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Funções de uma variável complexa!

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAI´BA
CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
DISCIPLINA: Varia´veis Complexas PERI´ODO: 2015.1
PROFESSOR: Uberlandio B. Severo
1a Lista de Exerc´ıcios
1) Fac¸a um esboc¸o e identifique os seguintes conjuntos:
a) |z| = |z − 2|; b) |z| = |z − 1|; c) a|z| = |z − 1|, a ∈ R, a 6=
{
0
1
.
d) Re(z) = Im(z − 1); e) Im(z − 1) = |z + 1|; f) |z| = |z − 1|.
g) Re
(
1
z
)
<
1
2
; h) |z − 4| > |z|.
2) Mostre que ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2| para todo z1, z2 ∈ C.
3) Mostre que, se z2 6= −z3, enta˜o ∣∣∣∣ z1z2 + z3
∣∣∣∣ ≤ |z1|||z2| − |z3|| .
4) Mostre que |z1 + z2| < |1 + z1z2| desde que |z1| < 1 e |z2| < 1.
5) Encontre todas as soluc¸o˜es das equac¸o˜es:
z2 = 1− i
√
3; z5 = −1; z3 = 1; z7 = −(1 + i).
6) Seja P (x) = ax2 + bx + c um polinoˆmio de grau 2 com coeficentes reais e suponha que
∆ = b2 − 4ac < 0. Enta˜o, as soluc¸o˜es da equac¸a˜o P (x) = 0 sa˜o nu´meros complexos
com parte imagina´ria na˜o nula. Se z1 e z2 sa˜o essas soluc¸o˜es, mostre que z2 = z1. Mais
geralmente, se P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 e´ um polinoˆmio de grau n > 0
arbitra´rio, com coeficientes reais, e se z0 ∈ C e´ tal que P (z0) = 0, enta˜o mostre que
P (z0) = 0.
7) Use a fo´rmula de De Moivre
(cos θ + i sin θ)n = cosnθ + i sinnθ
para deduzir
cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ
sin 2θ = 2 sin θ cos θ
cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sin2 θ
sin 3θ = 3 cos2 θ sin θ − sin3 θ
8) Calcule (2 + i)(3 + i) e deduza a igualdade
pi
4
= arctan
1
2
+ arctan
1
3
9) Ache todos os valores das seguintes ra´ızes. Verifique-as graficamente.
a)(2i)
1
2 ; b)(−1) 13 .
10) Ache todos os valores de
a)(−1 + i
√
3)
3
2 ; b)(−1)− 34 .
11) Prove, por induc¸a˜o, a fo´rmula binomial
(1 + z)n = 1 + nz +
n(n− 1)
2!
z2 + . . .+
n(n− 1) . . . (n− k + 1)
k!
zk + . . .+ zn,
onde n e k sa˜o inteiros positivos.
12) Estabelec¸a a relac¸a˜o
1 + z + z2 + . . .+ zn =
1− zn+1
1− z , z 6= 1,
e da´ı deduza as seguintes identidades
(a) 1 + cos θ + cos 2θ + . . .+ cosnθ =
1
2
+
sin[(n+ 1/2)θ]
2 sin(θ/2)
;
(b) 1 + sin θ + sin 2θ + . . .+ sinnθ =
1
2
cotg(θ/2)− cos[(n+ 1/2)θ]
2 sin(θ/2)
,
onde 0 < θ < 2pi.
13) Usando a relac¸a˜o no exerc´ıcio anterior para a soma de uma se´rie geome´trica finita, mostre
que, se w 6= 1 e´ uma ra´ız n-e´sima imagina´ria da unidade, enta˜o
1 + w + w2 + . . .+ wn−1 = 0
2