VETORES

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Vetores: Teoria
Álgebra Linear e Geometria Analítica
Prof. Luan Carlos de Sena Monteiro Ozelim, D.Sc.
1°/2015
Faculdade de Tecnologia e Ciências Sociais Aplicadas – FATECS
Curso: Engenharia Civil
Índice
• Escalares x vetores
• Vetores
• Definição
• Soma de vetores
• Subtração de vetores
• Componentes de um vetor
• Módulo de um vetor
• Soma de vetores
• Produto de vetores
• Produto escalar de vetores
• Produto vetorial de vetores
• Produto misto
Índice
• Escalares x vetores
• Vetores
• Definição
• Soma de vetores
• Subtração de vetores
• Componentes de um vetor
• Módulo de um vetor
• Soma de vetores
• Produto de vetores
• Produto escalar de vetores
• Produto vetorial de vetores
• Produto misto
Escalares x vetores
• Escalar: Dá-se o nome de escalar à grandeza física
que pode ser caracterizada apenas por um número,
sem que haja a necessidade de trata de direção e
sentido.
• São exemplos de grandezas escalares: massa,
energia, tempo, temperatura etc.
• Vetor: Dá-se o nome de grandeza vetorial àquela cuja
completa caracterização somente se dá por meio da
consideração de direção e sentido, além de sua
magnitude.
• São exemplos de grandezas vetoriais: velocidade,
posição, força etc.
• Escalares x vetores
• Vetores
• Definição
• Soma de vetores
• Subtração de vetores
• Componentes de um vetor
• Módulo de um vetor
• Soma de vetores
• Produto de vetores
• Produto escalar de vetores
• Produto vetorial de vetores
• Produto misto
Índice
• Escalares x vetores
• Vetores
• Definição
• Soma de vetores
• Subtração de vetores
• Componentes de um vetor
• Módulo de um vetor
• Soma de vetores
• Produto de vetores
• Produto escalar de vetores
• Produto vetorial de vetores
• Produto misto
Índice
Vetores: definição
• Definição: Conforme tratado anteriormente, quando há
a necessidade de caracterizar uma dada grandeza
física por meio não apenas de sua magnitude (sempre
positiva), mas também de sua direção e sentido, deve-
se representar tal grandeza por meio de um vetor.
• Não há sentido em falar de velocidade sem que uma
direção e sentido sejam dados.
• É comum representar um vetor por uma seta que tem
um ponto de partida e outro de chegada. A indicação
de direção está na reta suporte da seta e seu sentido
indicado pela marcação tradicional.
• O vetor é uma entidade autônoma, não precisa de eixo
para existir. Apenas as componentes do vetor é que
mudam de eixo de referência para eixo de referência.
• Escalares x vetores
• Vetores
• Definição
• Soma de vetores
• Subtração de vetores
• Componentes de um vetor
• Módulo de um vetor
• Soma de vetores
• Produto de vetores
• Produto escalar de vetores
• Produto vetorial de vetores
• Produto misto
Índice
Vetores: soma
• A soma de dois vetores é sempre um vetor.
• A representação escrita de um vetor pode ser dada por
meio de negrito ou ao adicionar uma seta sobre a letra
que denomina o vetor: A ou
• Para realizar a soma de dois vetores A e B, basta ligar
a origem A ao final de B ou vice versa, pois a soma é
comutativa (R = A + B = B + A). Veja:
• Escalares x vetores
• Vetores
• Definição
• Soma de vetores
• Subtração de vetores
• Componentes de um vetor
• Módulo de um vetor
• Soma de vetores
• Produto de vetores
• Produto escalar de vetores
• Produto vetorial de vetores
• Produto misto
Índice
Vetores: subtração
• A subtração de dois vetores é sempre um vetor.
• Para realizar a subtração de dois vetores A e B, basta
colocar ambos os vetores na mesma origem e ligar
suas pontas. É possível também realizar a soma A - B
= A + (-B). Veja:
• O vetor nulo é o elemento neutro da adição 0 = A – A
• Ao multiplicar um vetor por um escalar, apenas sua
magnitude e sentido podem são alterados. A direção
se mantém.
• Escalares x vetores
• Vetores
• Definição
• Soma de vetores
• Subtração de vetores
• Componentes de um vetor
• Módulo de um vetor
• Soma de vetores
• Produto de vetores
• Produto escalar de vetores
• Produto vetorial de vetores
• Produto misto
Índice
Vetores: componentes
• Um vetor A pode ser decomposto em uma soma da
forma: A = Ax i + Ay j
• Na equação acima, Ax e Ay são definidos como
componentes escalares do vetor A e i e j são os
versores (vetores unitários) nas direções x e y,
respectivamente. Matematicamente:
• Ax = |A| cos q
• Ay = |A| sen q
𝜃
Vetores: Módulo ou Norma
• Para de calcular a norma (ou módulo) de um vetor A
pode-se simplesmente calcular a raíz quadrada da
doma de suas componentes:
• Em 2D: ||A|| = (Ax
2 + Ay
2)1/2
• Em 3D: ||A|| = (Ax
2 + Ay
2 + Az
2)1/2
Vetores: Módulo ou Norma
Vetores: Soma com Componentes
• Além do processo gráfico mostrado para a soma de
vetores, há também a possibilidade de realizar as
operações de soma e subtração por meio da
representação em componentes do vetor. Veja:
• Seja A = Ax i + Ay j e B = Bx i + By j :
• Soma: A + B = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j
• Subtração: A - B = (Ax - Bx) i + (Ay - By) j
• Multiplicação por escalar: wA = (wAx) i + (wAy) j
Vetores: Multiplicação por escalar
• Escalares x vetores
• Vetores
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• Soma de vetores
• Subtração de vetores
• Componentes de um vetor
• Módulo de um vetor
• Soma de vetores
• Produto de vetores
• Produto escalar de vetores
• Produto vetorial de vetores
• Produto misto
Índice
Vetores: produtos
• Diferentemente de quando se trabalha com escalares,
há mais de um tipo de operações denominadas
produtos que podem ser realizadas com vetores.
• Vamos estudar apenas duas dessas operações, quais
sejam: produto escalar e produto vetorial.
• No produto escalar, dois vetores são multiplicados e o
resultado de tal operação é um escalar, ou seja, perde-
se a natureza vetorial das entidades envolvidas no
produto.
• No produto vetorial, por outro lado, dois vetores são
multiplicados e o resultado de tal operação é também
um vetor, ou seja, a natureza vetorial das entidades
envolvidas no produto é mantida.
Vetores: produto escalar
Vetores: produto escalar (ângulos)
Vetores: produto escalar (projeções)
Vetores: produto vetorial
Vetores: produto vetorial
Vetores: produto vetorial
Vetores: produto vetorial
Vetores: produto vetorial (área)
Vetores: produto misto
Vetores: produto misto
Vetores: produto misto (volume)
Vetores: produto misto (volume)