Medidas de Posição e Dispersão em Estatística

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ESTATÍSTICA I
Professora
Kelly Alonso
Medidas de Posição e Dispersão
Email: kellyalonso@uol.com.br
2
Através da distribuição de frequência podemos 
observar a distribuição dos valores em diferentes formas. 
Dessa forma, podemos localizar também a concentração 
dos valores. Existem diferentes elementos estatísticos para 
observar as tendências características dos valores. E as 
medidas mais conhecidas são:
- medidas de posição;
- medidas de variabilidade ou dispersão;
- medidas de assimetria;
- medidas de curtose.
*Vamos concentrar nossos estudos nas duas primeiras.
Medidas de Posição
3
As medidas de posição mais importantes são as 
Medidas de Tendência Central. Essas medidas são 
assim denominadas por indicarem um ponto em torno 
do qual se concentram os dados. Este ponto tende a 
ser o centro da distribuição dos dados. Entre as 
medidas de tendência central, as principais são:
- a média aritmética;
- a mediana;
- a moda.
Medidas de Posição
Medidas de Posição – Média Aritmética
A média aritmética é a soma de todos os valores 
observados da variável dividida pelo número total de 
observações. Sob uma visão geométrica a média de uma 
distribuição é o centro de gravidade, representa o ponto de 
equilíbrio de um conjunto de dados. É a medida de tendência 
central mais utilizada para representar a massa de dados.
Seja (x1, ..., xn) um conjunto de dados. A média é dada por:
, onde n é o tamanho da amostra.
, onde N é o tamanho da população.
Dados não-agrupados:
Medidas de Posição – Média Aritmética
Caso os dados estejam apresentados segundo uma 
distribuição de freqüência, tem-se:
, onde n é o tamanho da amostra.
, onde N é o tamanho da população.
Dados agrupados:
Dados agrupados:
Neste caso, como as frequências são números indicadores 
da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como 
fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média 
aritmética ponderada.
Medidas de Posição – Média Aritmética
∑
∑
=
i
ii
f
fx
x
O modo mais prático de obtenção da 
média ponderada é abrir, na tabela, uma coluna 
correspondente aos produtos xifi:
Tabela
Medidas de Posição – Média Aritmética
Exemplos:
1) Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca B, durante 
uma semana foi (em litros):
12181615131410
DomSabSexQuiQuarTerSeg
Qual é a produção média da semana?
litrosX 14
7
12181615131410
=
++++++
=
Medidas de Posição – Média Aritmética
Exemplos:
Qual é a média de filhos do sexo masculino?
2) Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro 
filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo 
masculino:
Medidas de Posição – Média Aritmética
Então:
Logo:
Conclusão?
2) Consideremos a distribuição relativa a estatura de alunos de 
uma disciplina:
Medidas de Posição – Média Aritmética
Qual é a estatura média dos alunos?
11
Como, neste caso:
Temos:
,40,440.6
∑
∑∑∑ ===
i
ii
iii f
fx
xeffx
cmxx 161161
40
440.6
=⇒==
Conclusão?
11
Medidas de Posição – Mediana
A mediana de um conjunto de dados é o número central, 
quando os números estão ordenados segundo suas grandezas 
(crescente ou decrescente). Se o tamanho da amostra é impar, a 
mediana, Md, é o número central, quando o tamanho da amostra 
é par, a mediana é a média dos dois números centrais.
Exemplos:
1) Encontre a mediana dos dados abaixo:
4, 13, 11, 2, 21, 15, 6, 16, 9
Em ordem: 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 16, 21
Md = 11 
Medidas de Posição – Mediana
2) Encontre a mediana dos dados abaixo:
2, 18, 7, 12, 6, 10, 21, 13
Em ordem: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21
Md =
2
1210+
Md = 11 
Medidas de Posição – Mediana
Se os dados se agrupam em uma distribuição 
de frequência, o cálculo da mediana se processa de 
modo muito semelhante àquele dos dados não-
agrupados, implicando, porém, a determinação prévia 
das frequências acumuladas. 
Para o caso de uma distribuição, a ordem, a partir 
de qualquer um dos extremos, é dada por:
2
∑ if
Sem intervalos de classe: identificar a frequência acumulada 
imediatamente superior à metade da soma das frequências. A 
mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal 
frequência acumulada. 
Medidas de Posição – Mediana
Exemplo: 
8
2
fa
30
18
34
217
2
34
2
=⇒==
∑ Mdf i meninos
Com intervalos de classe: Neste caso, o problema consiste em 
determinar o ponto do intervalo em que está compreendida a mediana. 
Para tanto, temos que determinar a classe na qual se acha a mediana -
classe mediana. Tal classe será aquela correspondente à frequência 
acumulada imediatamente superior a .
2
∑ if
Medidas de Posição – Mediana
Exemplos
- é o limite inferior da classe mediana;
- é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana;
- é a frequência simples da classe mediana;
- é a amplitude do intervalo da classe mediana.
20
22
40
2
=
∑
⇒=
∑ ii ff
[ ]
cmMdMd 5,1604.
11
1320158 =⇒−+=
l* l* l* l* = 158
F(ant)= 13
h*= 4
f*= 11
20
2
=
∑ if
11
fa
4
13
24
32
37
40
OBS
Medidas de Posição – Moda
A moda (Mo) é o valor que ocorre maior número de vezes no 
conjunto de dados.
Exemplos:
1) Encontre a moda dos dados abaixo:
a) 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15 Mo = 10 
b) 3, 5, 8, 10, 12, 13 Mo = Amodal
c) 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9 Mo = 4 e 7
Bimodal 
2) Encontre a moda da distribuição abaixo:
Medidas de Posição – Moda
Mo = 3
3) Encontre a moda da distribuição abaixo:
Obs.: Com intervalo de classe
Medidas de Posição – Moda
A classe que apresenta a maior frequência é
denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que 
a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido 
entre os limites da classe modal. 
O método mais simples para o cálculo da moda consiste 
em tomar o ponto médio da classe modal. Damos a esse valor 
denominação de moda bruta.
Temos então:
Onde llll* é o limite inferior da classe modal;
L* é o limite superior da classe modal. 
2
* LlMo +=
3) Encontre a moda da distribuição abaixo:
Medidas de Posição – Moda
Temos que a classe modal é i=3, l*=158 e L*=162.
cm
Medidas de Posição 
A mediana caracteriza uma série de valores devido à sua 
posição central, mas também separa a série em dois grupos que 
apresentam o mesmo número de valores.
Assim, além das medidas de posição, há outras que, 
consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, 
mas estão ligadas à mediana relativamente à sua segunda característica. 
Essas medidas _ os quartis, os percentis e os decis _ são, juntamente 
com a mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes.
�Quartis: os valores de uma série que a dividem em 
quatro partes iguais.
- o primeiro quartil – Q1 – 25% das observações;
- o segundo quartil – Q2 - (igual à mediana);
- o terceiro quartil – Q3 – 75% das observações. 
Quando os dados são agrupados, para determinar os quartis
usamos a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na 
fórmula da mediana, por:
2
∑ if
4
∑ ifk
*
*
)(
4
*1 hf
antFf
lQ
i




−
∑
+=
, sendo k o número de ordem do quartil.
Assim temos:
*
*
)(
4
3
*3 hf
antFf
lQ
i




−
∑
+=
Medidas de Posição 
1) Encontre o primeiro e terceiro quartis da distribuição abaixo:
Exemplo
fa
Medidas de Posição 
fa
�Percentis: os noventa e nove valores que separam uma série em 
100 partes iguais.
Medidas de Posição 
Indicamos
O cálculo de um percentil segue a mesma técnica do cálculo 
da mediana, porém a fórmula passa a ser:.,...,...,,, 993221 PPPP
100
∑ ifk
K – número de ordem do percentil
Obs.: com intervalo de classe
Pk
k
100
Exemplo:
Calcule o 37o percentil para a distribuição abaixo:
P37
37
K = 37
100
[ ]
cmP
PP
7,158
65,1584
11
138,14158
37
3737
=
=⇒
−
+=
8,14
100
40.37
100
37
⇒=
∑
⇒ i
f
K = 37
37%
P10 Q1 Md Q3 P90
P37
Exercício: Observando a distribuição abaixo, calcule:
a) a média
b) a mediana
c) a moda
d) o primeiro e o terceiro quartis
e) o 23º percentil
Estaturas (cm)
150 l 158 5
158 l 166
166 l 174
174 l 182
182 l 190
12
18
27
8
70
Fonte: Marcelo Menezes Reis em http://www.inf.ufsc.br/~marcelo/INE5121.html
São utilizadas para medir a variabilidade dos dados de uma 
amostra ou população. As principais medidas são:
- a amplitude,
- a variância,
- o desvio padrão.
Medidas de Dispersão ou Variabilidade
São medidas da dispersão de um conjunto de dados em 
torno da média, ou seja, da maior ou menor variabilidade dos 
resultados obtidos.
Elas permitem identificar até que ponto os resultados se 
concentram ou não ao redor da tendência central de um conjunto de 
observações.
Medidas de Dispersão – Amplitude
É a diferença entre o maior e o menor valor observado num 
conjunto de dados, servindo para caracterizar a abrangência do estudo.
Exemplo: Calcule a média, mediana e amplitude para as amostras
abaixo:
Amostra 1: 40, 60, 70, 50, 80, 90 
Amostra 2: 67, 63, 64, 66, 40, 90 
40, 50, 60, 70, 80, 90
Média: 65
Mediana: 65
Amplitude: 90 - 40 = 50
40, 63, 64, 66, 67, 90
Média: 65
Mediana: 65
Amplitude: 90 - 40 = 50
Amostra 3: 64, 63, 60, 70, 67, 66 
60, 63, 64, 66, 67, 70
Média: 65
Mediana: 65
Amplitude: 70 - 60 = 10
Obs.: com intervalos de classe.
Medidas de Dispersão – Variância
É a soma dos quadrados dos desvios da média dividido por n-1, 
em amostras.
Sendo n, o número de elementos da amostra.
Sendo N, o número de elementos da população.
1
)(1 22
−
∑ −
=
=
n
XX
s
n
i i
N
Xni i∑ −
=
=1
2
2 )( µσ
Medidas de Dispersão – Desvio Padrão
É definido pela raiz quadrada positiva da variância
Sendo n, o número de elementos da amostra.
Sendo N, o número de elementos da população.
1
)(1 2
−
∑ −
=
=
n
XX
s
n
i i
N
Xni i∑ −
=
=1
2)( µ
σ
22





 ∑
−
∑
=
n
X
n
X
s ii
22






∑
∑
−
∑
∑
=
i
ii
i
ii
f
Xf
f
Xf
s
Com intervalo de classe
Observação:
Exemplos:
1) Calcule a variância e o desvio padrão para os dados abaixo:
8, 10, 11, 15, 16, 18
∑ =1090∑ = 78
32418
25616
22515
12111
10010
648
X
i
2X
i 22





 ∑
−
∑
=
n
X
n
X
s ii
7,3
6
78
6
1090 2
=






−=
s
s
S2 = 12,67
8, 10, 11, 15, 16, 18 n = 6 X = 13
1
)(1 2
−
∑ −
=
=
n
XX
s
n
i i
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
16
13181316131513111310138 2222222
−
−+−+−+−+−+−
=s
S2 = 15,2
S = 3,9
Exemplos:
2) Calcule a variância e o desvio padrão para os dados abaixo:
fiXi fiXi2
0
6
20
36
16
∑=78 ∑=218
0
6
40
108
64
22






∑
∑
−
∑
∑
=
i
ii
i
ii
f
Xf
f
Xf
s
2
34
78
34
218






−=s
S2 = 1,149
S = 1,07
Xi
Exemplos:
3) Calcule a variância e o desvio padrão para os dados abaixo:
S2 = 31
S = 5,57
Observações sobre desvio padrão:
Através da sua definição e propriedades, para distribuições
normais*, isso significa que: 
a) 68,26% dos casos estão incluídos entre X-s e X+s (isto é, um desvio
padrão de cada lado da média)
b) 95,46% dos casos estão incluídos entre X-2s e X+2s (isto é, dois
desvio padrão de cada lado da média)
c) 99,73% dos casos estão incluídos entre X-3s e X+3s (isto é, três
desvio padrão de cada lado da média)
X-s X X sX-2s X 2sX-3s X 3s
Observações sobre desvio padrão:
Variável reduzida, escores reduzidos: 
A variável , que mede o desvio em relação à
s
XX
z
−
=
média, em unidades de desvio padrão, é denominada variável
reduzida e é uma quantidade abstrata (ou seja, independe das
unidades usadas).
Se os desvios em relação à média forem dados em unidades
de desvio padrão, diz-se que estão expressos em unidades
reduzidas ou escores reduzidos. Essas grandezas são muito
importantes em comparações entre distribuições.
Exemplos:
1) Um estudante recebeu grau 84 em um exame final de matemática, 
para o qual o grau médio foi 76 e o desvio padrão 10. No exame de 
geografia, para o qual o grau médio foi 82 e o desvio 16, ele recebeu o 
grau 90. em que matéria sua posição relativa foi mais elevada?
8,0
10
7684
=⇒
−
= zz
s
XX
z
−
=
Para matemática: 
Para geografia: 
Conclusões?
5,0
16
8290
=⇒
−
= zz