MFA_Análise dimensional

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Teorema dos π 
Semelhança 
 Fundamentais  independentes. 
 Derivadas  definidas a partir da relação entre 
as fundamentais. 
 
 Na mecânica são 3 grandezas fundamentais, 
que formam a base completa: 
◦ Tempo – T 
◦ Comprimento – L 
◦ Massa – M (Base MLT) ou Força – F (Base FLT) 
 
 Equação dimensional de uma grandeza derivada 
 Baseados na definição das unidades das 
grandezas fundamentais 
 
 SI (Base MLT) 
 CGS (Base MLT) 
 MKS técnico (Base FLT) 
 Na base MLT a equação dimensional da 
pressão é dada por: 
A. F.T-2. 
B. M.L-1.T-2. 
C. N.m-2. 
D. M-1.L1T-2. 
E. M.L.T-2. 
 
R: B 
 
 Independem de todas as grandezas 
fundamentais do sistema de unidades  não 
apresentam unidade de medida. 
 
 São indicados genericamente pela letra “pi”: π 
 
Assim: 
π = F0.L0.T0 = M0.L0.T0 
 
 
 Uma vez definidos os adimensionais que 
relacionam todas as variáveis de um 
fenômeno, é possível substituir, de modo 
prático, a análise da relação de cada uma das 
variáveis em relação às outras pela análise da 
relação entre os adimensionais, que é 
genérica e válida para qualquer valor das 
variáveis envolvidas. 
 Número de 
Reynolds – Re 
 
 
 
 
L comprimento 
característico do 
escoamento 
Significado físico do Re: 
 
Encontrar a equação 
dimensional da relação 
entre as forças de 
inércia (Fi) e as Forças 
viscosas (Fμ) do 
escoamento: 

 vLvL
Re
A
ma
F
Fi


A
ma
F
Fi











F
FvL
vL
L
L
v
vL
v
L
L
L
v
T
v
V
A
ma
i

Re
11
2
3
2
Re<2000  Laminar  
predominância das forças viscosas 
(não ocorre agitação das partículas) 
 
Re>2400  Turbulento  
predominam as forças de inércia. As 
forças viscosas tem pouca influência. 
Número de Euler: Eu 
(Coeficiente de Pressão) 
 
Indica a relação entre 
as forças de pressão e 
as forças de inércia no 
escoamento. 
Aparece em fenômenos 
onde gradientes de 
pressão são 
importantes 
222
2
Lv
F
Av
F
Eu
v
p
Eu





Estudo da interação entre um fluido e um 
corpo imerso em movimento relativo. 
 
 Coeficiente de arrasto: Ca 
 Força de arrasto (resistência ao avanço): Fa 
 
EuC
Av
F
C a
a
a 
2
2
1 
Número de Froude (Fr) 
Indica a relação entre as 
forças de inércia e a 
força da gravidade. 
Importante em 
escoamentos com uma 
superfície livre com 
possível formação de 
ondas 
 
Número de Mach (𝓜) 
Importante para 
escoamento de 
fluidos compressíveis. 
 
 
 
 
c – velocidade do som 
no fluido 
 
Lg
v
Fr
2

c
v

 Mostra como obter os adimensionais que 
descrevem um fenômeno. 
 
 Dado um fenômeno físico descrito por n variáveis 
(x1, x2, ... xn) relacionadas pela função: 
 f(x1, x2, ... xn)=0. 
Existe outra função Φ(π1, π2, ..., πm)=0, equivalente 
a f, que relaciona os m adimensionais do fenômeno 
 m=n-r 
 r: número de dimensões fundamentais contidas 
nas variáveis do fenômeno (em mecânica: r≤3) 
 Tradicional: F L T 
 Escolha das grandezas da base: 
◦ Escrever a equação adimensional de todas as variáveis do 
fenômeno; 
◦ Selecionar um número r delas, de modo que cada uma seja 
diferente da anterior por pelo menos uma dimensão 
básica forma a BASE (Tradicional: ρ , v , L) 
 Construção dos adimensionais: 
◦ Último fator é uma das grandezas não incluídas na base 
◦ Primeiros fatores são as grandezas da base (sempre as 
mesmas) 
nrm
rr
rr
xxxx
xxxx
xxxx
r
r
r
.....
........
.....
.....
21
21
21
21
1212
1211











Determinação dos expoentes : 
 Escrever cada grandeza em termos de sua 
equação dimensional; 
 Igualar os pis a: 
π = F0.L0.T0 = M0.L0.T0 
 
 
Um modelo (m) em escala é 
usado para simular as 
condições do fenômeno em 
escala real (protótipo - p). 
 
 Representação de um sistema físico 
(chamado de protótipo) que pode ser 
utilizado para prever o comportamento de 
um sistema com relação a algum aspecto 
desejado. 
 Assemelha-se ao protótipo, mas pode ter: 
tamanho diferente, envolver fluidos 
diferentes, e operar sob condições diferentes. 
 Sendo um problema (protótipo) descrito 
pelos adimensionais: 
 
 
 Existe uma relação similar para o modelo: 
 
 
 Condição de semelhança completa ou lei de 
modelagem: 
Adimensionais medidos com o modelo são 
iguais aos obtidos para o protótipo. 
 
),...,,( 321 m 
),...,,( 321 mmmmm  
 Precisa haver semelhança geométrica entre o 
modelo (m) e protótipo (p): mesmo formato e 
dimensões proporcionais (escala). 
 Precisa haver semelhança cinemática  relação 
constante entre velocidades de partículas 
homólogas de fluido. 
 
 
 
 Deve haver semelhança dinâmica  forças que 
agem em pontos homólogos devem manter relação 
constante. 
p
m
p
m
p
m
v
v
L
v
v
v
v

2
2
1
1
 
Adimensionais referentes ao protótipo devem 
ser iguais aos respectivos adimensionais 
referentes ao modelo. 
 
 Semelhança completa 
 Escala geométrica 
 
 
 
 Escala de velocidades 
 
 
 
 Escala genérica 
p
m
L
L
L
K 
p
m
v
v
v
K 
p
m
x
x
x
K 
Obtidas a partir da condição 
de igualdade entre os 
adimensionais do fenômeno. 
 Para Reynolds: Rem=Rep 
 
 
 
 
 
 
 Para Euler: Eum=Eup 
 
 
 
 
 
 
 Para Froude: Frm=Frp 
Lv
p
ppp
m
mmm KKKK
LvLv





22
22 LvF
KKKK
Lv
F
Eu  
Lg
v
Fr
2

gLKKK v 
2
Considerando semelhança completa em relação 
à bomba centrífuga do laboratório, obtenha 
para uma bomba de diâmetro do rotor de 
150mm e que opera com a rotação de 50% do 
valor da bomba do laboratório: 
 A curva característica (HB versus vazão) da 2a 
bomba