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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAI´BA CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA DISCIPLINA: Func¸a˜o de uma varia´vel complexa PERIODO: 2015.1 PROFESSOR: Uberlandio Batista Severo 4a Lista de Exerc´ıcios 1) Mostre que, para todo valor finito de z, ez = e+ e ∞∑ n=1 (z − 1)n n! . 2) Mostre que (a) 1 z2 = 1 + ∞∑ n=1 (n+ 1)(z + 1)n quando |z + 1| < 1; (b) 1 z2 = 1 4 + 1 4 ∞∑ n=1 (−1)n(n+ 1) ( z − 2 2 )n quando |z − 2| < 2. 3) Desenvolva cos z em se´rie de Taylor em torno do ponto z = pi 2 . 4) Desenvolva senh z em se´rie de Taylor em torno do ponto z = pii. 5) Qual e´ o maior c´ırculo no interior do qual a se´rie de Maclaurin para a func¸a˜o tanh z converge para func¸a˜o? Escreva os primeiros termos desta se´rie. 6) Prove que, quando 0 < |z| < 4, 1 4z − z2 = ∞∑ n=0 zn−1 4n+1 . 7) Fac¸a a substituic¸a˜o z + 1 = Z no desenvolvimento em se´rie de Maclaurin 1 1 + z = ∞∑ n=0 (−1)nzn quando |z| < 1, para obter representac¸a˜o da func¸a˜o Z−1 em ponteˆncias de (Z − 1), que seja va´lida quando |Z − 1| < 1. Mostre que seu resultado esta´ de acordo com o desenvolvimento em se´rie de Taylor 1 z = ∞∑ n=0 (−1)n(z − 1)n quando |z − 1| < 1. 8) Substitua z por Z−1 no desenvolvimento 1 1 + z = ∞∑ n=0 (−1)nzn quando |z| < 1, e na sua condic¸a˜o de vali- dade para obter uma representac¸a˜o da func¸a˜o (1 + Z)−1, em poteˆncias negativas de Z que seja va´lida no exterior do c´ırculo |Z| = 1. Resp. (1 + Z)−1 = ∞∑ n=0 (−1)nZ−n−1 (|Z| > 1). 9) Prove que, quando x 6= 0, sen(x2) x4 = 1 x2 − x 2 3! + x6 5! − x 10 7! + ... . 1 10) Represente a func¸a˜o f(z) = z (z − 1)(z − 3) por meio de se´rie de poteˆncias positivas e negativas de (z−1), que convirga para f(z) quando 0 < |z−1| < 2. Resp. f(z) = −1 2(z − 1) − 3 ∞∑ n=1 (z − 1)n−1 2n+1 . 11) Derivando a se´rie de Maclaurin para (1− z)−1, obtenha as representac¸o˜es 1 (1− z)2 = ∞∑ n=1 nzn−1 , 2 (1− z)3 = ∞∑ n=2 n(n− 1)zn−2 (|z| < 1). 12) Desenvolva a func¸a˜o z−1 em poteˆncias de (z− 1) ; a seguir, obtenha, por derivac¸a˜o, o desenvolvimento de z−2 em poteˆncias de (z − 1). Deˆ a regia˜o de validade. 13) Integre a se´rie de Maclaurin para (1 + z′)−1 ao longo de um caminho, interior ao c´ırculo de convergeˆncia, que vai de z′ = 0 a z′ = z para obter a representac¸a˜o Log (z + 1) = ∞∑ n=1 (−1)n+1 z n n (|z| < 1). 14) Sendo f(z) = ecz − 1 z quando z 6= 0 e f(0) = c, prove que f e´ inteira. 15) Desenvolva senh z em poteˆncias de (z − pii) para mostrar que lim z→pii senh z z − pii = −1. 16) Sendo f(z) = z−1Log(z + 1) quando z 6= 0 e f(0) = 1, prove que f e´ anal´ıtica no domı´nio |z| < 1. 17) Sendo f(z) = ( z2 − pi 2 4 )−1 cos z quando z2 6= pi 2 4 e f ( ±pi 2 ) = − 1 pi , prove que f e´ inteira. 18) Seja f uma func¸a˜o anal´ıtica em z0 tal que f(z0) = 0. Por meio de se´ries mostre que lim z→z0 f(z) z − z0 = f ′(z0). Note tambe´m que o resultado decorre diretamente da definic¸a˜o de f ′(z0). 19) Sejam f e g func¸o˜es anal´ıticas em z0 tais que f(z0) = g(z0) = 0 e g′(z0) 6= 0. Prove que lim z→z0 f(z) g(z) = f ′(z0) g′(z0) . 20) Seja f anal´ıtica em z0 tal que f(z0) = f ′(z0) = ... = f (m)(z0) = 0 e seja g a func¸a˜o definida por g(z) = f(z) (z − z0)m+1 quando z 6= z0, e g(z0) = f (m+1)(z0) (m+ 1)! . Mostre que g e´ anal´ıtica em z0. 21) Seja g a func¸a˜o sen(z2). Usando a se´rie de Maclaurin sen(z2) = ∞∑ n=1 (−1)n−1 z 4n−2 (2n− 1)! com (|z| <∞), para g(z), mostre que g(2n−1)(0) = 0 e g4n(0) = 0, onde n = 1, 2, .......... 2 22) Use o desenvolvimento 1 z2senh z = 1 z3 − 1 6 1 z + 7 360 z + ... com (0 < |z| < pi), para mostrar que, se C e´ o c´ırculo |z| = 1, ∫ C dz z2senh z = −1 3 pii. 23) Obtenha a representac¸a˜o em se´rie de Maclaurin z cosh(z2) = z + ∞∑ n=1 1 (2n)! z4n+1 (|z| <∞). 24) Represente a func¸a˜o z + 1 z − 1 por (a) Se´rie de Maclaurin, e deˆ a regia˜o de validade para a representac¸a˜o; (b) Se´rie de Laurent no domı´nio |z| < 1. Resp. (a)− 1− 2 ∞∑ n=1 zn; (b)1 + 2 ∞∑ n=1 z−n (|Z| > 1). 25) Obtenha o desenvolvimento da func¸a˜o z − 1 z2 em (a) Se´rie de Taylor em poteˆncias de (z − 1) e deˆ a regia˜o de validade; (b) Obtenha a se´rie de Laurent no domı´nio |z − 1| > 1. Resp. (a) ∞∑ n=1 (−1)n+1n(z − 1)n (|z − 1| < 1); (b) ∞∑ n=1 (−1)n+1n(z − 1)−n (|z − 1| > 1). 26) Obtenha o desenvolvimento em se´rie de Laurent senh z z2 = 1 z + ∞∑ n=1 1 (2n+ 1)! z2n−1 (|z| > 0). 27) Deˆ dois desenvolvimentos em se´rie de Laurent, em poteˆncias de z, para a func¸a˜o f(z) = 1 z2(1− z) e es- pecifique as regio˜es onde esses desenvolvimentos sa˜o va´lidos. Resp. ∞∑ n=0 zn−2 (0 < |z| < 1) ; − ∞∑ n=0 z−n−3 (|z| > 1). 28) Escreva duas se´ries de Laurent em poteˆncias de z que representem a func¸a˜o z−1(1 + z2)−1 em alguns domı´nios, e especifique esses domı´nios. 29) Obtenha os quatros primeiros termos do desenvolvimento em se´rie de Laurent ez z(z2 + 1) = 1 z + 1− 1 2 z − 5 6 z2 + ... (0 < |z| < 1). 30) Obtenha alguns dos primeiros termos dos desenvolvimentos em se´rie de Laurent (a) cossec z = 1 z + 1 3! z − [ 1 5! − 1 (3!)2 ] z3 + ... (0 < |z| < pi); (b) 1 ez − 1 = 1 z − 1 2 + 1 12 z − 1 720 z3 + ... (0 < |z| < 2pi). 31) Se uma func¸a˜o h e´ anal´ıtica em um ponto z0 e h(z0) 6= 0, mostre que z0 e´ um polo simples da func¸a˜o f(z) = h(z) z − z0 e que h(z0) e´ o res´ıduo de f nesse polo. Deˆ exemplos. 32) Se h(z0) = 0 no exerc´ıcio 31, mostre que z0 e´ um ponto singular remov´ıvel de f . 3 33) Mostre que todos os pontos singulares de cada uma das seguinte func¸o˜es sa˜o polos. Determine a ordem m de cada polo e o res´ıduo K da func¸a˜o no polo. (a) z + 1 z2 − 2z ; (b) tanh z ; (c) 1− exp(2z) z4 ; (d) exp(2z) (z − 1)2 ; (e) z cos z ; (f) exp z z2 + pi2 . Resp. (a) m = 1, K = −1 2 , 3 2 ; (b) m = 1, K = 1 ; (c) m = 3, K = −4 3 . 34) Determine o res´ıduo em z = 0 da func¸a˜o (a)cossec2 z ; (b) z−3cossec(z2) ; (c) z cos 1 z . Resp. (a) 0 ; (b) 1 6 ; (c) − 1 2 . 35) Calcule a integral ∫ C 3z3 + 2 (z − 1)(z2 + 9)dz ao longo do c´ırculo (a) |z − 2| = 2 ; (b) |z| = 4 , percorrido no sentido anti-hora´rio. Resp. (a) pii ; (b) 6pii . 36) Idem para a integral ∫ C dz z3(z + 4) e o c´ırculo (a) |z| = 2 ; (b) |z + 2| = 3 . Resp. (a) pii 32 ; (b) 0 . 37) Sendo C o c´ırculo |z| = 2 percorrido no sentido positivo, calculo a integral (a) ∫ C tan z dz ; (b) ∫ C dz senh 2z ; (c) ∫ C coshpiz dz z(z2 + 1) . Resp. (a)− 4pii ; (b)− pii . 38) Calcule a integral de f no sentido positivo ao longo do c´ırculo unita´rio com centro na origem, quando f(z) e´ (a) z−2e−z ; (b) z−1cossec z ; (c) z−2cossec z ; (d) z exp 1 z . Resp. (a)− 2pii ; (b) 0 ; (d) pii . 39) Se uma func¸a˜o f e´ anal´ıtica em z0 e se z0 e´ um zero de ordem m de f , prove que a func¸a˜o 1 f tem um polo de ordem m em z0. 4 40) Seja f uma func¸a˜o anal´ıtica num domı´nio D e z0 o u´nico zero de f em D . Se C e´ um caminho fechado em D que envolve z0, e C percorrido no sentido positivo, mostre que 1 2pii ∫ C f ′(z) f(z) dz = m, onde o inteiro positivo m e´ a ordem do zero em questa˜o. O quociente f ′ f e´ conhecida como derivada logar´ıtmica de f ; ele e´ a derivada de logf . 41) Estabelec¸a as seguintes fo´rmulas de integrac¸a˜o com o aux´ılio de res´ıduos: (i) ∫ ∞ 0 x2 dx (x2 + 1)(x2 + 4) = pi 6 ; (ii) ∫ ∞ 0 dx x4 + 1 = pi √ 2 4 ; (iii) ∫ ∞ 0 x2 dx x6 + 1 = pi 6; (iv) ∫ ∞ 0 dx (x2 + 1)2 = pi 4 ; (v) ∫ ∞ 0 cos ax x2 + 1 dx = pi 2 e−a (a ≥ 0) ; (vi) ∫ ∞ 0 cosx dx (x2 + 1)2 = pi 2e ; (vii) ∫ ∞ −∞ cosx dx (x2 + a2)(x2 + b2) = pi a2 − b2 ( e−b b − e −a a ) (a > b > 0) ; (viii) ∫ ∞ 0 cos ax (x2 + b2)2 dx = pi 4b3 (1 + ab)e−ab (a > 0, b > 0) ; (ix) ∫ ∞ −∞ x sen ax x4 + 4 dx = pi 2 e−asen a (a > 0) . 42) Use res´ıduos para determinar os valores das seguintes integrais: (i) ∫ ∞ −∞ dx x2 + 2x+ 2 ; (ii) ∫ ∞ −∞ x dx x2 + 2x+ 2 ; (iii) ∫ ∞ 0 x2 dx (x2 + 1)2 ; (iv) ∫ ∞ 0 x sen x dx (x2 + 1)(x2 + 4) ; (v) ∫ ∞ −∞ sen x dx x2 + 4x+ 5 ; (vi) ∫ ∞ −∞ cosx dx (x+ a) + b2 . Resp. (ii)− pi 5 ; (v)− pi e sen 2 . 5
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