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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAI´BA CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA DISCIPLINA: Varia´veis Complexas PERI´ODO: 2014.2 PROFESSOR: Uberlandio B. Severo 3a Lista de Exerc´ıcios 1) Calcule o valor da integral ∫ C f(z)dz, onde f(z) = (z + 2)/z e C e´ (a) o semic´ırculo z = 2eiθ, onde θ varia de 0 a pi; (b) o semic´ırculo z = 2eiθ, onde θ varia de 0 a −pi; (c) o c´ırculo z = 2eiθ, onde θ varia de −pi a pi. Resp. (a) −4 + 2pii (b) −4− 2pii (c) 4pii. 2) Determine o valor de ∫ C f(z)dz, onde C e´ o arco de z = −1− i a z = 1+ i da curva y = x3 e f(z) = { 4y quando y > 0 1 quando y < 0. Resp. 2 + 3i 3) Se C e´ o contorno do quadrado com ve´rtices nos pontos z = 0, z = 1, z = 1 + i e z = i, mostre que ∫ C pi exp(piz¯)dz. Resp. 4(epi − 1). 4) Seja C o arco do c´ırculo |z| = 2 que se situa no primeiro quadrante. Mostre que∣∣∣∣∫ C dz z2 + 1 ∣∣∣∣ ≤ pi3 . sem calcular o valor da integral. 5) Sendo C o contorno do triaˆngulo com ve´rtices nos pontos z = 0, z = −4 e z = 3i, mostre que ∣∣∣∣∫ C (ez − z¯)dz ∣∣∣∣ ≤ 60. 6) Sendo C um c´ırculo |z| = R, onde R > 1, mostre que∣∣∣∣∫ C Log z z2 dz ∣∣∣∣ < 2pipi + Log RR e que, portanto, o valor da integral tende para zero quando R→∞. 7) Prove que 2 ∫ β α z dz = β2 − α2 quando a integrac¸a˜o e´ efetuada sobre: (a) um arco suave de Jordan; (b) um caminho; (c) como consequ¨eˆncia, mostre que a integral de z ao longo de qualquer caminho fechado e´ nula. 8) Quando Co e´ um c´ırculo z − zo = roeiθ (0 ≤ θ ≤ 2pi, ro > 0) com orientac¸a˜o anti-hora´ria, mostre que∫ Co f(z)dz = iro ∫ 2pi 0 f(zo + roeiθ)eiθdθ se f e´ cont´ınua sobre Co. 9) Como casos particulares do exerc´ıcio anterior, mostre que∫ C0 dz z − z0 = 2pii, ∫ C0 dz (z − z0)n = 0 (n = 2, 3, . . .). 10) Determine o domı´nio de analiticidade da func¸a˜o f e aplique o teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que ∫ C f(z)dz = 0, onde o caminho fechado C e´ o c´ırculo |z| = 1 e quando (a) f(z) = z2 z − 3; (b) f(z) = ze −z; (c) f(z) = 1 z2 + 2z + 2 ; (d) f(z) = sech z; (e) f(z) = tan z; (f) f(z) = Log (z + 2). 11) Se B e´ a fronteira da regia˜o entre o c´ırculo |z| = 4 e o quadrado com lados sobre as retas x = ±1 e y = ±1, onde B e´ orientada de modo a deixar a regia˜o a` sua esquerda, diga porque ∫ B f(z)dz = 0 quando (a) f(z) = 1 3z2 + 1 ; (b) f(z) = z + 2 sin(z/2) ; (c) f(z) = z 1− ez . 12) Seja C1 um caminho fechado no domı´nio interior a um outro caminho fechado C2, onde C1 e C2 sa˜o ambos orientados no sentido positivo (anti-hora´rio). Se uma func¸a˜o f e´ anal´ıtica na regia˜o fechada entre C1 e C2, diga porque∫ C1 f(z)dz = ∫ C2 f(z)dz. 2 13) Usando os resultados do exerc´ıcio anterior e do exerc´ıcio 9, mostre que∫ C dz z − 2− i = 2pii, ∫ C dz (z − 2− i)n = 0 (n = 2, 3, . . .), onde C e´ a fronteira do retaˆngulo 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2, orientada no sentido positivo. 14) Avalie cada uma das seguintes integrais, ao longo de um caminho arbitra´rio ligando os limites de integrac¸a˜o: (a) ∫ i/2 i epizdz; (b) ∫ pi+2i 0 cos z 2 dz; (c) ∫ 3 1 (z − 2)3dz. 15) Sejam z0, z1 e z2 treˆs pontos distintos de um domı´nio simplesmente conexo D. Suponha que uma func¸a˜o f e sua derivada f ′ sejam ambas anal´ıticas sobre D, exceto em z0. Mostre que, para todo caminho em D que vai de z1 a z2 sem passar por z0,∫ z2 z1 f ′(z)dz = f(z2)− f(z1); e, portanto, ∫ C f ′(z)dz = 0 quando o caminho fechado C em D na˜o passa por z0. Deˆ exemplos de tais func¸o˜es e domı´nios. 16) Usando uma integral indefinida, determine o valor da integral∫ 2i −2i dz z ao longo de um caminho qualquer que vai de z = −2i a z = 2i, contido no semiplano direito. Note que o ramo principal Log z e´ uma integral indefinida de 1/z, que e´ anal´ıtico no semiplano x ≥ 0 exceto na origem. 17) Resolva o exerc´ıcio anterior para um caminho qualquer que na˜o encontre o semi-eixo x ≥ 0 do eixo real. 18) Se C e´ o c´ırculo |z| = 3 descrito no sentido positivo e se g(z0) = ∫ C 2z2 − z − 2 z − z0 dz (|z0| 6= 3), mostre que g(2) = 8pii. Qual e´ o valor de g(z0) quando |z0| > 3? 19) Seja C a fronteira do quadrado, cujos lados esta˜o sobre as retas x = ±2 e y = ±2, orientada no sentido positivo. Deˆ o valor de cada uma das seguintes integrais: (a) ∫ C e−z z − pii/2; (b) ∫ C cos z z(z2 + 8) dz; (c) ∫ C z dz 2z + 1 ; (d) ∫ C tan(z/2) (z − x0)2dz (|x0| < 2); (e) ∫ C cosh z z4 dz. 20) Deˆ o valor da integral de g(z) ao longo do caminho fechado |z − i| = 2 no sentido positivo quando (a) g(z) = 1 z2 + 4 ; (b) g(z) = 1 (z2 + 4)2 . 3 21) Sendo f anal´ıtico no interior de e sobre um caminho fechado orientado C, mostre porque∫ C f ′(z)dz z − z0 = ∫ C f(z)dz (z − z0)2 , onde z0 e´ um ponto na˜o pertencente a C. 22) Seja f uma func¸a˜o que e´ cont´ınua sobre um caminho fechado C. Mostre que a func¸a˜o g(s) = 1 2pii ∫ C f(z)dz z − s e´ anal´ıtica em todos os pontos s interiores a C e que, de fato, para cada tal s, g′(s) = 1 2pii ∫ C f(z)dz (z − s)2 . 23) Seja f anal´ıtica num domı´nio limitado D e cont´ınua no fecho D. Suponha que f(z) 6= 0 para todo z em D. Sendo N o valor mı´nimo de |f(z)| em D, considere a func¸a˜o 1/f para mostrar que |f(z)| > N para todo ponto z em D, a menos que f seja uma constante. Este e´ o teorema do mo´dulo mı´nimo. 24) Deˆ um exemplo para mostrar que |f(z)| pode assumir seu valor mı´nimo num ponto interior de um domı´nio em que f e´ anal´ıtica, se esse valor mı´nimo e´ zero. 25) Ilustre o teorema do mo´dulo ma´ximo e o exerc´ıcio 23 quando f(z) = (z + 1)2 e D e´ o interior do triaˆngulo com ve´rtices em z = 0, z = 2 e z = i, exibindo os pontos em D onde |f(z)| tem seus valores ma´ximo e mı´nimo. 26) Seja f anal´ıtica num domı´nio limitado D e cont´ınua em D, e escreva f = u+ iv. Mostre que a func¸a˜o harmoˆnica u(x, y) assume seu valor mı´nimo na fronteira de D e nunca num ponto interior, a menos que u seja constante. 27) Sejam f uma func¸a˜o inteira e u sua parte real. Mostre que a func¸a˜o harmoˆnica u(x, y) e´ necessariamente uma constante, se a mesma admite ummajorante u0, isto e´, se u(x, y) < u0 para todos os pontos no plano-xy. 4
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