Diagonalização de Operadores Lineares e Polinômio Minimal

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Campus de 
Ilha Solteira 
 
 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
 “Júlio de Mesquita Filho” 
 Faculdade de Engenharia 
Departamento de Matemática 
 
Álgebra Linear II – 2o Semestre de 2018: Matemática 
Roteiro 5: Diagonalização de Operadores Lineares e Polinômio Minimal 
 
Objetivo: Definir e determinar o polinômio minimal de um operador linear; 
 
1. Introdução 
Considere o operador linear 

















7 0 0 0 0
0 5 3 0 0
0 2 4 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 5 2
A
. 
Problema 1: 
(a) Determinar o polinômio característico de A e seus autovalores; 
(b) Determinar os autoespaços de T, e suas dimensões; 
(c) T é diagonalizável? 
 
No processo de resolução do Problema 1, a primeira grande dificuldade deparada é 
na determinação do polinômio característico de A. Em seguida, a resposta à questão 
relativa a diagonalização, devido ao processo de resolução ser longo e cansativo. Surge 
dessa forma a pergunta: será que não existe uma maneira mais rápida e eficiente de 
verificar a questão da diagonalização de operadores lineares de ordem elevada, sem a 
determinação de seus autovetores? Procura-se, então, uma resposta para tal 
questionamento. 
 
Problema 2: Considere o polinômio característico p(x) e a matriz A, obtidos no Problema 
1. Calcule p(A). O que você observa? 
 
Têm-se, então, os seguintes resultados: 
 
Teorema 1: Toda matriz A é um zero de seu polinômio característico. 
 
Teorema 2: Se o polinômio característico p(x) de uma matriz quadrada A é um produto de 
fatores lineares distintos, p(x) = (x - 1)(x - 2) ... (x - n), isto é 1, 2 ... n são raízes 
distintas de p(x), então A é semelhante a uma matriz diagonal cujos elementos diagonais 
são os i. 
 
Corolário: Se A é uma matriz quadrada nxn sobre , então A tem pelo menos um 
autovalor. 
 
Prova: Exercício 
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 2 
Problema 3: Verifique se o operador linear 











2- 1 0
5- 2 0
0 0 3
A
 é diagonalizável: 
 
Teorema 3: Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico. 
 
Problema 4: 
(a) Suponha que 







2
1
A 0
B A
A
, sendo que A1 e A2 são matrizes quadradas. Mostre que o 
polinômio característico de A é o produto dos polinômios característicos de A1 e A2. 
Generalize este resultado; 
(b) Determine o polinômio característico do operador linear 























5 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 3 0 0 0 0 0
0 0 0 3 1 0 0
0 0 0 2 4 0 0
0 0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 0 8 2
A
. 
 
Problema 5: Considere o polinômio característico p(x) e a matriz A, obtidos no Problema 
1. 
(a) Determine todos os polinômios m(x), obtidos a partir de p(x), que possuem a matriz 
A como uma raiz; 
(b) Qual deles tem o menor grau? 
 
Tem-se, então, a seguinte definição: 
 
Definição: O polinômio minimal da matriz quadrada A é um polinômio m(x) = xk + ak-1x
k-
1 + ... + ao, mônico, tal que: 
(a) m(A) = 0; 
(b) m(x) é o polinômio de menor grau entre aqueles que anulam A. 
 
Têm-se, então, os seguintes resultados, que relacionam os polinômios característicos 
e minimal. 
 
Teorema 3: Os polinômios característico e mínimal de uma matriz A possuem os mesmos 
fatores irredutíveis. 
 
Prova: Exercício 
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 3 
O Teorema 3 não nos diz que m(t) e p(t) são iguais, mas que qualquer fator irredutível 
de um deve dividir o outro. Em particular, como fator linear é irredutível, m(t) e p(t) têm 
os mesmos fatores lineares e portanto, as mesmas raízes. Tem-se, então, que: 
 
Teorema 4: Um escalar  é um autovalor de uma matriz A se e somente se  é raiz do 
polinômio mínimal de A. 
 
Prova: Exercício 
 
Teorema 5: Um escalar  é um autovalor de uma matriz A se e somente se  é raiz do 
polinômio mínimal de A. 
 
 
Teorema 6: Se 













r
2
1
A ... 0 0
.............. 
0 .... A 0
0 ... 0 A
A é uma matriz diagonal em blocos, com blocos 
diagonais A1, A2, ..., Ar, então o polinômio mínimo de A é igual ao mínimo múltiplo comum 
dos polinômios mínimos dos blocos diagonais Ai. 
 
Problema 6: Determine os polinômios minimais dos seguintes operadores lineares: 
(a) 













5 0 0 0
0 2 0 0
 0 0 2 0
 0 0 1 2
A ; 
(b) 













4 2- 0 0
1 1 0 0
 0 0 2 0
 0 0 1 2
A ; 
 
(c) 























5 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 3 0 0 0 0 0
0 0 0 3 1 0 0
0 0 0 2 4 0 0
0 0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 0 8 2
A
; 
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 4 
 (d) 

















4 0 0 0 0
1 4 0 0 0
0 0 4 0 0
 0 0 1 4 0
 0 0 0 1 4
A
. 
 
Observação: Nota-se que o Teorema 6 aplica-se a matrizes diagonais em blocos, enquanto 
a generalização efetuada no Problema 4 – (a) análogo sobre polinômios característicos, 
aplica-se a matrizes triangulares em blocos. 
 
Questão: Que relação existe entre diagonalização e polinômio minimal? 
 
Teorema 7: O operador linear 
VVT :
, sendo V de dimensão n, é diagonalizável se e 
somente se m(x) = (x - 1)(x - 2) ... (x - r), isto é, o polinômio minimal de T é um produto 
de fatores lineares distintos. 
 
Prova: Exercício 
 
Problema 7: O operador linear definido por T(x, y, z, t) = (3x - 4y, 3y + 5z, -z, -t) é 
diagonalizável? 
 
Definição: 
(a) A multiplicidade algébrica de um autovalor  é a quantidade de vezes que ele aparece 
como raiz do polinômio característico; 
(b) A multiplicidade geométrica de um autovalor  é a dimensão do autoespaço associado 
ao autovalor . 
 
Observação: Suponha que T seja diagonalizável. Então, existe uma base 
 n21 e ..., ,e ,eB 
 
de V formada por autovetores de T tal que a matriz A = [T]B é diagonal. sejam 1, 2, ..., 
r (r  n) os autovalores distintos de T. Então, os elementos diagonais de A são 1, 2, ..., 
r . Se para casa j = 1, 2, ..., r j está repetido nj vezes, então A tem a forma de blocos: 
 














rIr
22
11
 .... 0 0 
.....................
0 .... Iλ 0 
0 .... 0 Iλ

 
 
onde Ij 
)( M
jn

 é a matriz identidade. Agora, 
 
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 5 














rr
22
11
I) - (t .... 0 0 
.........................................
0 .... )Iλ - (t 0 
0 .... 0 )Iλ - (t
 A] - [tIn

. 
 
Observe que: 
(1) 
r21 n
r
n
2
n
1 )t( ... )t( )t()t(p   ; 
(2) Se j = 1, 2, ..., r, como: 
 




















rrj
xnn
22j
11j
B
I) - ( .... 0 .... 0 0 
 ........................................................ 
0 .... 0 .... 0 0 
......................................................... 
0 .... 0 .... )Iλ - ( 0 
0 .... 0 .... 0 )Iλ - (
 = T] - Ij [
jj




. 
 
Como i  j para i  j, o número de zeros que aparece na diagonal principal é nj, isto é, 
dimKer(jI - T) = nj. Portanto, dimWj = nj. 
 
Teorema 7: Seja  um autovalor de um operador linear 
VVT :
. Então, a multiplicidade 
geométrica de  não excede sua multiplicidade algébrica. 
 
Teorema 8: Sejam 1, 2, ..., r (r  n) os autovalores distintos de T e seja Wj = Ker(jI - 
T). São equivalentes: 
(a) T é diagonalizável; 
(b) 
rn
r
nn
ttttp )( ... )( )()( 21 21   é o polinômio característico de T e dim Wj 
= nj, j = 1, 2, ..., r; 
(c) dim W1 + dim W2 + .. + dim Wr = dim V = n. 
 
Corolário: Se 
)( ... )( )()( 21 nttttp   com i  j, então T é diagonálizável. 
 
Exemplos: 
(1) Verificar se 33:T  definido por T(x, y, z) = (3x + y - z, 2x + 2y - z, 2x + 2y) 
é diagonalizável; 
(2) Verificar se 33:T  definido por T(x, y, z) = (5x -6y - 6z, -x + 4y + 2z, 3x -6y 
- 4z) é diagonalizável. Em caso afirmativo ache a matriz de T numa base formada 
por autovetores de T.