Capítulo VI - Forças em Vigas e Cabos

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Mecânica Geral
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Universidade Federal Fluminense – EEIMVR - VEM
Mecânica Geral
I. L. Ferreira, N. Medeiros
Capítulo 7
Forças em Vigas e Cabos
...
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Introdução
Definição de Vigas: 
São barras longas, retas e prismáticas, capazes de suportar cargas longas aplicadas em vários pontos ao longo de seu comprimento.
Definição de Cabos: 
Componentes flexíveis que suportam apenas cargas trativas, distribuídas ou centradas.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
7.1.1 – Tipos de carregamentos e vínculos externos
 As cargas aplicadas ao longo da viga, em geral, são perpendiculares ao seu eixo. Assim, causam cisalhamento e flexão. Por outro lado, quando não formam 90º com a viga, produzem também carregamentos axiais de tração ou compressão.
 Projetos de Vigas: Dois passos distintos;
 Determinação das forças cortantes e dos momentos fletores produzidos pelas cargas (Mecânica Geral);
Escolha da seção reta mais adequada para resistir aos esforços cortantes e momentos fletores obtidos no item anterior (Resistência dos Materiais)
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
7.1 Vigas
 Tipos de carregamentos
 Cargas Concentradas: A viga esquematizada abaixo suporta as cargas Q1 e Q2, atuantes nos respectivos pontos B e C da mesma. Portanto, tratam-se de cargas concentradas. 
D
A
Q1
Q2
B
C
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
7.1 Vigas
 Cargas Distribuídas: A viga mostrada abaixo está submetida a uma carga w ao longo de seu comprimento. Assim, tal solicitação é denominada carga distribuída. Caso, w seja constante, é dita uniformemente distribuída sobre uma dada região da viga.
C
A
w
B
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
7.1 Vigas
 Classificação de Vigas: As vigas, de acordo com o modo de vinculação, se classificam em:
A
B
A
B
L
L
L
(a)
(b)
(c)
 Vigas estaticamente determinadas: São aquelas em que vínculos externos impõem até três incógnitas. Exemplos destes casos são abaixo ilustrados,
L - Distância entre os apoios, denominado vão.
(a) Viga simplesmente apoiada, (b) simplesmente apoiada em balanço e (c) em balanço.
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
7.1 Vigas
A
B
B
L1
L
L
(a)
(b)
(c)
 Vigas estaticamente indeterminadas: São aquelas em que a vinculação fornece mais de três incógnitas. Nestes casos, será preciso considerar as propriedades da viga em termos de sua resistência à flexão. As ilustrações a seguir mostram estas condições:
L - Distância entre os apoios, denominado vão.
(a) Viga contínua, (b) simplesmente engastada e simplesmente apoiada no outro e (c) em biengastada.
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
L2
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
7.1 Vigas
A
B
B
 Vigas Acopladas por Articulação: formam uma única estrutura contínua e as reações por envolverem quatro incógnitas serão determinadas considerando-se os diagramas de corpo-livre de cada viga em separado. Assim, incluindo-se as componentes de força na articulação, um total de seis incógnitas será observado acompanhado por seis equações de equilíbrio. Exemplos de vigas combinadas são mostradas abaixo:
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
A
H
H
C
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Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
7.1.2 – Forças Cortantes e Momento Fletor
 Considere a viga AB submetida a cargas concentradas (Q1, Q2 e Q3) e distribuídas (w1 e w2).
A
Q1
C
B
w1
Q2
Q3
w2
 Determinação das reações em A e B: Utiliza-se a viga inteira como corpo-livre, desta forma,
A
Q1
C
B
w1
Q2
Q3
w2
RA
RB
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7.1 Vigas
Ou seja,
A
Q1
C
B
w1
Q2
Q3
w2
RA
RB
RB
RA
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7.1 Vigas
Determinação das Forças Internas: A viga é seccionada em C para a construção dos diagramas de corpo-livre das partes AC e CB, conforme mostrado abaixo
A
Q1
C
B
w1
Q2
Q3
w2
RA
RB
C
M
M’
V
V’
Em AC:
Fornece a força cortante V em C;
Fornece o momento fletor M em C;
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7.1 Vigas
A
Q1
C
B
w1
Q2
Q3
w2
RA
RB
C
M
M’
V
V’
De forma análoga, em CB:
Fornece a força cortante V’ em C;
Fornece o momento fletor M’ em C;
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
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7.1 Vigas
 Convenção de Sinais: A força cortante V e o momento fletor M, atuantes sobre um dado ponto da viga serão positivos quando as forças internas e os momentos que agem em cada parte da viga forem orientados como se segue:
Forças internas na seção (força cortante e momentos fletor positivos) 
M
M’
V
V’
Efeito das forças externas (força cortante positiva) 
C
C
Efeito das forças externas (momento fletor positivo) 
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7.1 Vigas
7.1.3 – Diagramas de Forças Cortantes e Momento Fletor
 Diagramas de força cortante: Representação da força cortante em qualquer ponto de uma viga.
Considere a viga AB, simplesmente vinculada, de vão L e submetida a uma única carga Q aplicada em seu ponto médio D.
A
D
B
Q
 Diagramas de momento fletor: Representação dos valores de força cortante em função de uma distância x, tomada a partir de uma das extremidades da viga.
L/2
L/2
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7.1 Vigas
A
D
B
Q
 Determinação das reações promovidas por cada vínculo: Construção do diagrama de corpo-livre para a viga inteira, ou seja,
RA = Q/2
RB = Q/2
C
E
 Determinação da força cortante V e do momento fletor M: A viga é seccionada em C, entre A e D, e os diagramas de corpo-livre de AC e CB são construídos, ou seja,
A
RA = Q/2
C
M
V
D
B
Q
RB = Q/2
E
C
M’
V’
x
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7.1 Vigas
Considerando o corpo-livre AC: 
RA tende a cisalhar e fletir a viga no ponto C.
 Representação gráfica de V e M entre A e D:
L/2
x
y
Q/2
V = constante = Q/2
L/2
x
M
QL/4
M aumenta linearmente
x = 0; M = 0
x = L/2; M = QL/4
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7.1 Vigas
Seccionando-se a viga em E, entre D e B, os diagramas de corpo livre AE e EB são esquematizados como se segue,
M
B
RB = Q/2
E
M’
V’
x
A
D
Q
RA = Q/2
C
E
L-x
V
 Considerando o diagrama de corpo-livre EB:
RB tende a flexionar a viga em E, mas promove o cisalhamento oposto ao corpo-livre AC.
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7.1 Vigas
 Representação gráfica de V e M entre A e D:
L/2
x
y
Q/2
V = constante = ±Q/2
L/2
x
M
QL/4
M aumenta linearmente
x = 0 ou x = L; M = 0
x = L/2; M = QL/4
L
-Q/2
L
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7.1 Vigas
7.1.4 – Relações entre Carga e Força Cortante
Considere a viga AB, simplesmente vinculada,
que suporta a carga w por unidade de comprimento. Ainda, observe os pontos C e C’ separados pela distância Δx.
A
D
B
w
Δx
C C’
x
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Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
Em C: 
Supostamente positivos
Em C’: 
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7.1 Vigas
 Diagrama de corpo-livre,
C C’
M+ΔM
M
V
V+ΔV
Δx
Δx/2
então,
Dividindo-se por Δx e aplicando o limite quando Δx tende a zero,
Esta relação indica uma inclinação negativa para o diagrama de força cortante de uma barra carregada de forma proposta.
wDx
w
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Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
A carga total aplicada numa parte da viga, por exemplo, entre os pontos C e D, pode ser calculada por:
Assim, 
O termo entre colchetes ou a integral de wdx fornecem a carga total aplicada entre C e D, ou seja, denota a área sob a curva de carga entre tais pontos.
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7.1 Vigas
não é válida para pontos de carga concentrada, já que o respectivo diagrama de força cortante é descontínuo. 
 A equação, 
não é válida cargas concentradas entre C e D, pois não considera a variação súbita de força cortante em razão desta carga.
 A equação, 
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7.1 Vigas
7.1.5 – Relações entre Força Cortante e Momento Fletor
Considerando novamente o diagrama de corpo livre para a região CC’, 
C C’
M+ΔM
M
V
V+ΔV
Δx
Δx/2
então,
wDx
w
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7.1 Vigas
Dividindo-se por Δx e aplicando o limite quando Δx tende a zero,
 A força cortante V é nula quando o momento fletor M é máximo;
 A inclinação dM/dx da curva do momento fletor é igual à força cortante em pontos onde não há carga concentrada! 
Considerando-se os pontos C e D:
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7.1 Vigas
Assim, se V não é constante,
 A integral
fornece o momento fletor total entre os pontos C e D, ou seja, define a área sob a curva de força cortante entre tais pontos. Esta curva será positiva onde a força cortante for positiva e negativa para forças negativas.
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
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7.1 Vigas
 A integral
é válida para cargas concentradas entre C e D se a curva de força cortante for traçada de forma correta. 
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7.2 Cabos
7.2.1 – Cabos com Cargas Concentradas
Considere o cabo flexível abaixo, preso nos pontos A e B, e sujeito às cargas verticais Q1, Q2 e Q3.
d
y3
y2
y1
L
x1
x2
x3
 Qualquer parte do cabo entre cargas sucessiva é considerada um elemento submetido à duas cargas!
 As forças internas, em qualquer ponto do cabo, são reduzidas à tração tangente a tal ponto.
C1
C2
C3
B
A
Q1
Q2
Q3
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7.2 Cabos
O objetivo é determinar a forma do cabo, ou seja, a projeção vertical da distância de A até os pontos C1, C2 e C3 e também a tração T atuante em cada porção do mesmo.
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.2 Cabos
Portanto, é preciso construir o diagrama de corpo-livre para todo o cabo, ou seja, 
d
y3
y2
y1
L
x1
x2
x3
C1
C2
C3
B
Bx
By
A
Ay
Ax
Q1
Q2
Q3
Isto envolve 4 incógnitas e, já que se podem escrever apenas três equações de equilíbrio, o sistema se torna indeterminado. A solução é considerar o equilíbrio de uma determinar porção do cabo.
Como não se sabe as declividades das partes do cabo presas em A e B, as reações em A e B são representadas pelas respectivas componentes Ax, Ay, Bx e Bz. 
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7.2 Cabos
Conhecendo as coordenadas x e y do ponto D, o diagrama de corpo-livre para a porção AD do cabo será,
y
x1
x
C1
A
Ay
Ax
Q1
A projeção vertical de A até qualquer ponto do cabo pode ser determinada como se segue. Por exemplo, considerando-se o ponto C2 e constituindo-se o diagrama de corpo-livre da parte AC2, tem-se que,
Assim, a relação adicional para determinação das reações em A e B, entre Ax e Ay é fornecida por:
T
D
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7.2 Cabos
y2
x1
x2
C1
A
Ay
Ax
Q1
Fornece y2
T
D
C2
Q2
θ
Tração T
Mas,
ou
ou seja, a componente horizontal de T é a mesma em qualquer ponto do cabo.
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Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.2 Cabos
7.2.2 – Cabos com Cargas Distribuídas
Considere o cabo abaixo fixado nos pontos A e B e que suporta um carga distribuída.
 O cabo forma uma cruva e a força interna em um ponto D é uma tração T dirigida ao longo da tangente à curva.
 O objetivo é determinar a tração em qualquer ponto no cabo e, para tanto, constrói-se o diagrama de corpo-livre para o ponto mais baixo C e um dado ponto D.
A
C
D
B
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7.2 Cabos
7.2.2 – Cabos com Cargas Distribuídas
então,
 Forças atuantes no corpo livre:
C
D
B
θ
T
TO
θ
TO
W
W
T
 Tração TO em C, a qual é horizontal;
 Tração T em D, tangente ao cabo;
 Resultante W da carga distribuída suportada pela posição CD do cabo.
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7.2 Cabos
A partir do triângulo de forças pode-se escrever,
θ
TO
W
T
;
;
e
 A componente horizontal de T, ou seja, TO, é a mesma ao longo do cabo;
 A componente vertical de T é igual ao módulo W da carga.
 
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