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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAI´BA CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA DISCIPLINA: Varia´veis Complexas PERI´ODO: 2015.1 PROFESSOR: Uberlandio B. Severo 1a Lista de Exerc´ıcios 1) Fac¸a um esboc¸o e identifique os seguintes conjuntos: a) |z| = |z − 2|; b) |z| = |z − 1|; c) a|z| = |z − 1|, a ∈ R, a 6= { 0 1 . d) Re(z) = Im(z − 1); e) Im(z − 1) = |z + 1|; f) |z| = |z − 1|. g) Re ( 1 z ) < 1 2 ; h) |z − 4| > |z|. 2) Mostre que ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2| para todo z1, z2 ∈ C. 3) Mostre que, se z2 6= −z3, enta˜o ∣∣∣∣ z1z2 + z3 ∣∣∣∣ ≤ |z1|||z2| − |z3|| . 4) Mostre que |z1 + z2| < |1 + z1z2| desde que |z1| < 1 e |z2| < 1. 5) Encontre todas as soluc¸o˜es das equac¸o˜es: z2 = 1− i √ 3; z5 = −1; z3 = 1; z7 = −(1 + i). 6) Seja P (x) = ax2 + bx + c um polinoˆmio de grau 2 com coeficentes reais e suponha que ∆ = b2 − 4ac < 0. Enta˜o, as soluc¸o˜es da equac¸a˜o P (x) = 0 sa˜o nu´meros complexos com parte imagina´ria na˜o nula. Se z1 e z2 sa˜o essas soluc¸o˜es, mostre que z2 = z1. Mais geralmente, se P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 e´ um polinoˆmio de grau n > 0 arbitra´rio, com coeficientes reais, e se z0 ∈ C e´ tal que P (z0) = 0, enta˜o mostre que P (z0) = 0. 7) Use a fo´rmula de De Moivre (cos θ + i sin θ)n = cosnθ + i sinnθ para deduzir cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ sin 2θ = 2 sin θ cos θ cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sin2 θ sin 3θ = 3 cos2 θ sin θ − sin3 θ 8) Calcule (2 + i)(3 + i) e deduza a igualdade pi 4 = arctan 1 2 + arctan 1 3 9) Ache todos os valores das seguintes ra´ızes. Verifique-as graficamente. a)(2i) 1 2 ; b)(−1) 13 . 10) Ache todos os valores de a)(−1 + i √ 3) 3 2 ; b)(−1)− 34 . 11) Prove, por induc¸a˜o, a fo´rmula binomial (1 + z)n = 1 + nz + n(n− 1) 2! z2 + . . .+ n(n− 1) . . . (n− k + 1) k! zk + . . .+ zn, onde n e k sa˜o inteiros positivos. 12) Estabelec¸a a relac¸a˜o 1 + z + z2 + . . .+ zn = 1− zn+1 1− z , z 6= 1, e da´ı deduza as seguintes identidades (a) 1 + cos θ + cos 2θ + . . .+ cosnθ = 1 2 + sin[(n+ 1/2)θ] 2 sin(θ/2) ; (b) 1 + sin θ + sin 2θ + . . .+ sinnθ = 1 2 cotg(θ/2)− cos[(n+ 1/2)θ] 2 sin(θ/2) , onde 0 < θ < 2pi. 13) Usando a relac¸a˜o no exerc´ıcio anterior para a soma de uma se´rie geome´trica finita, mostre que, se w 6= 1 e´ uma ra´ız n-e´sima imagina´ria da unidade, enta˜o 1 + w + w2 + . . .+ wn−1 = 0 2
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