AULA 4 Est 1- Probabilidade total e teorema de Bayes

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ESTATÍSTICA I
Professora
Kelly Alonso
Probabilidade Total e Teorema de Bayes
Email: kellyalonso@uol.com.br
2
Exercícios de Probabilidade
1) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é
2/5; a probabilidade de que a mulher esteja viva daqui a 30 anos é
2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos,
a) ambos estejam vivos;
b) somente o homem esteja vivo;
c) somente a mulher esteja viva;
d) nenhum esteja vivo; 
e) pelo menos um esteja vivo.
H: homem vivo : homem morto
M: mulher viva : mulher morta 
H
M
1) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é
2/5; a probabilidade de que a mulher esteja viva daqui a 30 
anos é 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos:
a) ambos estejam vivos;
( )P H M∩ = ( ). ( )P H P M = 2 2 4
5 3 15
=
b) somente o homem esteja vivo;
( )P H M∩ = ( ). ( )P H P M = 2 1 2
5 3 15
=
c) somente a mulher esteja viva;
( )P H M∩ = ( ). ( )P H P M = 3 2 6
5 3 15
=
1) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é
2/5; a probabilidade de que a mulher esteja viva daqui a 30 anos
é 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos:
d) nenhum esteja vivo;
( )P H M∩ = ( ). ( )P H P M = 3 1 3
5 3 15
=
e) pelo menos um esteja vivo;
( )P H M∪ = ( ) ( ) ( )P H P M P H M+ − ∩ = 2 2 4 6 10 4 12
5 3 15 15 15
+ −
+ − = =
1 ( )P H M= − ∩ = 3 121
15 15
− =
Obs:
4 2 6 3( ) ( ) ( ) ( ) 1
15 15 15 15
P H M P H M P H M P H M∩ + ∩ + ∩ + ∩ = + + + =
2) Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2; P(B) = p; e P(A ∪ B) = 0,6. 
Calcular p considerando A e B:
a) mutuamente exclusivos;
b) independentes.
( ) 0P A B∩ =
( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = + ( ) ( ) ( )P B P A B P A⇒ = ∪ −
( ) 0,6 0,2 0,4P B = − =
( ) ( ). ( )P A B P A P B∩ =
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ). ( )
( ). 1 ( ) ( )
P A B P A P B P A B
P A P B P A P B
P B P A P A
∪ = + − ∩
= + −
= − +
( ) ( ) 0,6 0,2 0,4( ) 0,5
1 ( ) 1 0,2 0,8
P A B P AP B
P A
∪ − −
= = = =
− −
b) independentes.
3) Dado que um estudante, escolhido ao acaso, esteja matriculado 
no curso de Estatística. Analise o quadro e calcule a 
probabilidade desse estudante ser mulher.
20085115Total
301020Computação
302010Estatística
301515Matemática aplicada
1104070Matemática pura
TotalMulheresHomens
A = {mulher} e B = {matriculado em estatística}
( ) ( )( )
( ) ( )
3
2/
200
30
200
20
/
/
=⇒=
∩
=
BAPBAP
BP
BAPBAP
Probabilidade Total
1) Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um 
determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, 
respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as 
peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se 
encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja 
respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma 
peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades:
a) ser da fábrica A;
b) ser defeituosa, sabendo que a peça provém da fábrica A;
c) ser defeituosa; 
d) ser da fábrica A, sabendo que a peça é defeituosa.
Probabilidade Total
1) Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um 
determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, 
respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as 
peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se 
encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja 
respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma 
peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades:
a) ser da fábrica A;
( )P A = 100 1
600 6
=
b) ser defeituosa, sabendo que a peça provém da fábrica A;
( / )P D A = 1
10
Probabilidade Total
c) ser defeituosa;
Probabilidade Total
conjuntos disjuntos
eventos mutuamente exclusivos
A1 A2
A3
A4 A5
1 2 3 4 5A A A A A S∪ ∪ ∪ ∪ =
1 2 3 4 5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1P A P A P A P A P A+ + + + =
11
( ) 1i i
ii
A S P A
∞ ∞
==
= =∑U
,i jA A i j i j∩ =∅ ∀ ≠
Probabilidade Total
11
Probabilidade Total
1 2 5( ) ( ) ( )B A B A B A B= ∩ ∪ ∩ ∪ ∪ ∩L
5
1
( ) ( )i
i
P B P A B
=
= ∩∑
A1 A2
A3
A4 A5
B
5
1
( ). ( / )i i
i
P A P B A
=
=∑
O Teorema da Probabilidade Total pode ser 
interpretado fisicamente como uma medida do peso de 
cada um dos eventos Ai na contribuição para formar o 
evento B.
Voltando ao exercício
1) Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um 
determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, 
respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as 
peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se 
encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja 
respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma 
peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades:
c) ser defeituosa;
Probabilidade Total
( ) ( ) ( )D A D B D C D= ∩ ∪ ∩ ∪ ∩
( ) ( ) ( ) ( )P D P A D P B D P C D= ∩ + ∩ + ∩
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / )P D P A P D A P B P D B P C P D C= + +
1 1 2 1 3 1 10 10 3 23( )
6 10 6 20 6 100 600 600
P D + += + + = =
2) Suponha que a população de uma cidade está formada por 60% 
de homens e 40% de mulheres. Suponha também que 50% dos 
homens e 30% das mulheres fumam. Determine a probabilidade 
que uma pessoa selecionada aleatoriamente
a) seja fumante;
Probabilidade Total
b) uma pesoa que fuma seja homem.
Temos que ( ) ( ) ( ) ( ) 3,0/;5,0/;4,0;6,0 ==== MFPHFPMPHP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 42,03,04,05,06,0// =×+×=+= MFPMPHFPHPFP
b) uma pesoa que fuma seja homem.
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) 71,0
42,0
30,0/
30,06,05,0/
/
==
=×==∩
∩
=
FHPLogo
HPHFPFHPmas
FP
FHPFHP
Voltando ao exercício
1) Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um 
determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, 
respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as 
peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se 
encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja 
respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma 
peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades:
a) ser da fábrica A;
b) ser defeituosa, sabendo que a peça provém da fábrica A;
c) ser defeituosa; 
d) ser da fábrica A, sabendo que a peça é defeituosa.
Teorema de Bayes
( / )P A D =
Teorema de Bayes
O teorema de Bayes está intimamente relacionado ao
teorema da probabilidade total. Supõem-se as mesmas
condições (eventos Ai mutuamente exclusivos e exaustivos e 
um evento B qualquer). Basicamente, o teorema de Bayes
permite obter a probabilidade de que um dos eventos Ai ocorra, 
sabendo-se que o evento B ocorreu.
Teorema de Bayes
Suponha que queremos saber P (Ai / B), para isso usaremos a
probabilidade condicional , mas não conhecemos
P (Ai∩B) e P (B). Pela regra do produto temos:
P (Ai∩B) = P(B/Ai) . P(Ai) = P(Ai/B) . P(B)
E pelo Teorema da Probabilidade total temos que:
Logo, o Teorema de Bayes é dado por: 
( ). ( / )( / ) ( )
i i
i
P A P B AP A B
P B
=
P (Ai ∩ B)
5
1
( ). ( / )i i
i
P A P B A
=
=∑P (B)
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / )i i i iP A B P A P B A P B P A B∩ = =
( ). ( / )( / ) ( )
i i
i
P A P B AP A B
P B
=
A1 A2
A3
A4 A5
B
5
1
( ). ( / )
( ). ( / )
i i
j j
j
P A P B A
P A P B A
=
=
∑
Teorema de Bayes
Voltando ao exercício
1) Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um 
determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, 
respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as 
peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se 
encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja 
respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma 
peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades:
d) ser da fábrica A, sabendo que a peça é defeituosa;
( ). ( / )( / ) ( ).( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / )
P A P D AP A D
P A P D A P B P D B P C P D C
=
+ +
1 1 1
1 600 106 10 60( / ) 1 1 2 1 3 1 23 60 23 23
6 10 6 20 6 100 600
P A D = = = =
+ +
Teorema de Bayes
2) Durante o mês de agosto a probabilidade de chuva em um dia 
determinado é de 4/10. O Fluminense ganha um jogo em um dia 
de chuva com probabilidade 6/10 e em um dia sem chuva com 
probabilidade de 4/10. Sabendo-se que o Fluminense ganhou um 
jogo naquele dia de agosto, qual a probabilidade de que choveu 
nesse dia?
( ) ( ) ( ) ( )
10
4/;
10
6/;
10
6
;
10
4
==== CFPCFPCPCP
( )FCP /
( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 21106104104106 104106// // =×+× ×=×+× ×= CPCFPCPCFP CPCFPFCP
Sejam os eventos: F – Fluminense ganhar
C – chover no dia
Temos que 
Queremos saber . Pelo Teorema de Bayes:
A probabilidade de chover nesse dia dado que o Fluminense ganhou é de 0,5.