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APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHA˜O
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA E INFORMA´TICA
Exercc´ıcio
Equac¸o˜es Diferenciais
1. De um ponto situado a 120m do solo joga-se uma pedra de massa
0, 5Kg para o alto com uma velocidade inicial de 8m/s. Desprezando-
se a resisteˆncia do ar quaisquer outras forc¸as que porventura atuem
sobre a pedra, a´ excec¸a˜o da gravidade 10m/s2, calcular o tempo, a
velocidade e o espac¸o percorrido pela pedra ate´ tocar o solo.
2. Uma bola de golfe de massa 0.5Kg recebe uma tacada que lhe imprime
uma velocidade de 72km/h. Supondo-se que a bola permanece em
contato permanente com o cha˜o e sabendo-se que a forc¸a de atrito que
atua sobre ela e´ de −5N , qual a dista˜ncia percorrida pela bola ate´
parar.
3. Qual o valor de um investimento de R$1000, 00 em determinado tit-
ulo de mercado financeiro, ao final de 5 anos, a juros de 12% ao ano
computados continuamente?
4. Um investigador aplica na bolsa de valores determinada quantia que
triplica em 30 meses. Em quanto tempo essa quantia estara´ quadrupli-
cada, supondo-se que o aumento e´ proporcional ao investimento feito?
5. Um ator de cinema que pesa 120Kg precisa fazer um severo regime
para emagrecer, em virtude do seu papel em um novo filme rodado. O
diretor exige que ele perca a terc¸a parte do seu peso no ma´ximo em treˆs
meses, seguindo uma dieta racional que o emagrec¸a proporcionalmente
ao peso de cada dia. Nestas condic¸o˜es, sabendo-se que, iniciada a dieta,
o artista emagrecera´ 20Kg em 40dias, quanto tempo sera´ necessa´rio
para que ele comece a atuar no filme?
6. Uma lancha se desloca numa lagoa com velocidade de 10m/s. Em
que dado instante seu motor e´ desligado; a lancha sofre com isso uma
reduc¸a˜o de velocidade proporcional a´ resisteˆncia da a´gua. Sabendo-se
que ao cabo de 5s sua velocidade e´ 8m/s, qual sera´ o tempo necessa´rio
para que a lancha adquira velocidade de 1m/s?
7. Uma cera cidade tem crescimento populacional a uma taxa propor-
cional ao nu´mero de habitantes existentes. Apo´s 20 anos sua populac¸a˜o
triplica e apo´s 6 anos e´ de 80.000 habitantes. Determine:
a) A populac¸a˜o inicial.
b) A populac¸a˜o apo´s 50 anos.
8. Um corpo de 64N de peso cai de uma altura de 400 metros com veloci-
dade inicial de 5m/s. Supondo que a resisteˆncia do ar proporcional a´
velocidade do corpo e sabendo-se que a velocidade limite e´ de 140m/s,
determine:
a) Uma expressa˜o para a velocidade do corpo no instante t.
b) Uma expressa˜o para a posic¸a˜o do corpo no instante t.
c) A posic¸a˜o do corpo apo´s 3 segundos.
9. Uma certa substaˆncia radioativa diminui a uma taxa proporcional a´
quantidade presente. Inicialmente, a quantidade de material e´ de 80
miligramas e apo´s duas horas perde-se 9% da massa original. Deter-
mine:
a) A massa restante apo´s 12 horas.
b) O tempo necessa´rio para que a massa inicial fique reduzida a´ metade
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