ensaio Voltado para Solução de um Problema na Doutrina do Acaso" e é uma explicação de como ele abordava os problemas propostos pelos matemáticos anteriores a ele. O trabalho passou a ser conhecido como Teorema de Bayes, uma técnica de estatística e estimativa que virou uma lei fundamental da matemática.
Palpite calculado
Essencialmente o que a proposta do reverendo trazia de inovador era o caráter subjetivo na previsão de um evento, ou seja, a opinião do matemático que manipula os números entra de modo significativo nos cálculos. Essa opinião é baseada na quantidade de informação que se tem nas mãos sobre as condições de ocorrer tal evento. As informações vão definitivamente influenciar a previsão. Então, numa disputa de cara ou coroa, por exemplo, todo mundo concorda que a chance de alguém ganharé de 50%. Mas se o trato for de jogar a moeda quatro vezes, o método bayesiano de fazer previsão vai se ajustando a cada jogada. Se der "cara" nas duas primeiras jogadas, as chances para as jogadas posteriores não serão mais meio-a-meio, segundo Bayes. Usando esse método na previsão das chances de um time A vencer um time B, deve-se levar em conta as informações que se tem sobre resultados anteriores a essa disputa, como quantas vezes A venceu B, e as experiências e opiniões de especialistas sobre esse jogo, o campeonato e os jogadores.
Usar o cálculo da probabilidade é justamente fazer palpites sobre determinados eventos, se vão ocorrer ou não. Ele é considerado ciência porque estuda com lógica e racionalidade as chances de um evento ocorrer.
Apesar de estar baseado rigidamente na lógica e na razão, o Teorema de Bayes passou por várias controvérsias à medida que os estudos sobre probabilidade e estatística evoluíam. Até hoje ele é criticado por incluir o caráter subjetivo - a opinião - no ajuste de cálculos, e por isso ser "sem pé nem cabeça" do ponto de vista dos matemáticos conservadores e compromissados com a objetividade.
Na época em que viveu, certamente o reverendo não tinha tanta necessidade de prever riscos e benefícios de alguma aplicação financeira ou se algum veículo de locomoção teria muita chance de quebrar ou não.
Hoje sua teoria pode ser aplicada a quase todas as áreas do conhecimento, nas pesquisas científicas ou no cotidiano das pessoas. Autoridades de saúde pública não podem deixar de usar os cálculos probabilísticos na previsão de alcance de uma epidemia. As economias mundiais não vivem mais sem a previsão de inflação, desemprego ou da alta ou baixa da cotação das moedas. Apesar de sempre terem sido criticados, Thomas Bayes e suas idéias continuam desafiando a intuição e o "achismo" nas nossas apostas e palpites diários.
Segundo o primeiro axioma do cálculo de probabilidades, valores probabilísticos de um evento A qualquer não podem ser menores que zero nem maiores que 1 e a probabilidade do evento certo é igual a 1. Em termos formais, temos: 0≤P(A)≤1. O valor zero é atribuído ao evento impossível e os valores intermediários, aos eventos possíveis ou incertos. A segunda lei diz que a probabilidade de qualquer evento ocorrer dentre um número n de eventos alternativos mutuamente exclusivos A e B é igual à soma das probabilidades dos eventos individuais. Formalmente: P(A ou B) = P(A) + P(B). A terceira lei fala que a probabilidade de dois eventos A e B ocorrerem é igual à multiplicação da probabilidade condicional P(A/B) – lê-se “probabilidade de A dado B” – pela probabilidade de B, o que pode ser formalizado de modo simplificado assim:
P(AeB)=P(A/B)×P(B). Pelo mesmo raciocínio, P(B eA) = P(B/A) × P(A).
Do terceiro axioma, assumindo-se por comutação que P(AeB)= P(BeA), deduz-se o teorema de Bayes que tem a seguinte formulação básica:
P(A/B) = P(B/A)/P(B) x P(A)
Nessa fórmula, a probabilidade do evento A ocorrer em vista do evento B (P(A/B)) é dada por três fatores: a verossimilhança de A (a probabilidade de B dado A); a probabilidade prévia de B; e a probabilidade prévia de A.
Tomemos o seguinte exemplo para nos ajudar a entender o uso do teorema de Bayes para o cálculo da probabilidade de um evento: um médico avalia duas ocorrências possíveis que podem estar se dando com um paciente que reclama de problemas respiratórios. Considerando-se, para simplificar o exemplo, que há apenas duas modalidades de problemas desse tipo, digamos bronquite e pneumonia, o raciocínio empregado para se avaliar essas ocorrências em termos bayesianos parte das probabilidades prévias desses eventos tal como dadas estatisticamente.
Assim, admitamos que a incidência de pneumonia (P(pn)) é muito mais rara que a de bronquite (P(br)), digamos 100 vezes menos freqüente, segundo os registros estatísticos. Em termos matemáticos, P(br) = 100/101 e P(pn) = 1/100.
Digamos, porém, que o paciente apresente um sintoma e1 que ocorra em 1 de cada 2 pacientes com pneumonia, mas apenas em 1 de cada 500 pacientes com bronquite. Assim, a verossimilhança de cada um dos eventos será P(e1/pn) = 1/2 e P(e1/br) = 1/500.
	- � PAGE �7� -