Capítulo I - Estática dos Pontos Materiais

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Mecânica Geral
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by John Wiley & Sons, Inc
Universidade Federal Fluminense – EEIMVR - VEM
Mecânica Geral
I. L. Ferreira, N. Medeiros
Capítulo 1
Estática dos Pontos Materiais
Decomposição de forças com auxílio de vetores unitários.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.1 Introdução
Ponto Material:
Conceito abrangente que não se restringe à pequenas partes do sólido considerado; 
Força: 
É a ação de um corpo sobre outro;
Força
Ponto de Aplicação
Intensidade
Direção
Sentido
Força
Solução
(Sólido)
Independe das dimensões e forma do sólido
Forças atuantes tem o mesmo ponto de aplicação; 
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.2 Intensidade, Direção e Sentido da Força
Intensidade de uma Força: 
Definida por um número de unidades;
Ex: Newton, kilograma-força, grama-força e dina.
Direção de um Força: 
Definida pela linha de ação, a qual é a reta ao longo do qual a força atua, formando um dado ângulo com qualquer eixo;
A força é representada por um segmento da linha de ação, cujo comprimento fornece sua intensidade; 
Sentido de uma Força: 
Representado por uma seta. O sentido oposto de duas forças pode produzir efeitos contrários sobre o ponto material ainda tenha a mesma direção e intensidade; 
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.2 Intensidade, Direção e Sentido da Força
α
F1 
Intensidade
A≡ Ponto material
Linha de ação
Eixo
α
F2 
Intensidade
A≡ Ponto material
Linha de ação
Eixo
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.3 Escalares e Vetores
Escalar: 
Quantidade física representada por um número;
Ex.: Massa [kg], comprimento [m] e volume [m3].
Vetor: 
Quantidade física que possui intensidade e direção;
Ex.: Força, momento e direção. 
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.4 Operações com Vetores
Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar: 
A multiplicação de um vetor A por um escalar a resulta num vetor aA definido como o vetor intensidade |aA|;
Para escalar a positivo: Sentido de aA é o mesmo de A;
Para escalar a negativo: Sentido de aA é oposto a A;
A divisão de um vetor A por um escalar a segue as leis da multiplicação, ou seja, .
A
-1,5A
2A
 Exemplos de operações de escalar com vetores:
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.4 Operações com Vetores
Adição entre dois Vetores: 
Considere os vetores A e B;
A
B
Adição pela regra do paralelogramo: União entre os vetores e suas origens obtendo um vetor resultante R = A + B a partir de retas paralelas construídas em um ponto comum de interseção dos vetores, formando um paralelogramo.
A
B
R = A+B
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.4 Operações com Vetores
Adição entre dois Vetores: 
Adição pela regra do triângulo: O vetor B é somado ao vetor A unido-se as a origem de A à extremidade de B. Assim, o vetor resultante R é dado por: 
A
B
R = A+B
Pode-se obter o vetor resultante R adicionando-se A e B, 
A
B
R = A+B
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.4 Operações com Vetores
A adição de vetores é comutativa: Os vetores A e B podem ser somados em qualquer ordem, 
Adição entre três ou mais Vetores: 
Considere os vetores A, B e C. A soma entre estes vetores e realizada em duas etapas. Primeiramente, realiza-se a soma entre A e B e, em seguida, o vetor C é adicionado a resultante R1 = A+B. Esta configuração fornece um segundo vetor resultante R2 = R1 + C = A + B + C; 
A
B
R1 = A+B
C
R2 = R1+ C= A+B+C
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.4 Operações com Vetores
Geralmente a adição de três ou mais vetores não-coplanares requer a regra do paralelogramo. Entretanto, para vetores coplanares, utiliza-se a regra do triangulo, conforme mostrado anteriormente;
O exemplo anterior poderia ser resolvido numa única etapa a partir da regra do polígono, ou seja,
A
B
C
R = A + B + C
A ordem que os vetores são somados não altera o resultado!
A
B
C
R2 = R1 + C
R1 = B + C
A adição vetorial entre três vetores é associativa!
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.4 Operações com Vetores
Para vetores colineares, ou seja, na mesma linha de ação;
A
B
R = A + B
Subtração entre Vetores: 
É um caso particular da adição de vetores, no qual o vetor resultante é expresso por, 
Na subtração vetorial são válidas as regras do paralelogramo e do triângulo, 
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.4 Operações com Vetores
Regra do Paralelogramo;
A
-B
R´ = A - B
Na subtração vetorial são válidas as regras do paralelogramo e do triângulo, 
Regra do Triangulo;
A
-B
R´ = A - B
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1.4 Operações com Vetores
Regra do Paralelogramo: A lei do paralelogramo permite a decomposição de um vetor R em dois componentes desde que tenham linha de ação e direção conhecidos. Desta forma,
R
a
b
R
b
a
A
B
Após a decomposição
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1.4 Forças
Decomposição de uma força em componentes: 
A composição e a decomposição de forças é realizado segundo os seguintes critérios; 
Duas ou mais forças
Componentes
Resultante 
(Produz mesmo efeito)
Uma única força
Decomposição
Duas ou mais forças 
(Mesmo efeito sobre o ponto material)
A decomposição apresenta dois casos de interesse. 
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1.4 Forças
Decomposição de uma força em componentes: 
Um componente é conhecida: Aplica-se a regra do triângulo para a determinação da outra componente; 
F
A (conhecida)
B
Intensidade
e
Direção
Métodos Gráficos
ou
Relações Trigonométricas
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.4 Forças
Ex.: Um automóvel é puxado por meio de duas cordas no ponto A. Considerando-se que a resultante das forças vale 1500 N e é paralela ao eixo do carro, determine: 
A tração em cada corda para que α = 30o; 
O valor de α para que a tração na corda 2 seja mínima. 
Solução: Esquema geral do problema: 
α
T2 
20o
eixo
T1 
A
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.4 Forças
A tração em cada corda para que α = 30o; 
Pela lei do triângulo utilizando a solução trigonométrica, tem-se,
α
T2 
R = 1500 N
T1 
Utilizando a lei dos senos, 
20o
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.4 Forças
O valor de α para que a tração na corda 2 seja mínima. 
As possibilidades para T2 são:
Utilizando a lei dos senos, 
R = 1500 N
T1 
T2 
R = 1500 N
T1 
20o
α
T2 
20o
α
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1.5 Componentes Cartesianas
de uma Força
θ
x 
y
Vetores Unitários: 
Uma dada força F pode ser decomposta em suas componentes vetoriais Fx e Fy, utilizando-se a regra do paralelogramo da seguinte forma, 
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
Vetores Unitários: 
Entretanto, as componentes vetoriais são obtidas pelo produto entre dois escalares, ou seja, Fx e Fy denominados de componentes escalares de F, e os respectivos vetores unitários i e j. Desta forma, 
θ
x 
y
Quando Fx,y tem o mesmo sentido de i e j
Quando Fx,y tem sentidos oposto de i e j
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
Vetores Unitários: 
Uma vez conhecidas a intensidade F da força F e o ângulo θ, as componentes escalares Fx e Fy são calculadas de acordo com as expressões, 
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
Ex.: Uma força de 800 N é exercida sobre um parafuso A. Determine as componentes vertical e horizontal da força, conforme esquema abaixo: 
35o
F = 800 N
Solução: Basta compor através da resultante e da direção as componentes da força em x e y, logo 
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
35o
F = 800 N
O módulo das componentes da força em x e y são,
As componentes da força em x e y são,
e
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
Analisando algebricamente as componentes da força,
 ou
Adição de Forças no Plano: 
Considere o caso de várias forças concorrentes atuando sobre o ponto A, 
A
P
S
Q
A
P
S
Q
S,i
S,j
P,i
P,j
Q,i
Q,j
R,j
R,i
A
R,j
R,i
A
R
θ
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
e
Adição de Forças no Plano: 
logo,
e
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
Solução: Gráfica e algébrica mostrada a seguir. 
Equilíbrio de um ponto material: 
O equilíbrio de um dados ponto material ocorre quando a resultante das forças atuantes é nula. 
F1=1500 N
30o
F2=866 N
F3=1000 N
F4=2000 N
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
Resolvendo graficamente,
F1=1500 N
30o
F2=866 N
F3=1000 N
F4=2000 N
F1
F2
F3
F4
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
Resolvendo algebricamente tem-se,
F1=1500 N
30o
F2=866 N
F3=1000 N
F4=2000 N
F1
30o
F2
F3
F4
F4,j
F4,i
F3,i
F3,j
Equacionando o equilíbrio para x e y,
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
Forças no Espaço: 
Considere a força F aplicada na origem O de um sistema de coordenadas cartesiana x, y e z. A direção de F é dada após a construção do plano OBAC, no plano xy, cuja orientação é determinada pelo ângulo φ. 
x
φ
y
z
θy
x
φ
y
z
O
O
B
A
C
B
D
C
E
D
E
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
Forças no Espaço: 
A força F tem direção definida por θy e pode ser decomposta em componentes escalares Fy (vertical) e Fh (horizontal) de forma que, 
e
Além disso para a componente escalar Fz, tem-se
e
o que resulta em,
e
Aplicando o teorema de Pitágoras sobre AOB e OCD, logo
e
Resumindo,
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
Desta forma, o módulo de F será,
Resumindo,
A relação entre F e suas componentes vetoriais passa a ser compreendida pela visualização dos cossenos diretores θx, θy e θz.
x
θx
z
O
B
A
C
D
E
x
z
θy
O
B
C
D
E
x
z
θz
O
B
A
C
D
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
Ainda, podendo ser expresso como,
Introduzindo-se o conceito de vetor unitário, 
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
Adição de Forças Concorrentes no Espaço: 
Pela decomposição da resultante R, 
Podendo-se ainda escrever,
Desta forma, conclui-se que,
,
e
Além disso, o módulo da resultante, pode ser escrito como,
E os cossenos diretores,
,
e
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
Força definida por seu módulo de dois pontos de sua linha de ação: 
 Em alguns casos, a direção de uma força é dada por dois pontos M(x1,y1,z1) e N(x2,y2,z2) localizados sobre sua linha de ação. 
x
z
O
F
M(x1,y1,z1)
y
N(x2,y2,z2)
dx = x2 - x1
dz = z2 - z1 < 0 
dy = y2 - y1
λ
 O vetor MN, a partir de suas componentes escalares é definido por: 
Vetor Unitário
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
 O vetor unitário λ é obtido pela divisão entre MN e seu módulo MN da seguinte forma, 
 A força F é calculada da seguinte forma, 
 E suas componentes escalares, 
onde,
,
e
,
,
e
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
Assim, podem ser calculadas as componentes escalares de F e respectivos cossenos diretores da seguinte forma,
,
e
onde θx, θy e θz representam os ângulos formados entre F e os eixos de coordenadas x, y e z.
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
 Ex.: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de um parafuso em A. A tração no cabo é de 2500 N. Determinar: ( a ) as componentes Fx, Fy, e Fz da força que atua sobre o parafuso, (b) os ângulos, θx, θy e θz que define a direção da força. 
30 m
40 m
80 m
F
l
B
A
F
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1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
a. Componentes da força: A linha de ação da força que atua sobre o parafuso passa por A e B e está orientada de A para B. As componentes do vetor AB, que tem a mesma direção da força. 
,
e
Logo a distância total AB pode ser calculada da forma,
Designando por i, j e k os vetores unitários ao longo dos eixos de coordenadas, tem-se,
Introduzindo o vetor unitário,
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes
Cartesianas de uma Força
As componentes de F são, 
,
e
b. Direção da Força: Os cossenos diretores são calculados da seguinte forma,
e
e
e
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.5 Componentes Cartesianas de uma Força
A representação geométrica dos cossenos diretores,
θx
θz
θy
x
z
y
B
F
l
A
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.6 Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço
Condição de Equilíbrio para um Ponto Material: 
A resultante de todas as forças atuantes sobre o ponto material é nula. Desta forma, 
,
 Solução para Problemas Envolvendo Equilíbrio 3D
e
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1.6 Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço
 Ex.: Um cilindro de 200 kg é pendurado por meio de dois cabos, AB e AC, amarrados ao topo de uma parede vertical. Uma força H horizontal e perpendicular a parede, mantém o peso na posição ilustrada. Determinar a intensidade de H e a tração em cada cabo. 
12 m
8 m
10 m
1,2 m
H
2 m
200 kg
B
C
A
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.6 Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço
Solução: O ponto A é escolhido como corpo-livre, este ponto está submetido a quatro forças, três das quais têm módulo desconhecido. Introduzindo os vetores unitários i, j e k a força é decomposta em cada uma das componentes cartesianas, logo
1,2 m
H
P
i
j
k
λAC
λAB
TAC
TAB
A
O
2 m
12 m
8 m
10 m
12 m
B
C
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.6 Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço
No caso de TAB e TAC faz-se necessário determinar as componentes e os módulos dos vetores AB e AC. O vetor unitário λAB o vetor unitário segundo AB.
então,
Desta forma, o vetor unitário será,
Escrevendo TAB em função do vetor unitário λAB ,
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.6 Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço
Determinando o vetor unitário λAC segundo AC.
então,
Desta forma, o vetor unitário será,
Escrevendo TAC em função do vetor unitário λAC ,
 Condição de Equilíbrio no ponto A,
Desta forma,
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1.6 Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço
Escrevendo os vetores,
Escrevendo os vetores em termos de suas componentes i, j e k nos respectivos eixos,
 ,
 e
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Capítulo 1 – Estática dos Pontos Materiais
1.7 Revisão Prova
 ExR1.: A haste CB exerce no bloco B uma força P dirigida ao longo da reta CB. Sabendo que P tem uma componente horizontal de 200 N, determine: (a) A intensidade da força P e (b) sua componente vertical.
Q
50o
50o
l
A
B
C
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1.7 Revisão Prova
 Solução: CB exerce força sobre B e a componente horizontal da força é 200 N. Deve-se determinar a intensidade de P e a sua componente vertical. Desta forma,
C
M
B
Px = 200 N
50o
Então,
e
Logo,
assim,
Py
P
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1.7 Revisão Prova
 ExR2.: Um recipiente de peso P = 1165 N está suspenso por três cabos, conforme figura abaixo. Determine a tração em cada cabo.
A
D
C
B
O
x
y
z
500 mm
360 mm
600 mm
450 mm
320 mm
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1.7 Revisão Prova
 Solução: Para resolver o problema de forma mais direta, basta encontrar os vetores AB, AC e AD e calcular os vetores unitários λA, λB e λC. Uma vez de posse destes vetores, calcula-se as tensões em função dos mesmos e determina-se o equilíbrio das forças em relação a força peso. Assim,
Vetor AB
cujo módulo,
Assim,
A tração será,
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1.7 Revisão Prova
Vetor AC
cujo módulo,
Assim,
A tração será,
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1.7 Revisão Prova
Vetor AD
cujo módulo,
Assim,
A tração será,
 Força Peso
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1.7 Revisão Prova
Equilíbrio das Forças
Substituindo as equações vetoriais,
o que produz o seguinte sistema linear,
,
e
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