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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAI´BA
CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
DISCIPLINA: Func¸a˜o de uma varia´vel complexa PERIODO: 2015.1
PROFESSOR: Uberlandio Batista Severo
4a Lista de Exerc´ıcios
1) Mostre que, para todo valor finito de z,
ez = e+ e
∞∑
n=1
(z − 1)n
n!
.
2) Mostre que
(a)
1
z2
= 1 +
∞∑
n=1
(n+ 1)(z + 1)n quando |z + 1| < 1;
(b)
1
z2
=
1
4
+
1
4
∞∑
n=1
(−1)n(n+ 1)
(
z − 2
2
)n
quando |z − 2| < 2.
3) Desenvolva cos z em se´rie de Taylor em torno do ponto z =
pi
2
.
4) Desenvolva senh z em se´rie de Taylor em torno do ponto z = pii.
5) Qual e´ o maior c´ırculo no interior do qual a se´rie de Maclaurin para a func¸a˜o tanh z converge para func¸a˜o?
Escreva os primeiros termos desta se´rie.
6) Prove que, quando 0 < |z| < 4,
1
4z − z2 =
∞∑
n=0
zn−1
4n+1
.
7) Fac¸a a substituic¸a˜o z + 1 = Z no desenvolvimento em se´rie de Maclaurin
1
1 + z
=
∞∑
n=0
(−1)nzn quando
|z| < 1, para obter representac¸a˜o da func¸a˜o Z−1 em ponteˆncias de (Z − 1), que seja va´lida quando
|Z − 1| < 1. Mostre que seu resultado esta´ de acordo com o desenvolvimento em se´rie de Taylor
1
z
=
∞∑
n=0
(−1)n(z − 1)n quando |z − 1| < 1.
8) Substitua z por Z−1 no desenvolvimento
1
1 + z
=
∞∑
n=0
(−1)nzn quando |z| < 1, e na sua condic¸a˜o de vali-
dade para obter uma representac¸a˜o da func¸a˜o (1 + Z)−1, em poteˆncias negativas de Z que seja va´lida no
exterior do c´ırculo |Z| = 1.
Resp. (1 + Z)−1 =
∞∑
n=0
(−1)nZ−n−1 (|Z| > 1).
9) Prove que, quando x 6= 0,
sen(x2)
x4
=
1
x2
− x
2
3!
+
x6
5!
− x
10
7!
+ ... .
1
10) Represente a func¸a˜o
f(z) =
z
(z − 1)(z − 3)
por meio de se´rie de poteˆncias positivas e negativas de (z−1), que convirga para f(z) quando 0 < |z−1| < 2.
Resp. f(z) =
−1
2(z − 1) − 3
∞∑
n=1
(z − 1)n−1
2n+1
.
11) Derivando a se´rie de Maclaurin para (1− z)−1, obtenha as representac¸o˜es
1
(1− z)2 =
∞∑
n=1
nzn−1 ,
2
(1− z)3 =
∞∑
n=2
n(n− 1)zn−2 (|z| < 1).
12) Desenvolva a func¸a˜o z−1 em poteˆncias de (z− 1) ; a seguir, obtenha, por derivac¸a˜o, o desenvolvimento de
z−2 em poteˆncias de (z − 1). Deˆ a regia˜o de validade.
13) Integre a se´rie de Maclaurin para (1 + z′)−1 ao longo de um caminho, interior ao c´ırculo de convergeˆncia,
que vai de z′ = 0 a z′ = z para obter a representac¸a˜o
Log (z + 1) =
∞∑
n=1
(−1)n+1 z
n
n
(|z| < 1).
14) Sendo f(z) =
ecz − 1
z
quando z 6= 0 e f(0) = c, prove que f e´ inteira.
15) Desenvolva senh z em poteˆncias de (z − pii) para mostrar que
lim
z→pii
senh z
z − pii = −1.
16) Sendo f(z) = z−1Log(z + 1) quando z 6= 0 e f(0) = 1, prove que f e´ anal´ıtica no domı´nio |z| < 1.
17) Sendo f(z) =
(
z2 − pi
2
4
)−1
cos z quando z2 6= pi
2
4
e f
(
±pi
2
)
= − 1
pi
, prove que f e´ inteira.
18) Seja f uma func¸a˜o anal´ıtica em z0 tal que f(z0) = 0. Por meio de se´ries mostre que
lim
z→z0
f(z)
z − z0 = f
′(z0).
Note tambe´m que o resultado decorre diretamente da definic¸a˜o de f ′(z0).
19) Sejam f e g func¸o˜es anal´ıticas em z0 tais que f(z0) = g(z0) = 0 e g′(z0) 6= 0. Prove que
lim
z→z0
f(z)
g(z)
=
f ′(z0)
g′(z0)
.
20) Seja f anal´ıtica em z0 tal que f(z0) = f ′(z0) = ... = f (m)(z0) = 0 e seja g a func¸a˜o definida por
g(z) =
f(z)
(z − z0)m+1 quando z 6= z0, e g(z0) =
f (m+1)(z0)
(m+ 1)!
.
Mostre que g e´ anal´ıtica em z0.
21) Seja g a func¸a˜o sen(z2). Usando a se´rie de Maclaurin sen(z2) =
∞∑
n=1
(−1)n−1 z
4n−2
(2n− 1)! com (|z| <∞), para
g(z), mostre que g(2n−1)(0) = 0 e g4n(0) = 0, onde n = 1, 2, ..........
2
22) Use o desenvolvimento
1
z2senh z
=
1
z3
− 1
6
1
z
+
7
360
z + ... com (0 < |z| < pi), para mostrar que, se C e´ o
c´ırculo |z| = 1, ∫
C
dz
z2senh z
= −1
3
pii.
23) Obtenha a representac¸a˜o em se´rie de Maclaurin
z cosh(z2) = z +
∞∑
n=1
1
(2n)!
z4n+1 (|z| <∞).
24) Represente a func¸a˜o
z + 1
z − 1 por
(a) Se´rie de Maclaurin, e deˆ a regia˜o de validade para a representac¸a˜o;
(b) Se´rie de Laurent no domı´nio |z| < 1.
Resp. (a)− 1− 2
∞∑
n=1
zn; (b)1 + 2
∞∑
n=1
z−n (|Z| > 1).
25) Obtenha o desenvolvimento da func¸a˜o
z − 1
z2
em
(a) Se´rie de Taylor em poteˆncias de (z − 1) e deˆ a regia˜o de validade;
(b) Obtenha a se´rie de Laurent no domı´nio |z − 1| > 1.
Resp. (a)
∞∑
n=1
(−1)n+1n(z − 1)n (|z − 1| < 1); (b)
∞∑
n=1
(−1)n+1n(z − 1)−n (|z − 1| > 1).
26) Obtenha o desenvolvimento em se´rie de Laurent
senh z
z2
=
1
z
+
∞∑
n=1
1
(2n+ 1)!
z2n−1 (|z| > 0).
27) Deˆ dois desenvolvimentos em se´rie de Laurent, em poteˆncias de z, para a func¸a˜o f(z) =
1
z2(1− z) e es-
pecifique as regio˜es onde esses desenvolvimentos sa˜o va´lidos.
Resp.
∞∑
n=0
zn−2 (0 < |z| < 1) ; −
∞∑
n=0
z−n−3 (|z| > 1).
28) Escreva duas se´ries de Laurent em poteˆncias de z que representem a func¸a˜o z−1(1 + z2)−1 em alguns
domı´nios, e especifique esses domı´nios.
29) Obtenha os quatros primeiros termos do desenvolvimento em se´rie de Laurent
ez
z(z2 + 1)
=
1
z
+ 1− 1
2
z − 5
6
z2 + ... (0 < |z| < 1).
30) Obtenha alguns dos primeiros termos dos desenvolvimentos em se´rie de Laurent
(a) cossec z =
1
z
+
1
3!
z −
[
1
5!
− 1
(3!)2
]
z3 + ... (0 < |z| < pi);
(b)
1
ez − 1 =
1
z
− 1
2
+
1
12
z − 1
720
z3 + ... (0 < |z| < 2pi).
31) Se uma func¸a˜o h e´ anal´ıtica em um ponto z0 e h(z0) 6= 0, mostre que z0 e´ um polo simples da func¸a˜o
f(z) =
h(z)
z − z0 e que h(z0) e´ o res´ıduo de f nesse polo. Deˆ exemplos.
32) Se h(z0) = 0 no exerc´ıcio 31, mostre que z0 e´ um ponto singular remov´ıvel de f .
3
33) Mostre que todos os pontos singulares de cada uma das seguinte func¸o˜es sa˜o polos. Determine a ordem
m de cada polo e o res´ıduo K da func¸a˜o no polo.
(a)
z + 1
z2 − 2z ; (b) tanh z ; (c)
1− exp(2z)
z4
;
(d)
exp(2z)
(z − 1)2 ; (e)
z
cos z
; (f)
exp z
z2 + pi2
.
Resp. (a) m = 1, K = −1
2
,
3
2
; (b) m = 1, K = 1 ; (c) m = 3, K = −4
3
.
34) Determine o res´ıduo em z = 0 da func¸a˜o
(a)cossec2 z ; (b) z−3cossec(z2) ; (c) z cos
1
z
.
Resp. (a) 0 ; (b)
1
6
; (c) − 1
2
.
35) Calcule a integral ∫
C
3z3 + 2
(z − 1)(z2 + 9)dz
ao longo do c´ırculo
(a) |z − 2| = 2 ; (b) |z| = 4 ,
percorrido no sentido anti-hora´rio.
Resp. (a) pii ; (b) 6pii .
36) Idem para a integral ∫
C
dz
z3(z + 4)
e o c´ırculo
(a) |z| = 2 ; (b) |z + 2| = 3 .
Resp. (a)
pii
32
; (b) 0 .
37) Sendo C o c´ırculo |z| = 2 percorrido no sentido positivo, calculo a integral
(a)
∫
C
tan z dz ; (b)
∫
C
dz
senh 2z
; (c)
∫
C
coshpiz dz
z(z2 + 1)
.
Resp. (a)− 4pii ; (b)− pii .
38) Calcule a integral de f no sentido positivo ao longo do c´ırculo unita´rio com centro na origem, quando f(z)
e´
(a) z−2e−z ; (b) z−1cossec z ; (c) z−2cossec z ; (d) z exp
1
z
.
Resp. (a)− 2pii ; (b) 0 ; (d) pii .
39) Se uma func¸a˜o f e´ anal´ıtica em z0 e se z0 e´ um zero de ordem m de f , prove que a func¸a˜o
1
f
tem um polo
de ordem m em z0.
4
40) Seja f uma func¸a˜o anal´ıtica num domı´nio D e z0 o u´nico zero de f em D . Se C e´ um caminho fechado
em D que envolve z0, e C percorrido no sentido positivo, mostre que
1
2pii
∫
C
f ′(z)
f(z)
dz = m,
onde o inteiro positivo m e´ a ordem do zero em questa˜o. O quociente
f ′
f
e´ conhecida como derivada
logar´ıtmica de f ; ele e´ a derivada de logf .
41) Estabelec¸a as seguintes fo´rmulas de integrac¸a˜o com o aux´ılio de res´ıduos:
(i)
∫ ∞
0
x2 dx
(x2 + 1)(x2 + 4)
=
pi
6
; (ii)
∫ ∞
0
dx
x4 + 1
=
pi
√
2
4
; (iii)
∫ ∞
0
x2 dx
x6 + 1
=
pi
6;
(iv)
∫ ∞
0
dx
(x2 + 1)2
=
pi
4
; (v)
∫ ∞
0
cos ax
x2 + 1
dx =
pi
2
e−a (a ≥ 0) ; (vi)
∫ ∞
0
cosx dx
(x2 + 1)2
=
pi
2e
;
(vii)
∫ ∞
−∞
cosx dx
(x2 + a2)(x2 + b2)
=
pi
a2 − b2
(
e−b
b
− e
−a
a
)
(a > b > 0) ;
(viii)
∫ ∞
0
cos ax
(x2 + b2)2
dx =
pi
4b3
(1 + ab)e−ab (a > 0, b > 0) ;
(ix)
∫ ∞
−∞
x sen ax
x4 + 4
dx =
pi
2
e−asen a (a > 0) .
42) Use res´ıduos para determinar os valores das seguintes integrais:
(i)
∫ ∞
−∞
dx
x2 + 2x+ 2
; (ii)
∫ ∞
−∞
x dx
x2 + 2x+ 2
; (iii)
∫ ∞
0
x2 dx
(x2 + 1)2
;
(iv)
∫ ∞
0
x sen x dx
(x2 + 1)(x2 + 4)
; (v)
∫ ∞
−∞
sen x dx
x2 + 4x+ 5
; (vi)
∫ ∞
−∞
cosx dx
(x+ a) + b2
.
Resp. (ii)− pi
5
; (v)− pi
e
sen 2 .
5