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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHA˜O DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA E INFORMA´TICA Exercc´ıcio Equac¸o˜es Diferenciais 1. De um ponto situado a 120m do solo joga-se uma pedra de massa 0, 5Kg para o alto com uma velocidade inicial de 8m/s. Desprezando- se a resisteˆncia do ar quaisquer outras forc¸as que porventura atuem sobre a pedra, a´ excec¸a˜o da gravidade 10m/s2, calcular o tempo, a velocidade e o espac¸o percorrido pela pedra ate´ tocar o solo. 2. Uma bola de golfe de massa 0.5Kg recebe uma tacada que lhe imprime uma velocidade de 72km/h. Supondo-se que a bola permanece em contato permanente com o cha˜o e sabendo-se que a forc¸a de atrito que atua sobre ela e´ de −5N , qual a dista˜ncia percorrida pela bola ate´ parar. 3. Qual o valor de um investimento de R$1000, 00 em determinado tit- ulo de mercado financeiro, ao final de 5 anos, a juros de 12% ao ano computados continuamente? 4. Um investigador aplica na bolsa de valores determinada quantia que triplica em 30 meses. Em quanto tempo essa quantia estara´ quadrupli- cada, supondo-se que o aumento e´ proporcional ao investimento feito? 5. Um ator de cinema que pesa 120Kg precisa fazer um severo regime para emagrecer, em virtude do seu papel em um novo filme rodado. O diretor exige que ele perca a terc¸a parte do seu peso no ma´ximo em treˆs meses, seguindo uma dieta racional que o emagrec¸a proporcionalmente ao peso de cada dia. Nestas condic¸o˜es, sabendo-se que, iniciada a dieta, o artista emagrecera´ 20Kg em 40dias, quanto tempo sera´ necessa´rio para que ele comece a atuar no filme? 6. Uma lancha se desloca numa lagoa com velocidade de 10m/s. Em que dado instante seu motor e´ desligado; a lancha sofre com isso uma reduc¸a˜o de velocidade proporcional a´ resisteˆncia da a´gua. Sabendo-se que ao cabo de 5s sua velocidade e´ 8m/s, qual sera´ o tempo necessa´rio para que a lancha adquira velocidade de 1m/s? 7. Uma cera cidade tem crescimento populacional a uma taxa propor- cional ao nu´mero de habitantes existentes. Apo´s 20 anos sua populac¸a˜o triplica e apo´s 6 anos e´ de 80.000 habitantes. Determine: a) A populac¸a˜o inicial. b) A populac¸a˜o apo´s 50 anos. 8. Um corpo de 64N de peso cai de uma altura de 400 metros com veloci- dade inicial de 5m/s. Supondo que a resisteˆncia do ar proporcional a´ velocidade do corpo e sabendo-se que a velocidade limite e´ de 140m/s, determine: a) Uma expressa˜o para a velocidade do corpo no instante t. b) Uma expressa˜o para a posic¸a˜o do corpo no instante t. c) A posic¸a˜o do corpo apo´s 3 segundos. 9. Uma certa substaˆncia radioativa diminui a uma taxa proporcional a´ quantidade presente. Inicialmente, a quantidade de material e´ de 80 miligramas e apo´s duas horas perde-se 9% da massa original. Deter- mine: a) A massa restante apo´s 12 horas. b) O tempo necessa´rio para que a massa inicial fique reduzida a´ metade 2
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