2 - Apostila - Controle Estatistico Qualidade_rev1

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INSPEÇÃO POR AMOSTRAGEM 
INTRODUÇÃO 
 
Onde se realiza inspeção de qualidade num processo produtivo: 
 
 na recepção de matéria - prima; 
 em diversos pontos do processo; 
 na verificação do produto final. 
Geralmente, a inspeção é feita por amostragem porque: 
 
 custo da inspeção completa é muito elevado; 
 a inspeção completa pode originar maus resultados (!) (monotonia 
no processo de inspeção) 
Inspeção Destrutiva 
 
 situação em que o uso de amostragem torna-se obrigatório. 
Inspeção em Lotes 
 
 itens agrupado em lotes. As decisões são tomadas em relação aos 
lotes e não aos itens individuais. 
 exemplo: lote com 100 lâmpadas (caixa) - critério de aceitação: 
inspeção em amostra de 8 lâmpadas. 
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PLANOS DE AMOSTRAGEM 
 
 Lote de N peças, com D defeituosas: 
 
Fração defeituosa do lote 
 
P é o nível de qualidade do lote, expresso em (%) 
 Amostra de n peças, com d defeituosas: 
 
Fração defeituosa da amostra 
 Plano de amostragem: 
 
Consiste em obter uma regra de ação que, aplicada a uma série de 
lotes, permite aceitar lotes de uma certa qualidade, com um risco 
calculado. 
P = D/N 
p = d/n 
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INSPEÇÃO POR AMOSTRAGEM 
TERMINOLOGIA 
 
Número de aceitação (a): Número máximo de não-conformes (ou de não-
conformidades) em amostras com o fim de se aceitar um lote. 
 
Número de rejeição (r): Número mínimo de não-conformes (ou de não-
conformidades) em amostras com o fim de se rejeitar um lote 
Risco do produtor  (P1): Probabilidade de uma partida de boa qualidade 
ser rejeitada. 
 
Risco do consumidor  (P2): Probabilidade de que uma partida de má 
qualidade ser aceita. 
NQA: Percentagem máxima de não-conformidades que, para fins de 
aceitação por amostragem, possa ser considerada como satisfatória para a 
média do processo. 
 
NQI: Nível de qualidade inaceitável, isto é, de lotes de má qualidade, para 
fins do consumidor. 
Qualidade Média Resultante (QMR): Qualidade média percentual de não-
conformes do produto final, incluindo todos os lotes aceitos. Também inclui 
lotes rejeitados que tenham sido realmente inspecionados 100% com todos 
os não-conformes substituídos por itens perfeitos. 
 
Qualidade Média Resultante Limite (QMRL): Valor máximo para a média 
da percentagem não-conforme do produto final quando todos os lotes 
rejeitados tiverem sido examinados e após a substituição de não-
conformes encontrados (isto é, valor máximo de QMR) 
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ACEITAÇÃO E REJEIÇÃO 
N = tamanho do lote 
 
n = tamanho da amostra 
a = número de aceitação (número máximo de itens defeituosos 
que se permite na amostra). 
r = número de rejeição 
r = a + 1 
0 < a < n - 1 
 
1 < r < n 
 
 Probabilidade de Aceitação 
F (a) = probabilidade de aceitação 
 
F (a) = P { 0 < d < a } 
 
 Probabilidade de Rejeição 
 
P { d > a } = 1 - F(a) = P { r < d < n } 
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DISTRIBUIÇÕES BINOMIAL, 
HIPERGEOMÉTRICA E DE POISSON 
 
Binomial: Descreve experimentos independentes, repetidos em condições 
estáveis; apenas dois resultados são possíveis em cada repetição, tal com, 
por exemplo, a ocorrência de uma peça defeituosa ou de uma peça 
perfeita. 
Hipergeométrica: Descreve a amostragem sem reposição, em partidas 
cuja fração inicial de defeituosos seja P= D/N. O cálculo dos termos da 
Hipergeométrica é muito trabalhoso, mas deverá ser empregado quando 
tivermos partidas pequenas ( f = n/N, maior que 0,10) 
Poisson: Também conhecida como "lei dos eventos raros", descreve a 
ocorrência de pequeno número de vezes sem periodicidade, em grande 
número de repetições. Esse é o caso de amostragem (com ou sem 
reposição) em que f = n/N seja menor que 0,10, de partidas com baixa 
fração de defeituosos, isto é, com P < 10% 
 7
INSPEÇÃO POR AMOSTRAGEM 
 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 
 
- A distribuição Binomial descreve experimentos independentes, repetidos em 
condições estáveis. Ou seja, a probabilidade de ser produzida uma peça defeituosa é 
constante. 
 
O tamanho da amostra (n) deve ser aproximadamente igual a 10/p, isto é 
 
 10n
p
 
 onde: 
n= tamanho da amostra 
p= fração defeituosa 
 
- A distribuição Binomial descreve a amostragem COM REPOSIÇÃO. 
 
Porém: 
 
 A distribuição Binomial tende para a distribuição Normal quando n cresce (n = + 
50) e p varia aproximadamente entre 0,3 e 0,7 
 
 Quando em partidas grandes, a fração amostrada (f) for menor do que 0,10, ou 
seja: nf
N
 < 0,10, a Binomial tem boa aproximação SEM REPOSIÇÃO. 
 
Definições: 
 
f(x) – função densidade de probabilidade → caracteriza a distribuição de probabilidade. 
 
F(x) – função acumulada que fornece, para cada ponto considerado, a probabilidade de 
que a variável assuma um valor menor ou igual que a correspondente a esse ponto. 
 
Para a distribuição Binomial tem-se: 
 
 ( )
x n xn
f x
x p q
 
  
 
 Lembrete: !
!( )!
n n
x x n x
 
   
 ou !
!( )!
n n
a a n a
 
   
 
Onde: p= fração defeituosa e q= fração não defeituosa 
 
 
Observação: p + q = 1 ou q = 1-p 
 
 
 
0
( )
x a x n x
x
n
F x
x p q
 

 
  
 
 ou seja 
0
( )
a a a n a
a
n
F a
a p q
 

 
  
 
 
 
 
 8
Exemplo: 
 
- Uma partida de N = 1000 peças tem a fração defeituosa p=0,04. Calcular as 
probabilidades de aceitação e de rejeição da partida, com amostras de n = 50 peças, e 
a sucessivamente 2, 3 e 6. 
 
 
Lembrete: F(1) = f(0) + f(1); F(2) = f(0) + f(1) + f(2); F(3) = F(2) + f(3), e assim por 
diante... 
 
Respostas: F(0) = 0,130; F(1) = 0,401; F(2) = 0,677; F(3) = 0,861; F(4) = 0,951; F(5) = 
0,986; F(6) = 0,996; F(7) = 0,999; F(8) = 1,000 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA 
 
- Descreve a amostragem SEM REPOSIÇÃO. 
 
- Deve ser empregada em partidas pequenas quando f > 0,10 , onde f  fração 
amostrada. 
 
 
- função densidade: ( )
D N D
x n x
f x
N
n
  
    
 
 
 
 ou ( )
D N D
a n a
f a
N
n
  
    
 
 
 
 
 
Exemplo: Seja uma partida de N = 50 peças, com D = 2 defeituosos. Qual a 
probabilidade de aceitação da partida, inspecionando-se uma amostra de n = 10, com 
número de aceitação a=1? 
 
 
Resposta: 
2 50 2
0 10 0
(0)
50
10
f
  
    
 
 
 
= 0,637 
 
 
2 50 2
1 10 1
(1)
50
10
f
  
    
 
 
 
0,326 
 
F(1) = f(0) + f(1) = 0,637 + 0,326 = 0,963 
 
 
 
 9
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 
 
- Descreve a ocorrência de pequeno número de vezes sem periodicidade, em grande 
número de repetições (COM OU SEM REPOSIÇÃO). 
 
Condições para aplicação da distribuição: 
 
- fração de amostragem f = n/N < 0,10 e p < 0,10 e nP < 10 
 
 
- função densidade: ( )
!
x
f x
x
e   , onde λ = média = nP e e = base dos logaritmos 
neperianos. 
 
Ou seja: ( )
!
a
f a
a
e   
 
Exemplo: Seja o mesmo problema enunciado para a distribuição Binomial: 
 
- Uma partida de N = 1000peças tem a fração defeituosa p=0,04. Calcular as 
probabilidades de aceitação e de rejeição da partida, com amostras de n = 50 peças, e 
a sucessivamente 2, 3 e 6. 
 
Solução: 
 
- Verificação de atendimento da distribuição de Poisson: 
 
 f = n/N = 50/1000 = 0,05 (< 0,10) 
 
 p = 0,04 (< 0,10) 
 
- média (λ) = nP → λ = 50 x 0,04 = 2,0 
 
0 2,0
(0) 0,135
0!
2,0f e

  
 
1 2,0
(1) 0, 271
1!
2,0f e

  , e assim por diante, lembrando que F(a) =Σ f(a) 
 
Logo: F(1) = 0,406; F(2) = 0,677; F(3) = 0,857; F(4) = 0,947; F(5) = 0,983; F(8) = 1,000; 
 
 
 10
 
 
 
 
 
 
 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
PARÂMETROS E [x] (Média) 
V [X] 
(Variância) 
BINOMIAL 
p(x) = P{X=x} = xnx pp
x
n 




 )1( 
 x= 0, 1, 2, ...... n 
 
n, p 
0 < p < 1 np np(1-p) 
POISSON 
p(x) = P{X=x} = 
!x
ex   
 x= 0, 1, 2, ...... n 
 
0   
GEOMÉTRICA 
 
p(x) = P{X=x} = 1)1(  xpp 
 x= 0, 1, 2, ...... n 
 
p, 0 < p < 1 p
1 2
1
p
p 
HIPERGEOMÉTRICA 
 
p(x) = P{X=x} = 




















n
N
xn
DN
x
D
 
 x= 0, 1, 2, ...... n 
 
N, r, n 
np 
 
p= D/N 
npq
1

N
nN 
q=1-p 
EXPONENCIAL 
 
f(x) = xe   , x > 0 
 = 0, x< 0 
 
0 /1 2/1  
NORMAL 
f(x) = 
2
2
1
.2
1 



 




x
e 
 Forma reduzida: z = 

X 
 
 , 2  2 
 
INSPEÇÃO POR AMOSTRAGEM 
TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO 
 11
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES ENTRE AS DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADE 
Muitas distribuições - difícil saber quando aplicar qual. 
 
MAIS 
FÁCIL 
 
POISSON 
APLICAR 
SEMPRE QUE 
POSSÍVEL 
 HIPERGEOMÉTRICA 
 
 
 
Aproximações: binomial, quando n/N > 0,10; 
 Poisson, quando n/N < 0,10,p < 0,10 e np < 5; 
 Normal, quando n/N < 0,10 e a normal aproximar da 
binomial. 
Usada para lotes finitos de tamanho N. 
 BINOMIAL 
 
 
 
 
Aproximações: Poisson, quando p < 0,10 e np < 5; 
Normal, quando p em torno de 0,5 e n > 10. 
 
Situações infinitas ou quando produção é estável e assume-se 
a situação infinita. 
 12
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURVA CARACTERÍSTICA 
DE OPERAÇÃO (CCO) 
 
 Usa-se na análise de um plano de inspeção por 
amostragem; 
 Indica a percentagem de lotes que se espera aceitar, para 
uma dada qualidade do processo; 
 Permite avaliar a operação do plano de amostragem, sob 
condições variadas do material produzido; 
 Permite ilustrar os riscos inerentes ao plano de 
amostragem. 
 
 Pac 
 Probabilidade 
de Aceitação FORMA GERAL 
 p 
Fração Defeituosa 
 13
 
 
Cada plano de aceitação por amostragem tem uma CCO associada, não importando 
que essa curva não seja plotada após terem sido calculados seus valores. A CCO é um 
meio para se definir características reais de um determinado plano de aceitação por 
amostragem. Dessa forma, qualquer plano de aceitação por amostragem tem uma 
CCO, apesar de existirem planos de aceitação por amostragem com CCO's 
coincidentes. 
 
 
 
 
Uma CCO mostra, para cada valor de não-conforme possível, p, de um dado lote 
submetido a inspeção, a probabilidade Pa de que tal lote seja aceito pelo plano de 
aceitação por amostragem que essa CCO representa. Obtém-se assim, um gráfico com 
a fração não-conforme p no eixo X e a probabilidade de aceitação Pa no eixo Y. 
 
 
 
A figura1 mostra uma curva ideal para o caso em que se deseja aceitar todos os lotes 
com 3% ou menos de não conformes e rejeitar todos os lotes com um nível de 
qualidade indicando mais que 3% de não-conformes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO TÉCNICA DE CCO'S 
CCO PARA PLANO IDEAL 
Fig.1 
 14
 
 
A figura 2 mostra uma CCO real de comportamento que se obteria se um inspetor 
fosse instruído a coletar amostra com 150 peças em lote grande e aceitar o lote se o 
mesmo não tivesse mais que quatro peças não-conformes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando essa curva (fig. 2) vê-se que um lote com 3% de não-conformes tem 
apenas uma chance em duas de ser aceito. Entretanto, outro lote com 3,5% de não-
conforme, apesar de tecnicamente ser um lote ruim, tem 39 chances em cem de ser 
aceito. Essa probabilidade de 0,39 é válida se e somente se um certo lote com o nível 
da qualidade de 3,5% for inspecionado. No que diz respeito a lotes com esse nível ruim 
da qualidade, relativamente poucos lotes serão aprovados pelo produtor. Dessa forma, 
somente 39% dos lotes ruins submetidos a inspeção serão aceitos. Dessa forma, um 
lote com 2,5% de não-conformes, apesar de tecnicamente ser um lote bom, tem 34 
chances em cem de não ser aceito. 
CCO PARA PLANO GENÉRICO 
Fig. 2 
 
NNQQAA == 
NNQQII 
 15
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÍVEIS DE QUALIDADE 
 
Nível de Qualidade Aceitável (P1 = NQA) 
 
 Máxima percentagem defeituosa que pode ser 
considerada como boa qualidade pelo consumidor. 
Nível de Qualidade Inaceitável (P2 = NQI) 
 
 Mínima percentagem defeituosa que indicará má 
qualidade para o consumidor. 
P1 < P2 
Se p = fração defeituosa de um lote, tem-se: 
 
LOTE DE 
BOA 
QUALIDADE 
 
P < P1 
LOTE DE 
MÁ 
QUALIDADE 
 
P > P2 
 16
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RISCOS DO PRODUTOR E DO CONSUMIDOR 
RISCO DO PRODUTOR () 
 PROBABILIDADE DE REJEIÇÃO DE UM LOTE DE BOA 
QUALIDADE (COM PP1). 
RISCO DO CONSUMIDOR () 
 PROBABILIDADE DE ACEITAÇÃO DE UM LOTE DE MÁ 
QUALIDADE (COM PP2). 
1 -  
1 
 
 = RISCO DO CONSUMIDOR 
 = RISCO DO PRODUTOR 
Pac 
p 
 17
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura 3 mostra uma CCO típica, com o nível real da qualidade do lote no eixo vertical 
e percentagem média (ou teórica) de não-conformidade do processo no eixo horizontal. 
Existem dois valores importantes a serem considerados com relação ao eixo X; o 
primeiro é o relacionado com NQA e o segundo, com NQI. Em relação ao eixo vertical, 
existem dois valores importantes. Esses quatro valores aparecem aos pares e podem 
ser bem explicados discutindo-se juntos NQA com  e NQI com . 
 
O risco do produtor () é o risco que o produtor assume de ter um lote rejeitado, 
mesmo que a qualidade real do lote atenda ao nível da qualidade aceitável (NQA). Na 
Figura 3 pode-se ver que o NQA é igual a 2% e "alfa" é igual a 10%. Conclui-se que 
pela Figura 3 que o plano que ela representa aceitaria 90% dos lotes com exatamente 
2% de produtos não-conformes que fossem submetidos a inspeção. Dessa forma, 
mesmo sabendo-se que foi fixado um NQA de 2%, esse plano teórico ainda rejeitaria. 
 
Pode-se observar na figura 4 que não é isto que acontece para um lote com 4% de 
supostos não-conformes inspecionados com esse plano; Se o tamanho do lote for igual 
a 50, a probabilidade de que o lote seja aceito é de 80%. 
 
 
 
 
 
RELAÇÃO ENTRE OS PARÂMETROS CCOS 
Fig.3 
NNQQII 
NNQQII 
 18
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4 
EFEITODE MUDANÇA EM TAMANHO DE LOTES. 
Fig. 5 
aa 
aa 
aa aa 
aa 
aa 
aa 
aa 
 19
 
A figura 6 mostra o efeito de alteração em tamanho de amostras, com todos os outros 
fatores permanecendo constantes. À medida que o tamanho da mostra aumenta. 
CCOs se tornam mais inclinadas, isto é, a probabilidade de aceitação se torna menor. 
Isto significa simplesmente que, quanto maior o número de itens da amostra, maior a 
possibilidade de se encontrar não-conformes acima do número de aceitação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pode-se ver na figura 7, o efeito de se mudar somente o número de aceitação. À 
medita que o número de aceitação aumenta, a CCO se torna mais achatada, isto e, a 
probabilidade de aceitação aumenta. Quanto maior o número de não-conformes 
permitidos, maior a chance de se tomar decisão de aceitação. 
 
A figura 8 mostra os efeitos de se variar tanto o tamanho da amostra como o número 
de aceitação. Observe que a CCO começa a se aproximar da curva ideal quando o 
número de aceitação é mudado a partir de zero. Geralmente, esse é o caso. 
Entretanto, quando se fixa um número de aceitação maior que zero, deve-se aumentar 
o tamanho da amostra para se obter valores de probabilidades de Pa que garantam 
proteção adequada. 
 
 
EFEITO DE ALTERAÇÃO EM TAMANHO DE AMOSTRAS. 
Fig. 6 
 20
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 7 
Fig. 8 
AA 
BB 
 21
A figura 9 mostra a alteração no perfil de CCO's em função de mudanças no número de 
aceitação. À medida que o número de aceitação diminui, a curva se torna mais 
inclinada. Esse fato foi usado de forma incorreta para justificar o uso de planos com 
números de aceitação iguais a zero. Entretanto, CCO para N = 2000, n = 300 e c = 2, 
mostrada pela linha tracejada, é mais inclinada que a curva do plano com c = 0. Planos 
com números de aceitação maiores que zero podem, na realidade, ser melhores que 
os com números de aceitação zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 9 
aa 
aa 
aa 
aa 
 22
 
 
Quando se usa aceitação por amostragem, verifica-se um conflito entre interesses de 
consumidores e de produtores. O produtor deseja que todos os lotes sejam aceitos, e o 
consumidor deseja eu todos os lotes ruins sejam rejeitados. Somente um plano ideal, 
com uma CCO que seja uma linha vertical, pode satisfazer a ambos. Pode-se 
conseguir uma CCO ideal, como a mostrada na figura 1, somente com amostragem 
igual a 100%, e os pontos fracos desse tipo de inspeção já foram mencionados. Dessa 
forma, amostragem acarreta sempre riscos de rejeição de lotes bons e de aceitação de 
lotes ruins. Em virtude de seriedade desses riscos, foram padronizados diversos 
termos e conceitos. 
O risco do produtor, que é representado por , é a probabilidade de rejeição de um 
lote bom. Esse risco é freqüentemente assumido como sendo igual a 0,05, mas pode 
variar entre 0,01 e 0,10.; Como  é expresso em termos de probabilidade de rejeição, 
ele não pode ser localizado em CCOs, a manos que seja especificado em termos de 
probabilidade de aceitação. Consegue-se essa conversão subtraindo-se o número de 
rejeição de 1. Dessa forma, Pa = 1 - , e para  = 0,05 Pa = 1 - 0,05 = 0,95. 
 A Figura 10 mostra o risco do produtor de 0,05. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÃO PRODUTOR / CONSUMIDOR. 
Fig 10 
aa 
NNQQII 
NNQQAA 
 23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TIPOS DE CURVA CARACTERÍSTICA 
DE OPERAÇÃO (CCO) 
 
Tipo A 
 a amostragem é realizada no lote isolado. 
 a probabilidade de aceitação de um lote é função 
da sua qualidade (Distribuição Hipergeométrica). 
Tipo B 
 a amostragem é realizada no processo que 
produziu o lote; 
 a probabilidade de aceitar o lote é função da 
qualidade do processo (Distribuição Binomial). 
Observação: 
 
 Para lote grande em relação à amostra (no mínimo 10 vezes 
maior): 
Distribuição 
Hipergeométrica 
Distribuição 
Binomial 
 
Tipo A Tipo B 
 24
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERAÇÃO 
n = 5, a = 0, HIPERGEOMÉTRICA 
1,0 
0,9 
0,8 
0,7 
0,6 
0,5 
0,4 
0,3 
0,2 
0,1 
0,0 
0% 10% 20% 30% 40% 
FRAÇÃO DEFEITUOSA (P) 
PROBABILIDADE DE ACEITAÇÃO (Pac) 
P = 10% 
P = 20% 
P = 30% 
P = 40% 
Pac = 0,58 
Pac = 0,32 
Pac = 0,16 
Pac = 0,07 
 25
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURVAS CARACTERÍSTICAS DE OPERAÇÃO 
 n = 40, POISSON 
1,0 
0,9 
0,8 
0,7 
0,6 
0,5 
0,4 
0,3 
0,2 
0,1 
0,0 
0% 1% 5% 2% 3% 4% 6% 7% 8% 9% 10% 
FRAÇÃO DEFEITUOSA (P) 
 
PROBABILIDADE DE ACEITAÇÃO (Pac) 
a = 0 
a = 1 
a = 2 
a = 3 
a = 4 
 26
 
 
PLANOS DE AMOSTRAGEM SIMPLES 
N = tamanho do lote 
n = tamanho da amostra 
a = número de aceitação 
d = número de defeituosos na amostra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INSPECIONAR 
A AMOSTRA 
d :a 
ACEITAR 
O LOTE 
REJEITAR 
O LOTE 
d < a d > a 
 27
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INSPEÇÃO RETIFICADORA 
Objetivo 
 
 Tornar aceitáveis os lotes rejeitados, mediante nova inspeção - 
geralmente, inspeção completa (100%). 
 
Vantagem 
 
 Quando o produtor e o consumidor são de uma mesma empresa 
ou de empresas associadas. 
Cláusulas adicionais a um Plano de Amostragem Simples 
 
 Lote Aceito: substituir todas as peças defeituosas da amostra por 
peças perfeitas. 
 
 Lote Rejeitado: realizar inspeção completa do restante do lote e 
substituir todas as peças defeituosas DO LOTE 
e DA AMOSTRA por peças perfeitas. 
 28
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUALIDADE MÉDIA RESULTANTE 
N = tamanho do lote 
 
n = tamanho da amostra 
 
p = fração defeituosa 
 
Pac = probabilidade de aceitação de um lote com a fração defeituosa p 
 
QMR = Qualidade Média Resultante 
 Pac (N - n)p 
QMR = 
 N 
Cálculo Simplificado: 
 
Se 
N
n < 0,10 (fração de amostragem) 
1
N
nN 
 
QMR  Pac.p 
 29
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUALIDADE MÉDIA RESULTANTE NA CURVA 
CARACTERÍSTICA DE OPERAÇÃO 
Pac 
p 
 
QMR 
 30
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUALIDADE MÉDIA RESULTANTE (%) 
0% 1% 5% 2% 3% 4% 6% 7% 8% 9% 10% 
FRAÇÃO DEFEITUOSA (P) 
% 
QUALIDADE MÉDIA RESULTANTE (QMR) 
4,5 
4,0 
3,5 
3,0 
2,5 
2,0 
1,5 
1,0 
0,5 
0,0 
a = 0 
a = 1 
a = 2 
a = 3 
a = 4 
6,5 
6,0 
5,5 
5,0 
 31
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUALIDADE MÉDIA RESULTANTE LIMITE 
Pac 
p 
QMRL 
 32
Quando não ocorre retificação, QMR tem o mesmo valor que a qualidade na entrada, e 
essa condição é representada pela linha reta na figura 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A análise dessa curva mostra que, quando a qualidade na entrada tem 2,0% de nãoconformes, a qualidade média resultante é de 1,46% de não-conformes, e quando a 
qualidade na entrada tem 6,0% de não-conformes a qualidade média resultante é de 
0,64% de não-conformes. Dessa forma, como os lotes rejeitados são retificados, a 
qualidade média resultante é sempre melhor que a qualidade na entrada. Na realidade 
existe um limite chamado de limite da qualidade média resultante (LQMR). Dessa 
forma, para esse plano e no que diz respeito à percentagem não-conforme, com 
mudanças na qualidade na entrada, a qualidade média resultante nunca excederá o 
limite de aproximadamente 1,55% de não-conformes. 
 
A curva QMR junto com a CCO fornece ferramenta poderosa para se analisar planos 
de aceitação por amostragem. 
 
Fig. 11 
QMRL 
 33
 
 
PLANOS DE AMOSTRAGEM DUPLA 
N = tamanho do lote 
n = tamanho da primeira amostra 
n = tamanho da segunda amostra 
a = número de aceitação da primeira amostra 
d = número de defeituosos na primeira amostra 
a = número de aceitação para as duas amostras 
d = número de defeituosos na segunda amostra 
 
INSPECIONAR A 
1ª AMOSTRA 
 
INSPECIONAR A 
2ª AMOSTRA 
ACEITAR 
O LOTE 
REJEITAR 
O LOTE 
d1 < a1 d1 > a2 
d1 : a1, a2 
d1 + d2 : a2 
a1 < d1 < a2 
d1 + d2 > a2 d1 + d2 < a2 
 34
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMAS DE AMOSTRAGEM 
 
 Mil-Std (ou ABC-STD) - baseado no NQA; 
 Dodge-Romig - baseado no NQI ou na QMRL; 
 Philips SSS (Standard Sampling System) - baseado no Ponto de 
Indiferença. 
Ponto de Indiferença é a fração defeituosa para a qual a probabilidade de 
aceitação é igual à de rejeição. 
As normas da ABNT sobre Planos de amostragem baseiam-se na Mil-STD 
e são as seguintes (de dezembro de 1977). 
 
 NBR-5425: "Guia para Inspeção por amostragem no Controle e 
Certificação da Qualidade"; 
 NBR-5426: "Planos de Amostragem e Inspeção por Atributos"; 
 NBR-5427: "Guia para Utilização da Norma NBR-5426 - Planos de 
Amostragem e Inspeção por Atributos"; 
 NBR-5428: "Procedimentos Estatísticos para Determinação da Validade 
de Inspeção por Atributos Feita pelos Fornecedores"; 
 NBR-5429: "Planos de Amostragem e Procedimentos na Inspeção de 
Variáveis; 
 NBR-5430: "Guia de Utilização da Norma NBR-5429 - Planos de 
amostragem e Procedimentos na Inspeção de Variáveis"; 
 NBR-6531 - "Planos de Amostragem e Procedimentos de Inspeção 
Contínua por Atributos" (de 1981). 
Em 1985, a ABNT editou uma "Coletânea de Normas - Planos de 
Amostragem" (em dois volumes), com todas as normas citadas acima. 
 35
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tamanho do lote 
 
Níveis especiais de inspeção 
 
Níveis gerais de inspeção 
 
S1 S2 S3 S4 I II 
 
III 
 
 2 a 8 
 9 15 
 16 25 
 26 50 
 51 90 
 91 150 
 151 280 
 281 500 
 501 1200 
 1201 3200 
 3201 10.000 
10001 35.000 
35001 150.000 
150001 500.000 
Acima de 500.001 
A 
A 
A 
A 
B 
B 
B 
B 
C 
C 
C 
C 
D 
D 
D 
A 
A 
A 
B 
B 
B 
C 
C 
C 
D 
D 
D 
E 
E 
E 
A 
A 
B 
B 
C 
C 
D 
D 
E 
E 
F 
F 
G 
G 
H 
A 
A 
B 
C 
C 
D 
E 
E 
F 
G 
G 
H 
J 
J 
K 
A 
A 
B 
C 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
J 
K 
L 
M 
N 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
J 
K 
L 
M 
N 
P 
Q 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
J 
K 
L 
M 
N 
P 
Q 
R 
 
 
NBR-5426 - CODIFICAÇÃO DE AMOSTRAGEM 
 36
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PLANOS DE AMOSTRAGEM: INSPEÇÃO POR VARIÁVEIS 
 
 Menor tamanho da amostra; 
 Maior custo dos equipamentos de inspeção; 
 Necessidade de mão de obra especializada. 
Normas: Mil -Std 414 e NBR-5429. 
Estimativa da variabilidade desconhecida: 
 Método do Desvio-Padrão; 
 Método da Amplitude. 
 
Comparação entre os Tamanhos de Amostras: 
 
 
 
 
 
n = tamanho da amostra para  conhecido; 
ns = tamanho da amostra para  desconhecido, método do desvio-
padrão; 
n R = tamanho da amostra para  desconhecido, método da 
amplitude; 
nA = tamanho da amostra, inspeção por atributos. 
 
 
n < ns < n R < nA 
 37
BIBLIOGRAFIA 
 
 
1. Lourenço Filho, Ruy de C.B. 
 "Controle Estatístico de Qualidade" 
 LTC, 1984 
2. "Coletânea de Normas - Planos de Amostragem" 
 ABNT, 1985 
3. Ramos, Alberto Wundeler 
 "CEP para Processos Contínuos e em Bateladas" 
 Editora Edgard Blucher, 2000 
4. Kume, Hitoshi 
 "Métodos Estatísticos para Melhoria da Qualidade" 
 Editora Gente, 1993 
5. Duncan, A. J. 
 "Quality Control and Industrial Statistics" 
 Richard D. Irwin, Inc., 1986 
6. Juran, J. M. / Gryna, F. M. 
 "Quality Control Handbook" 
 McGraw-Hill, 1988 
7. Faustini, Tarcísio R. 
 "Controle Estatístico de Qualidade" 
 UFES, 1992