Funções de uma variável complexa!

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAI´BA
CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
DISCIPLINA: Varia´veis Complexas PERI´ODO: 2014.2
PROFESSOR: Uberlandio B. Severo
3a Lista de Exerc´ıcios
1) Calcule o valor da integral
∫
C f(z)dz, onde f(z) = (z + 2)/z e C e´
(a) o semic´ırculo z = 2eiθ, onde θ varia de 0 a pi;
(b) o semic´ırculo z = 2eiθ, onde θ varia de 0 a −pi;
(c) o c´ırculo z = 2eiθ, onde θ varia de −pi a pi.
Resp. (a) −4 + 2pii (b) −4− 2pii (c) 4pii.
2) Determine o valor de
∫
C f(z)dz, onde C e´ o arco de z = −1− i a z = 1+ i da curva y = x3
e
f(z) =
{
4y quando y > 0
1 quando y < 0.
Resp. 2 + 3i
3) Se C e´ o contorno do quadrado com ve´rtices nos pontos z = 0, z = 1, z = 1 + i e z = i,
mostre que ∫
C
pi exp(piz¯)dz.
Resp. 4(epi − 1).
4) Seja C o arco do c´ırculo |z| = 2 que se situa no primeiro quadrante. Mostre que∣∣∣∣∫
C
dz
z2 + 1
∣∣∣∣ ≤ pi3 .
sem calcular o valor da integral.
5) Sendo C o contorno do triaˆngulo com ve´rtices nos pontos z = 0, z = −4 e z = 3i, mostre
que ∣∣∣∣∫
C
(ez − z¯)dz
∣∣∣∣ ≤ 60.
6) Sendo C um c´ırculo |z| = R, onde R > 1, mostre que∣∣∣∣∫
C
Log z
z2
dz
∣∣∣∣ < 2pipi + Log RR
e que, portanto, o valor da integral tende para zero quando R→∞.
7) Prove que
2
∫ β
α
z dz = β2 − α2
quando a integrac¸a˜o e´ efetuada sobre:
(a) um arco suave de Jordan;
(b) um caminho;
(c) como consequ¨eˆncia, mostre que a integral de z ao longo de qualquer caminho fechado
e´ nula.
8) Quando Co e´ um c´ırculo
z − zo = roeiθ (0 ≤ θ ≤ 2pi, ro > 0)
com orientac¸a˜o anti-hora´ria, mostre que∫
Co
f(z)dz = iro
∫ 2pi
0
f(zo + roeiθ)eiθdθ
se f e´ cont´ınua sobre Co.
9) Como casos particulares do exerc´ıcio anterior, mostre que∫
C0
dz
z − z0 = 2pii,
∫
C0
dz
(z − z0)n = 0 (n = 2, 3, . . .).
10) Determine o domı´nio de analiticidade da func¸a˜o f e aplique o teorema de Cauchy-Goursat
para mostrar que ∫
C
f(z)dz = 0,
onde o caminho fechado C e´ o c´ırculo |z| = 1 e quando
(a) f(z) =
z2
z − 3; (b) f(z) = ze
−z; (c) f(z) =
1
z2 + 2z + 2
;
(d) f(z) = sech z; (e) f(z) = tan z; (f) f(z) = Log (z + 2).
11) Se B e´ a fronteira da regia˜o entre o c´ırculo |z| = 4 e o quadrado com lados sobre as retas
x = ±1 e y = ±1, onde B e´ orientada de modo a deixar a regia˜o a` sua esquerda, diga
porque ∫
B
f(z)dz = 0
quando
(a) f(z) =
1
3z2 + 1
; (b) f(z) =
z + 2
sin(z/2)
; (c) f(z) =
z
1− ez .
12) Seja C1 um caminho fechado no domı´nio interior a um outro caminho fechado C2, onde C1
e C2 sa˜o ambos orientados no sentido positivo (anti-hora´rio). Se uma func¸a˜o f e´ anal´ıtica
na regia˜o fechada entre C1 e C2, diga porque∫
C1
f(z)dz =
∫
C2
f(z)dz.
2
13) Usando os resultados do exerc´ıcio anterior e do exerc´ıcio 9, mostre que∫
C
dz
z − 2− i = 2pii,
∫
C
dz
(z − 2− i)n = 0 (n = 2, 3, . . .),
onde C e´ a fronteira do retaˆngulo 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2, orientada no sentido positivo.
14) Avalie cada uma das seguintes integrais, ao longo de um caminho arbitra´rio ligando os
limites de integrac¸a˜o:
(a)
∫ i/2
i
epizdz; (b)
∫ pi+2i
0
cos
z
2
dz; (c)
∫ 3
1
(z − 2)3dz.
15) Sejam z0, z1 e z2 treˆs pontos distintos de um domı´nio simplesmente conexo D. Suponha
que uma func¸a˜o f e sua derivada f ′ sejam ambas anal´ıticas sobre D, exceto em z0. Mostre
que, para todo caminho em D que vai de z1 a z2 sem passar por z0,∫ z2
z1
f ′(z)dz = f(z2)− f(z1); e, portanto,
∫
C
f ′(z)dz = 0
quando o caminho fechado C em D na˜o passa por z0. Deˆ exemplos de tais func¸o˜es e
domı´nios.
16) Usando uma integral indefinida, determine o valor da integral∫ 2i
−2i
dz
z
ao longo de um caminho qualquer que vai de z = −2i a z = 2i, contido no semiplano
direito. Note que o ramo principal Log z e´ uma integral indefinida de 1/z, que e´ anal´ıtico
no semiplano x ≥ 0 exceto na origem.
17) Resolva o exerc´ıcio anterior para um caminho qualquer que na˜o encontre o semi-eixo x ≥ 0
do eixo real.
18) Se C e´ o c´ırculo |z| = 3 descrito no sentido positivo e se
g(z0) =
∫
C
2z2 − z − 2
z − z0 dz (|z0| 6= 3),
mostre que g(2) = 8pii. Qual e´ o valor de g(z0) quando |z0| > 3?
19) Seja C a fronteira do quadrado, cujos lados esta˜o sobre as retas x = ±2 e y = ±2, orientada
no sentido positivo. Deˆ o valor de cada uma das seguintes integrais:
(a)
∫
C
e−z
z − pii/2; (b)
∫
C
cos z
z(z2 + 8)
dz; (c)
∫
C
z dz
2z + 1
;
(d)
∫
C
tan(z/2)
(z − x0)2dz (|x0| < 2); (e)
∫
C
cosh z
z4
dz.
20) Deˆ o valor da integral de g(z) ao longo do caminho fechado |z − i| = 2 no sentido positivo
quando
(a) g(z) =
1
z2 + 4
; (b) g(z) =
1
(z2 + 4)2
.
3
21) Sendo f anal´ıtico no interior de e sobre um caminho fechado orientado C, mostre porque∫
C
f ′(z)dz
z − z0 =
∫
C
f(z)dz
(z − z0)2 ,
onde z0 e´ um ponto na˜o pertencente a C.
22) Seja f uma func¸a˜o que e´ cont´ınua sobre um caminho fechado C. Mostre que a func¸a˜o
g(s) =
1
2pii
∫
C
f(z)dz
z − s
e´ anal´ıtica em todos os pontos s interiores a C e que, de fato, para cada tal s,
g′(s) =
1
2pii
∫
C
f(z)dz
(z − s)2 .
23) Seja f anal´ıtica num domı´nio limitado D e cont´ınua no fecho D. Suponha que f(z) 6= 0
para todo z em D. Sendo N o valor mı´nimo de |f(z)| em D, considere a func¸a˜o 1/f para
mostrar que
|f(z)| > N para todo ponto z em D,
a menos que f seja uma constante. Este e´ o teorema do mo´dulo mı´nimo.
24) Deˆ um exemplo para mostrar que |f(z)| pode assumir seu valor mı´nimo num ponto interior
de um domı´nio em que f e´ anal´ıtica, se esse valor mı´nimo e´ zero.
25) Ilustre o teorema do mo´dulo ma´ximo e o exerc´ıcio 23 quando f(z) = (z + 1)2 e D e´ o
interior do triaˆngulo com ve´rtices em z = 0, z = 2 e z = i, exibindo os pontos em D onde
|f(z)| tem seus valores ma´ximo e mı´nimo.
26) Seja f anal´ıtica num domı´nio limitado D e cont´ınua em D, e escreva f = u+ iv. Mostre
que a func¸a˜o harmoˆnica u(x, y) assume seu valor mı´nimo na fronteira de D e nunca num
ponto interior, a menos que u seja constante.
27) Sejam f uma func¸a˜o inteira e u sua parte real. Mostre que a func¸a˜o harmoˆnica u(x, y) e´
necessariamente uma constante, se a mesma admite ummajorante u0, isto e´, se u(x, y) < u0
para todos os pontos no plano-xy.
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