apol de Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis

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Nota: 100
Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
	Data de início:
	08/10/2018 14:33
	Prazo máximo entrega:
	- 
	Data de entrega:
	02/11/2018 14:05
Questão 1/5 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considere a região R delimitada pela reta y=x+2 e pela parábola y=x2, conforme a figura abaixo:
O valor da área de R é
Referência: Livro-Base, p. 54-59.
Nota: 20.0
	
	A
	52u.a.
	
	B
	132u.a.
	
	C
	29u.a.
	
	D
	92u.a.
Você acertou!
A área da região R pode ser obtida a partir da integral dupla: ∬R1dA. 
Inicialmente, observamos que R={(x,y)∈R2; −1≤x≤2 e x2≤y≤x+2}. Assim,
A=∫2−1∫x+2x21dydx=∫2−1(x+2−x2)dx=[x22+2x−x33]2−1=(2+4−83)−(12−2+13)=92u.a.
	
	E
	72u.a.
Questão 2/5 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considere a área A da região do primeiro quadrante limitada pela parábola y=x2, pelo eixo y e pela reta y=4. É correto afirmar que
Referência: Livro-Base, p. 54-59.
Nota: 20.0
	
	A
	A=∫40∫√y0dxdy=163u.a.
Você acertou!
Um esboço desta região é apresentado abaixo:
Note que esta região pode ser descrita como R={(x,y)∈R2; 0≤y≤4 e 0≤x≤√y}. Assim, 
A=∫40∫√y0dxdy=∫40(∫√y0dx)dy=∫40√ydy=[23√y3]|40=163u.a.
	
	B
	A=∫40∫√y0dydx=165u.a.
	
	C
	A=∫40∫√y0dxdy=165u.a.
	
	D
	A=∫40∫√y0dydx=65u.a.
	
	E
	A=∫40∫√y0dxdy=67u.a.
Questão 3/5 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Dada a função f(x,y)=√x2+y2, o gradiente de f no ponto P=(1,1) é
Referência: Livro-Base, p. 86.
Nota: 20.0
	
	A
	∇f(1,1)=2√2ˆi+2√2ˆj.
	
	B
	∇f(1,1)=2√2ˆi−2√2ˆj.
	
	C
	∇f(1,1)=√22ˆi+√22ˆj.
Você acertou!
O gradiente de f(x,y) é definido por ∇f(x,y)=∂f∂x(x,y)ˆi+∂f∂y(x,y)ˆj. Notamos que ∂f∂x(x,y)=2x2√x2+y2=x√x2+y2 e ∂f∂y(x,y)=2y2√x2+y2=y√x2+y2. Com isso, ∂f∂x(1,1)=1√2=√22 e ∂f∂y(1,1)=1√2=√22. Portanto,
∇f(1,1)=√22ˆi+√22ˆj.
	
	D
	∇f(1,1)=√2ˆi−√2ˆj.
	
	E
	∇f(1,1)=√23ˆi−√23ˆj.
Questão 4/5 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Considere a função f(x)=x3/2. O arco do gráfico desta função no intervalo [0,1] é apresentado na figura abaixo:
O comprimento deste arco vale
Referência: Livro-Base, p. 21-24.
Nota: 20.0
	
	A
	L=227(10√10−1)u.c.
	
	B
	L=227(10√10)u.c.
	
	C
	L=227(13√13−1)u.c.
	
	D
	L=127(10√10−1)u.c.
	
	E
	L=127(13√13−8)u.c.
Você acertou!
A fórmula que fornece o comprimento de arco é L=∫ba√1+[f′(x)]2dx. Assim,
L=∫10√1+(3√x2)2dx=∫10√1+9x4dx=12∫10√4+9xdx=127[13√13−8]u.c.
Questão 5/5 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Dada a função vetorial →F(x,y,z)=2x2yˆi+2yzˆj+4xyz2ˆz, o divergente de →F é
Referência: Livro-Base, p. 155-156.
Nota: 20.0
	
	A
	∇⋅→F(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz.
	
	B
	∇⋅→F(x,y,z)=8xy+2z+4xyz.
	
	C
	∇⋅→F(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz.
	
	D
	∇⋅→F(x,y,z)=4xy+2z+8xyz.
Você acertou!
Observamos que ∇⋅→F(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z), onde F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2. Logo,
∇⋅→F(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz.
	
	E
	∇⋅→F(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz.