Capítulo II - Sistemas Equivalentes de Forças

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Mecânica Geral
Copyright (c) 2010 
by John Wiley & Sons, Inc
Universidade Federal Fluminense – EEIMVR - VEM
Mecânica Geral
I. L. Ferreira, N. Medeiros
Capítulo 2
Corpos Rígidos: Sistemas Equivalentes de Forças
...
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.1 Introdução
Corpo Rígido:
Um dado sólido ou corpo é dito rígido quando não se deforma ao ser submetido a carregamentos. Na prática, estruturas e máquinas são deformados quanto solicitadas, porém os níveis de deformação que experimentam são tais que as condições de equilíbrio e movimento se mantém predominante inalteradas. A mecânica básica considera corpos como rígidos.
Ponto Material e Corpo: 
É comum aproximar um corpo a um ponto material. Na verdade um grande conjunto de pontos materiais define um corpo. As dimensões do corpo devem ser consideradas, já que as forças atuam em pontos distintos do corpo, ou seja, têm distintos pontos de aplicação.
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.1 Introdução
Forças Externas:
Representam a ação de outros corpos sobre o sólido rígido em questão, sendo responsáveis pelo seu comportamento externo. Podem causar a movimentação do corpo onde atuam ou mantê-lo em repouso.
Forças que atuam em Corpos Rígidos: 
As forças atuantes em corpos rígidos são classificadas quanto a natureza como externas e internas.
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.1 Introdução
Ex.: Considere um caminhão abaixo que é puxado por meio de uma corda presa ao pára-choque dianteiro.
Solo
O diagrama do corpo-livre para este problema representa as forças externas que atuam sobre o caminhão, ou seja,
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.1 Introdução
onde,
O movimento do caminhão para frente é chamado translação, já que as linhas retas permanecem paralelas. Se um macaco fosse colocado no eixo dianteiro do caminhão, um giro seria observado sobre seu eixo traseiro, isto é, um movimento de rotação.
e
- Reação do solo sobre cada roda do caminhão em razão da ação de seu peso.
- Força peso cujo ponto de aplicação é no baricentro.
- Forças exercida para puxar o caminhão. Esta força movimentará o caminhão para frente na direção horizontal, pois não se observam forças que se oponham ao movimento.
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.1 Introdução
 Forças Internas:
 Forças responsáveis pela coesão dos pontos que constituem o corpo-rígido. Ex.: Ligação metálica, força de coesão do retículo cristalino dos metais.
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.2 Definições
 Princípio da Transmissibilidade:
 Este princípio estabelece que um dado corpo-rígido mantém inalteradas as suas condições de equilíbrio ou de movimento se uma força F* que atua sobre um determinado ponto for substituída por outra força F*’ de mesmo módulo, direção e sentido porém agindo num ponto distinto deste sólido. Todavia, F* e F*’, obrigatoriamente tem que possuir a mesma linha de ação. Nestas condições, estas forças, são ditas equivalentes e causam o mesmo efeito sobre o sólido considerado, conforme mostrado abaixo,
Sólido Rígido
Linha de Ação
Linha de Ação
Sólido Rígido
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.2 Definições
 De acordo com princípio da transmissibilidade, o ponto de aplicação de F* ou F*’ não é relevante, desde que a linha de ação seja idêntica. Assim, estes vetores são ditos deslizantes.
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2.2 Definições
 Limitação do Princípio da Transmissibilidade: Forças Internas e Deformações
 Considere uma barra curta AB sujeita às forças trativas iguais e de sentidos opostos,
B
A
Pelo princípio da transmissibilidade, a força P2 em B pode ser substituída pela força P2’ em A, já que ambas P1 e P2 se localizam sobre a mesma linha de ação. Como resultado da adição entre P1 e P2’ observa-se que a barra AB passa a não sofrer a ação de qualquer força externa, de acordo com a figura seguinte,
B
A
Sistema equivalente de forças externas para a barra AB.
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.2 Definições
B
A
Por outro lado, a mesma barra AB pode ser submetida as forças compressivas P3 e P4, 
Assim, após substituir a força P4 e P4’ que atuará sobre B, a adição de P4’ e P3 também resultará num sistema equivalente nulo de forças externas que agem sobre a barra AB, isto é,
B
A
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.2 Definições
 Limitações:
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.3 Produto Vetorial de Dois Vetores
 Produto Vetorial:
 O produto vetorial entre os vetores P e Q abaixo ilustrados resulta no vetor V,
P
Q
V = P x Q
θ
α
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.3 Produto Vetorial de Dois Vetores
 Regras do Produto Vetorial:
A linha de ação do vetor V deve ser perpendicular ao plano α o qual contém os vetores P e Q;
 O módulo do vetor V é obtido pelo produto entre os módulos de P e Q corrigido pelo seno do ângulo θ entre estes;
O sentido de V é tal que um observador colocado sobre a sua extremidade de V observará como sendo anti-horária a rotação de θ que traz vetor P sobre o vetor Q, desde que estes tenham o mesmo ponto de aplicação. Caso P e Q não tenham o mesmo ponto de aplicação, devem ser dispostos de forma que atendam a tal condição, sendo P, Q e V um triedro positivo.
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2.3 Produto Vetorial de Dois Vetores
 Propriedades do Produto Vetorial:
O produto vetorial não é comutativo. Com base na terceira condição, o produto vetorial Q x P resultaria no vetor –V, tendo em vista o observador definido a rotação anti-horária de θ para a aproximação de Q a P, logo,
O produto vetorial é distributivo, ou seja,
onde,
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2.3 Produto Vetorial de Dois Vetores
Logo, graficamente,
P
Q1
α
Q2
Q
x
 Para verificação consultar o capítulo 2 do Beer and Johnston Jr.
O produto vetorial não é associativo, desta forma,
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-k = j x i 
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2.3 Produto Vetorial de Dois Vetores
 Produto vetorial em termos de componentes cartesianas:
 Considerando os fundamentos relativos ao produto vetorial, tem-se que,
 ; 
 ; 
x
y
z
i
k = i x j 
j
x
y
z
i
j
-z
i, j e k são mutuamente ortogonais e formam um triedro positivo
A rotação e 900 que traz j sobre i fornece o vetor –k.
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2.3 Produto Vetorial de Dois Vetores
 Produto vetorial em termos de componentes cartesianas:
 ; 
Ambos os vetores têm a mesma direção, portanto,
Estas combinações são facilmente entendidas dispondo-se as três letras associadas aos vetores unitários em sentido anti-horário num círculo, então
i
j
k
Produto vetorial positivo: os vetores unitários seguem um ao outro.
Produto vetorial negativo: os vetores unitários não seguem um ao outro.
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Termodinâmicas
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2.3 Produto Vetorial de Dois Vetores
Finalmente, o produto vetorial entre os vetores P e Q é definido em termos das componentes escalares,
Com base nas combinações possíveis para os produtos vetoriais entre os vetores unitários, segue-se que:
Uma vez que,
ou,
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2.3 Produto Vetorial de Dois Vetores
Além disso,
 ,
 e
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2.4 Momento de Uma Força
Momento de uma Força em Relação a um Ponto:
Considere o esquema abaixo no qual a força F atua sobre um corpo rígido pode meio de seu ponto de aplicação A,
θ
r
d
O
F
A
Mo
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2.4 Momento de Uma Força
Pontos Principais:
O efeito de F sobre o corpo rígido depende de seu ponto de aplicação A;
O vetor posição r define a posição de A, unindo A e o ponto fixo de referência O;
O vetores r e F definem o plano ilustrado.
A partir destas características, o momento de F com relação a O é definido pelo produto vetorial entre r e F, isto é, 
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2.4 Momento de Uma Força
De acordo com os princípios do produto vetorial:
Mo é perpendicular ao plano que contém a origem O e a força F;
O sentido de Mo é dado pela rotação que faria r alinhar-se a F;
A rotação anti-horária quando um observador é colocado na extremidade de Mo.
Portanto, definindo-se θ como ângulo entre r e F, o módulo de Mo é calculado por,
onde d denota a distância perpendicular de O à linha de ação de F. Além disso, o módulo de Mo mede a tendência de F promover a rotação de um corpo rígido sobre o eixo.
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2.4 Momento de Uma Força
Se diversas forças concorrentes tiverem o mesmo ponto de aplicação A, conforme abaixo, a propriedade distributiva do produto vetorial permite escrever,
 Teorema de Varignon:
O momento em relação a um dado ponto O da resultante de diversas forças concorrentes é igual a soma dos momentos das várias forças em relação ao mesmo ponto O. 
x
z
y
F1
F2
F3
F3
r
A
O
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2.4 Momento de Uma Força
Componentes Cartesianas do Momento de uma Força
Considere o momento Mo em relação a O de uma força F com componentes Fx, Fy e Fz, aplicada ao ponto A no espaço R3 de coordenadas x, y e z;
zk
r
O
y
y j
xi
A(x,y,z)
Fzk
Fxi
Fy j
x
z
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2.4 Momento de Uma Força
Componentes Cartesianas do Momento de uma Força
Define-se os vetores r e F:
e 
O momento Mo é dado por:
ainda,
Relembrando o produto vetorial entre os vetores unitários,
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2.4 Momento de Uma Força
Momento em Relação a um Ponto Arbitrário
Considere uma força F de componentes Fx, Fy e Fz aplicada sobre um ponto A, conforme mostrado,
Δr
B
y
(yA-yB)j
A(x,y,z)
Fzk
Fxi
Fy j
x
z
(zA-zB)k
(xA-xB)i
O
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2.4 Momento de Uma Força
O momento MoB é dado por,
ou de forma análoga,
sendo,
 , 
 e 
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2.4 Momento de Uma Força
Problemas Bidimensionais: Força F atuante no Plano xy com Origem Fixa:
Para z = 0 e Fz = 0, o momento Mo é dado por:
r
y
Fx i
F
Fy j
x
z
Mo = Mzk
O
x i
y j
 e 
A(x,y,z)
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2.4 Momento de Uma Força
Problemas Bidimensionais: Força F atuante no Plano xy com Momento em Ponto Arbitrário B:
Para z = 0 e Fz = 0, o momento Mo é dado por:
Dr
y
Fx i
F
Fy j
x
z
MB = MBk
O
A(x,y,z)
B(x,y,z)
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2.4 Momento de Uma Força
Ex.: Uma força vertical de 500 N é aplicada à extremidade de uma manivela fixada a um eixo em O. Determinar:
 O momento da força de 500 N em relação a O;
Intensidade da força horizontal aplicada em A que gera o mesmo momento em relação a O;
A menor força aplicada em A que gera o mesmo momento em relação O;
 A distância a que uma força vertical de 1200 N deverá estar do eixo para gerar o mesmo momento em relação a O;
 Se alguma das forças obtidas nos itens b, c e d é equivalente à força original.
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2.4 Momento de Uma Força
Representação Esquemática:
0,60 m
60o
O
500 N
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2.4 Momento de Uma Força
Solução:
Intensidade da força horizontal aplicada em A que gera o mesmo momento em relação a O;
A distância de O à linha de ação da força é expressa da forma,
O módulo do momento em relação a O pode ser calculado como,
 O momento será representado pelo vetor Mo perpendicular ao plano da figura e apontando para dentro da folha.
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2.4 Momento de Uma Força
Intensidade da força horizontal aplicada em A que gera o mesmo momento em relação a O;
A distância de O à linha de ação da força horizontal é expressa da forma,
O módulo do momento em relação a O pode ser calculado como,
logo,
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2.4 Momento de Uma Força
A menor força aplicada em A que gera o mesmo momento em relação O;
Para o cálculo da menor força,
Todavia,
logo,
A distância a que uma força vertical de 1200 N deverá estar do eixo para gerar o mesmo momento em relação a O;
60o
d
Mo
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2.5 Produto Escalar
Produto Escalar de Dois Vetores
O produto escalar de dois vetores P e Q é dado por,
P
Q
θ
Resultando num escalar PQ.
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2.5 Produto Escalar
Propriedades do Produto Escalar
O produto escalar de dois vetores é comutativo,
O produto escalar de dois vetores é distributivo,
x
z
y
Q2
Q1
O
Q
P
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2.5 Produto Escalar
O produto escalar de não é associativo, pois,
Não tem sentido pois, P.Q é um escalar!!!!
Produto Escalar em termos de Componentes Cartesianas: 
Seja o seguinte produto escalar,
logo,
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2.5 Produto Escalar
Todavia, pela definição de produto escalar,
Disto resulta,
Se P for igual a Q, tem-se,
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.5 Aplicações de Produto Escalar
Ângulo formado por Dois Vetores
Sejam conhecidos dois vetores P e Q em termos de suas componentes.
Resolvendo para cos θ,
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.5 Aplicações de Produto Escalar
Projeção de um Vetor sobre um Eixo
Considere o vetor P que forma um ângulo com o segmento
de reta OL, da forma 
x
z
y
A
O
OL
P
A projeção de P sobre OL é dada por,
cujo comprimento é OA.
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2.5 Aplicações de Produto Escalar
Por outro lado, quando se tem um vetor Q orientado segundo OL, o produto escalar entre P e Q fornece,
x
z
y
A
O
OL
P
Então,
θ
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.5 Aplicações de Produto Escalar
Por fim, se o vetor considerado sobre OL é o vetor unitário λ, tem-se que,
x
z
y
A
O
OL
P
Lembrando que,
θx
θz
θy
e
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2.5 Aplicações de Produto Escalar
O produto escalar de P e λ fornece,
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.5 Aplicações de Produto Escalar
Produto Misto entre Três Vetores
O produto misto entre três vetores S, P e Q é definido por,
O qual geometricamente fornece o volume de um paralelepípedo de arestas S, P e Q, conforme abaixo mostrado,
P
Q
S
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.5 Aplicações de Produto Escalar
Produto Misto Positivo: Os vetores S, P e Q formam um triedro positivo;
 Produto Misto Negativo: Os vetores S, P e Q formam um triedro negativo;
 Produto Misto Nulo: Os vetores S, P e Q são co-planares.
As possibilidades para o produto misto resultam no mesmo valor absoluto, embora com sinais distintos,
Pode ser verificado dispondo os vetores em ordem anti-horária,
S
P
Q
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.5 Aplicações de Produto Escalar
lembrando que,
Produto Misto em termos das Componentes Cartesianas
Denominando-se por V, o produto vetorial PxQ, tem-se que,
e,
Finalmente,
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.5 Aplicações de Produto Escalar
E na forma compacta,
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.6 Momento de uma Força Relativo a um eixo
Momento de uma Força em Relação a um Eixo
Considere a ilustração abaixo que mostra uma força F que atua num corpo rígido e produz o momento Mo, em relação ao ponto O de um eixo.
x
z
y
C
O
L
A
Mo
r
F
λ
Seja OL um eixo que passa por O, define-se o momento MOL de F em relação a OL como a projeção OC do momento Mo sobre o eixo OL.
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2.6 Momento de uma Força Relativo a um eixo
Portanto, o momento MOL como o escalar obtido pelo produto misto entre λ, r e F. Na forma, de um determinante, tem-se que,
Incluindo-se o vetor unitário λ segundo OL, pode-se escrever,
sendo,
onde,
	λx, λy e λz : co-senos diretores do eixo OL;
	 x, y e z : coordenadas do ponto de aplicação de F;
 Fx, Fy e Fz : componentes escalares de F.
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2.6 Momento de uma Força Relativo a um eixo
E, de forma análoga no caso do momento em relação a um ponto:
onde, 
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2.6 Momento de uma Força
Momento de uma Força em Relação a um Eixo: Ponto de Aplicação Arbitrário
Considere o momento de uma força F aplicada em A, em relação a um eixo que não passa pela origem. Adotando-se um ponto arbitrário B sobre o eixo, e determina-se a projeção sobre o eixo BL do momento MB de F em relação a B, pode-se escrever:
x
z
y
O
A
Δr = rA - rB
λ
B
F
C
L
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2.6 Momento de uma Força
Na forma de determinante, 
onde,
	λx, λy e λz : co-senos diretores do eixo BL;
	Δx, Δy e Δz : coordenadas componentes de Δr;
 Fx, Fy e Fz : componentes escalares de F.
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2.6 Momento de uma Força
Ainda denominando MCL o memento obtido ao se escolher o ponto c, tem-se que
então,
Mas o produto misto entre λ, (rB-rC) e F é nulo, já que os mesmos são coplanares. Portanto, MCL e MBL são iguais, o que indica que o resultado independente do ponto arbitrário escolhido.
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2.6 Momento de uma Força
Ex.: Um cubo de aresta a é submetido a uma força de módulo P, conforme ilustrado,
B
A
E
F
D
C
G
P
a
O momento de P em relação a A;
 O momento de P em relação à aresta AB;
 O momento de P em relação À diagonal AG;
 A distância de AG à FC, utilizando o resultado de c.
O
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2.6 Momento de uma Força
 Resolução:
O momento de P em relação a A;
Escolhendo os eixos x, y e z, decompõe-se em componentes cartesianas a força P e o vetor Δr = AF, que liga A ao ponto de aplicação P da força F.
B
A
E
F
D
C
G
P
a
y
z
x
a
a
O
j
i
k
e
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2.6 Momento de uma Força
Logo, o momento de P em relação a A será, 
logo,
O momento de P em relação à aresta AB;
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.6 Momento de uma Força
O momento de P em relação À diagonal AG;
O momento de P em relação a AG é obtido projetando-se MA sobre AG. Denominando de λ o vetor unitário ao longo de AG, tem-se que,
B
A
E
F
D
C
G
P
a
y
z
x
a
a
O
j
i
k
λ
logo,
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.6 Momento de uma Força
O momento de P em relação À diagonal AG;
Outra possibilidade,
B
A
E
F
D
C
G
P
a
y
z
x
a
a
O
j
i
k
λ
logo,
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.6 Momento de uma Força
A distância de AG e FC, utilizando o resultado de C.
Primeiro observa-se que P é perpendicular à diagonal AG, uma vez que,
Então, o momento MAG pode ser expresso como,
O que produz,
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.7 Momento de um Binário
Momento de um Binário
 As forças F e –F formam um binário uma vez que apresentam o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos opostos.
-F
F
 A soma entre F e –F é zero pois não há movimento de translação;
 A soma dos momentos de F e –F num dado ponto não é zero pois F e –F tendem a promover a rotação do corpo.
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.7 Momento de um Binário
Definição do Momento de um Binário
 Considere os vetores rA e rB como sendo os vetores posição dos pontos de aplicação de F (ponto A) e –F (ponto B).
x
z
y
O
d
M
A
F
θ
r
-F
B
rA 
rB 
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.7 Momento de um Binário
Definição do Momento de um Binário
 A soma entre os momentos das forças de F e –F em relação a origem O fornece,
 Mas como rA – rB = r, tem-se,
{ M é o momento do binário 
Pela definição de momento,
 O vetor M (momento binário) é um vetor livre já que o vetor r independe da escolha da origem do sistema de coordenada O. Portanto, o vetor M pode ser aplicado em qualquer ponto.
Chapter
12 Mixtures and Psychrometrics
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.8 Binários Equivalentes
Binário Equivalente
 Considere os três binários aplicados sucessivamente à mesma caixa retangular,
0,15 m
100 N 
-100 N
M
y
z
x
0,10 m
M
y
z
x
M
y
z
x
a
Cada binário apresenta o mesmo momento M, os três binários promoverão o mesma rotação sobre a caixa, ou seja, são binários equivalente, com valores iguais de 15 N m.
0,10 m
150 N 
-150 N 
150 N 
-150 N 
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.8 Binários Equivalentes
 Condições fundamentais para que dois sistemas ou mais de forças sejam Equivalentes
 Duas forças que atuam no mesmo ponto material podem ser substituídas pela sua resultante;
 Um dada força pode ser decomposta em duas componentes;
 Forças iguais e opostas que atuam no mesmo ponto podem ser canceladas;
 Aplicação de duas forças iguais e opostas sobre o mesmo ponto;
 Deslocamento de uma força ao longo de sua linha de ação (Princípio da Transmissibilidade)
Detalhe: Demonstração, ver capítulo 3 Beer Johnston Jr.
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.9 Adição de Binários
 Considere a intersecção dos planos P1 e P2. Observa-se que o binário que atua no plano P1 é definido pelas forças F1 e –F1 que agem nos pontos A e B. Além disso, o binário atuante no plano P2 consiste nas forças F2 e –F2 as quais também agem nos pontos A e B.
P2 
P1 
r 
A 
B 
F2 
-F2 
-F1 
F1 
R 
-R 
Desta forma, o momento M do binário é dado por,
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.9 Adição de Binários
Uma vez que,
e,
Ainda, observa-se que,
De forma gráfica,
O
M1
M2
M 
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.10 Decomposição de uma Força
 Decomposição de uma Força em uma Força Aplicada em O e um Binário
 Considere o corpo rígido abaixo no qual a força F atuante é aplicada no ponto A definido pelo vetor posição r,
r 
F 
O 
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.10 Decomposição de uma Força
 Decomposição de uma Força em uma Força Aplicada em O e um Binário
 Para que a força F atue no ponto O, é preciso adicionar as forças F e –F neste ponto para que a ação da força original sobre o sólido não seja modificada, ou seja,
r 
F 
O 
F 
-F 
A 
O binário promove a mesma rotação sobre o corpo, em relação a O do que a força F originalmente aplicada no ponto A.
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.10 Decomposição de uma Força
Assim, a força F atua agora sobre o ponto O e as demais formam um binário de momento,
 Uma força F atuante sobre um corpo rígido pode ser deslocado para um ponto arbitrário de momento em relação a O é adicionado.
O conjugado momento MO e força F é chamado sistema força-binário no qual é usual representar MO e F em O.
O 
MO 
F
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2.10 Decomposição de uma Força
Se a força F fosse deslocada de A para o ponto O, observar-se-ia o momento MO = r x F de F em O. Desta forma, um novo sistema força-binário composto por F e o vetor binário MO seria aplicado em O’.
O’ 
MO 
F
O 
r 
r’ 
A 
O’ 
F
O 
r 
r’ 
A 
=
=
 MO 
O’ 
O 
r 
r’ 
A 
s 
s 
s 
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2.10 Decomposição de uma Força
Portanto, 
Ou seja, 
O momento MO’ de F em O’ é obtido ao se adicionar o produto vetorial s x F ao momento MO de F em relação a O. Tal produto s x F denota o momento em relação a O’ de F aplicada a O.
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2.10 Decomposição de uma Força
 Ex.: Dois binários atuam num bloco conforme ilustrado. Substituir estes dois binários por um único binário equivalente.
100 mm
25 N
25 N
60º 
C
D
B
A
30 N
30 N
150 mm
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2.10 Decomposição de uma Força
 Solução: Vetores binários:
 Em relação ao segmento AB:
logo, 
 Em relação ao segmento CD:
então, 
x
z
y
3 N.m
3,75 N.m
60º 
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2.10 Decomposição de uma Força
 Solução: Vetores binários:
 Sistema equivalente:
x
z
y
3 N.m
3,75 N.m
60º 
120º 
θy 
θx 
M
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2.10 Decomposição de uma Força
 Solução: Vetores binários:
 Lei dos senos:
x
z
y
3 N.m
3,75 N.m
60º 
120º 
θy 
θx 
M
logo, 
Para θx:
Para θz:
M é perpendicular a z, pois θz = 90º.
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2.10 Decomposição de uma Força
 Solução: Vetores binários:
 O binário pode ser formado por duas forças nos vértices de C e D de valores,
logo, 
60º 
C
D
F = -39,1 N
F = 39,1 N
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2.10 Decomposição de uma Força
 Solução: Vetores binários:
 O binário pode ser formado por duas forças de 48,8 N atuante aos pontos E e F, então
B
A
F
33,6º 
0,1 m
0,120 m
-39,1 N
39,1 N
E
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2.11 Redução de um Sistema de Forças
 Redução de um Sistema de Forças a uma Força e um Binário
 Considere um sistema de forças F1, F2 e F3 que atuam sobre o corpo rígido abaixo nos pontos A1, A2 e A3 definidos pelos vetores posição r1, r2 e r3.
r1 
F2 
O 
F1 
A2 
F3 
A1 
A3 
r3 
r2 
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2.11 Redução de um Sistema de Forças
F2 
O 
F1 
F3 
As forças F1, F2 e F3 podem ser deslocadas dos pontos A1, A2 e A3 ao ponto O desde que sejam adicionadas ao sistema de forças originais os binários de momentos, M1 = (r1 x F1), M2 (r2 x F2) e M3 (r3 x F3) em relação a O. Desta forma, pode-se obter o sistema composto por forças atuantes em O e binários.
M1 
M2 
M3 
onde, 
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2.11 Redução de um Sistema de Forças
 Resultante das forças (R): Obtida pela soma F1, ..., F3 (forças concorrentes);
 Resultante dos momentos (MOR): Obtida pela soma vetorial entre M1,..., M3. 
Embora cada momento seja normal às forças, a resultante R e o momento resultante MOR não são necessariamente, perpendiculares.
O 
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2.11 Redução de um Sistema de Forças
Portanto, qualquer sistema de forças pode ser reduzido a um sistema força-binário equivalente que atua num ponto O. Assim, o sistema força-binário equivalente é definido por, 
e, 
Momento resultante do sistema.
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2.11 Redução de um Sistema de Forças
Além disso, um sistema de forças já reduzido e uma força e um binário num ponto O pode também ser reduzido a uma força e um binário em qualquer outro ponto O’, ou seja,
MOR 
R
O’ 
O 
s 
=
MOR 
R
O’ 
O 
s 
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2.11 Redução de um Sistema de Forças
Em termos de componentes vetoriais:
 A resultante R permanece inalterada;
O momento MOR é dado pela soma entre MOR e o momento em relação a O’ da resultante R aplicada em O. Assim, 
Translação em x, y e z.
Rotação em torno de x, y e z.
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2.12 Sistemas Equivalentes de Forças
 Sistemas Equivalentes de forças - Definição
 Dois sistemas de forças são equivalentes se podem ser reduzidos ao mesmo sistema força-binário num dado ponto O. Assim, dois sistemas de forças F1,..., F3 e F1’,..., F3’ serão equivalentes, se, e somente se, a soma das forças e momentos em relação a um ponto O, das forças dos dois sistemas (F e M) forem iguais. Matematicamente, 
e, 
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2.12 Sistemas Equivalentes de Forças
; 
Em termos das componentes escalares,
 e 
i. 
ii. 
; 
 e 
Portanto, para sistemas equivalentes, conclui-se que,
Atribuem o mesmo movimento de translação em x, y e z; 
Atribuem a mesma rotação em torno dos eixos x, y e z. 
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2.12 Sistemas Eqüipolentes de Vetores
 Sistemas Eqüipolentes
 Se dois vetores de forças F1,..., F3 e F1’,..., F3’ obedecem à condição de sistemas equivalentes, isto é,
e, 
Tais vetores são ditos eqüipolentes o que pode ser generalizado para qualquer sistema de vetores. Portanto, conclui-se que: 
 Se dois sistemas de forças que atuam sobre um corpo rígido são eqüipolentes também são equivalentes.
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2.13 Revisão Prova
 ExR1: Sabendo que a força de tração no cabo AC é de 1260 N, determine: (a) o ângulo entre o cabo AC e o mastro AB e (b) a projeção sobre AB da força aplicada pelo cabo AC no ponto A.
A
D
C
B
P
2,6 m
2,4 m
3,0 m
1,2 m
2,4 m
y
x
z
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2.13 Revisão Prova
 Solução: Deve-se calcular o ângulo formado entre o cabAC e AB. Em seguida, os seus módulos. Em seguida utiliza-se o produto escalar para determinar o ângulo entre AC e AB. Finalmente, projeta-se AC sobre AB, por meio do produto escalar. Desta forma,
Vetor AB
cujo módulo,
O que fornece,
Vetor AC
cujo módulo,
O que fornece,
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.13 Revisão Prova
A projeção de TAC sobre AB, pode ser calculada da seguinte forma,
O ângulo pode ser calculado facilmente com o produto escalar, logo,
logo,
onde,
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2.13 Revisão Prova
 ExR2: Substitua a força de 150 N por um sistema força-binário equivalente em A.
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.13 Revisão Prova
 Solução: Deve-se inicialmente determinar o vetor Força, determinando suas componentes Fx, Fy e Fz, e posteriormente, determinar o vetor posição em relação ao ponto de aplicação da força A, posteriormente determinar o finalmente determinar o momento M,
Vetor Posição rAD 
O que fornece,
Forças Fy e Fz
Então o vetor força será,
e,
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.13 Revisão Prova
Vetor Momento M
O sistema equivalente de força é descrita por,
e,
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.14 Casos Particulares de Redução 
Verificou-se, previamente, que qualquer sistema de forças pode ser reduzido a um sistema de força-binário equivalente em O composto pela resultante R e o momento MRO.
Quando R = 0, o sistema se reduz ao binário MRO chamado de binário resultante do sistema. 
 Casos Particulares de Redução de um Sistema de Forças:
Ainda, observou-se que o sistema força-binário em O pode ser substituído por uma única força R atuante sobre uma nova linha de ação se R e MRO são perpendiculares. Portanto, os sistemas nos quais são aqueles que pode ser reduzidos a uma única força. Esta condição pode ser verificada nos seguintes casos: 
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2.14 Casos Particulares de Redução 
Forças concorrentes;
Forças coplanares;
Forças paralelas. 
 Forças concorrentes: 
As forças concorrentes, por atuarem num mesmo ponto de aplicação, podem ser adicionadas diretamente para obtenção da resultante R. Assim, tais forças podem sempre ser reduzidas a uma única força. 
 Forças coplanares: 
Considere as forças coplanares a seguir. A resultante destas forças, chamada de R, está contida no plano da figura enquanto MRO é normal ao plano da figura. 
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2.14 Casos Particulares de Redução 
O sistema de força-binário em O é definido, então, numa força R e um momento MRO que são perpendiculares. Tal sistema pode então ser reduzido a uma única força R quando se move R no plano da figura até que seu momento em relação a O seja igual a MRO, conforme figura que se segue,
F2 
O 
F1 
F3 
y
x
R 
O 
x
y
=
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2.14 Casos Particulares de Redução 
Em termos de componentes cartesianas do sistema força-binário, a redução a uma única força resulta em:
A 
O 
x
y
R 
d 
,
e
z
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2.14 Casos Particulares de Redução 
Considerando x e y como as coordenadas do ponto A no qual a resultante R é aplicada e com base nos conhecimentos já adquiridos, a linha de ação da resultante é definida por:
Ainda, observando-se que MRO deve ser igual ao momento em relação a O, da componente y de R quando esta é aplicada no ponto B e ao momento de sua componente x, quando R é aplicada em C. 
O 
x
y
R 
Rx 
Ry 
O 
x
y
R 
Rx 
Ry 
B 
=
=
O 
x
y
R 
Rx 
Ry 
C 
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2.14 Casos Particulares de Redução 
 Forças Paralelas: 
Considere as forças F1, F2 e F3 paralelas ao eixo y conforme ilustração, 
Já que a sua resultante é paralela ao eixo y, o momento resultante em relação ao momento de cada força em O deve, obrigatoriamente, ser ortogonal a R, ou seja, situar-se no plano zx.
x
z
y
O
F1
F3
F2
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2.14 Casos Particulares de Redução 
R e MRO são perpendiculares
x
z
y
O
O sistema força-binário em O consiste da força resultante R e do vetor binário MRO.
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2.14 Casos Particulares de Redução 
Adotando-se um ponto arbitrário A, tal sistema pode ser reduzido a uma única força R, 
Em O, o sistema força-binário apresenta como componentes:
x
z
y
O
r
R
z
x
,
e
A
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2.14 Casos Particulares de Redução 
Ainda, o ponto A(x,0,z) deve ser escolhido de forma que o deslocamento de R à sua posição (de A) promova o momento MRO em relação a O. Assim, 
Em termos de componentes cartesianas,
;
ou
O que fornece,
i
j
k
finalmente,
Os momentos de R em relação aos eixos x e z são
iguais a MRx e MRz, respectivamente.
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.15 Redução de Forças a um Torsor
Considere o caso geral mostrado abaixo no qual o sistema força-binário é composto pela força R e o momento MRO. Por não apresentar ortogonalidade entre R e MRO, o sistema não pode ser reduzido a uma força ou a um só binário.
 Redução de um Sistema de Forças a um Torsor:
No entanto, o vetor MRO pode ser decomposto em uma componente M1 que atua segundo R e outra componente M2 que está contida num plano normal à força R. 
O
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2.15 Redução de Forças a um Torsor
Então,
Após a decomposição de MRO em M1 e M2 o sistema de força-binário composto por R e M2 pode ser substituído por uma única força R que age sobre uma nova linha de ação. Portanto, o sistema original se reduz a R e ao vetor binário M1. Tal sistema particular é denominado torsor.
O
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.15 Redução de Forças a um Torsor
Desta forma, o torsor será,
A ação simultânea da força R e do momento M1 promoverá a translação do corpo rígido na direção R e a sua rotação em torno da linha de ação de R, chamada eixo do torsor ou eixo central. A razão p = M1/R é definida como passo do torsor. Dessa forma, um torsor é composto por dois vetores colineares, ou seja, uma força R e um momento
O .
A
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Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.15 Redução de Forças a um Torsor
Lembrando que a projeção de um vetor sobre um eixo, ou seja, produto escalar, é possível relacionar os momentos M1 e MRO projetando-se MRO sobre a linha de ação de R, ou seja, 
E o passo do torsor é calculado por:
A determinação do eixo do torsor consiste em considerar a distância até o ponto O a um ponto arbitrário P do eixo do torsor. Estabelecendo-se que o momento em relação a O do sistema R e M1 é igual ao momento resultante, tem-se que,
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Capítulo 13 Relações Termodinâmicas
Capítulo 2 – Corpo Rígido
2.15 Redução de Forças a um Torsor
Ou então, pela introdução do passo do torsor, 
Ou graficamente, 
O
=
O
P
Eixo do torsor
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
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